天津市部分区2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-07-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 对变量x，y由观测数据得散点图1，对变量u，v由观测数据得散点图2，由这两个散点图可以推断（）

A、x与y正相关，u与v正相关 B、x与y正相关，u与v负相关 C、x与y负相关，u与v负相关 D、x与y负相关，u与v正相关

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2. $C_{7}^{3} =$ （）

A、30 B、35 C、70 D、210

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3. 下列说法错误的是（）

A、农作物的产量与施肥量之间具有相关关系 B、两个模型中残差平方和越小的模型拟合效果越好 C、线性相关系数|r|越接近1，成对样本数据的线性相关程度越弱 D、甲､乙两个模型的 $R^{2}$ 分别为0.88和0.94，则乙模型的拟合效果好

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4. 下列求导运算中，正确的是（）

A、 $(\cos x)^{'} = \sin x$ B、 ${(3^{x})}^{'} = 3^{x}$ C、 ${(\frac{\ln x}{x})}^{'} = \frac{1 - \ln x}{x}$ D、 ${(x e^{x})}^{'} = (x + 1) e^{x}$

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5. 已知 ${(2 x + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式共有6项，则展开式中各项二项式系数的和为（）

A、 $2^{5}$ B、 $2^{6}$ C、 $3^{5}$ D、 $3^{6}$

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6. 甲､乙两家工厂加工一批同种规格的零件，甲厂加工的次品率为2%，乙厂加工的次品率为4%，加工出来的零件混放在一起.已知甲､乙两家工厂加工的零件数分别占总数的 $55 % ， 45 %$ .现从中任取一个零件，则取到次品的概率为（）

A、0.0008 B、0.029 C、0.031 D、0.2483

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7. 随着现代科技的不断发展，使用微信支付越来越广泛.设某群体的每位成员使用微信支付的概率都为0.8，且各成员的支付方式相互独立，则该群体的10成员中使用微信支付的人数 $X$ 的均值和方差分别为（）

A、 $E (X) = 8$ ， $D (X) = 2$ B、 $E (X) = 8$ ， $D (X) = 1.6$ C、 $E (X) = 2$ ， $D (X) = 8$ D、 $E (X) = 2$ ， $D (X) = 1.6$

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8. 已知随机变量X的分布列如下表：

X

-1

0

1

P

$\frac{1}{2}$

a

b

若 $P (X \leq 0) = \frac{3}{4}$ ，则 $D (X) =$ （）

A、 $\frac{11}{16}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、0 D、 $- \frac{1}{4}$

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9. 用数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的五位偶数共有（）

A、36个 B、48个 C、60个 D、72个

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10. 已知函数 $f (x) = 4 x^{3} - a x^{2} - 2 b x + 2$ 在 $x = 1$ 处取得极小值-3，且 $g (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 1$ 在区间 $(c ， c + 4)$ 上存在最小值，则 $a + b + c$ 的取值范围是（）

A、 $(4 ， 8)$ B、 $[4 ， 8)$ C、 $(5 ， 8)$ D、 $[5 ， 8)$

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二、填空题

11. 已知X是离散型随机变量，且 $E (X) = 3 ， D (X) = 0.5$ ，若随机变量 $Y = 2 X + 1$ ，则 $E (Y) =$ ， $D (Y) =$ .

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12. 在天津的新高考改革中，考生除参加语文､数学､英语的统一考试外，还需从思想政治､历史､地理､物理､化学､生物6科中任选3科参加高考，则不同的选考方法共有种.若某同学计划从思想政治､历史中至少选一科参加高考，则该生不同的选考方法共有种.(用数字作答)

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13. 已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.8，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为.

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14. ${(\sqrt{x} + \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中，常数项为.(用数字作答)

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15. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - x^{2}$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，则实数a的取值范围是.

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三、解答题

16. 新型冠状病毒感染肺炎病情发生以来，党中央､国务院高度重视，为了进一步在各类人群中构建起人群的免疫屏障，阻断新冠病毒在人群中的传播，防止新冠疫情反弹和新冠肺炎发生，我国新型冠状病毒疫苗接种工作正有序进行.某医疗机构承担了某社区的新冠疫苗接种任务，现统计了前5天每天接种人数的相关数据，如下表所示：

天数x

1

2

3

4

5

接种人数y（百人）

5

9

12

16

23

参考公式： $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、在给定的坐标系中画出接种人数y与天数x的散点图；

(2)、根据上表提供的数据，经计算： $\hat{b} = 4.3$ .
①用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程；

②根据所得的经验回归方程，预测该医疗机构第6天的接种人数.

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17. 已知函数 $f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - x + 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间与极值；

(2)、求关于x的方程 $f (x) = a (a \in R)$ 的解的个数.

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18. 《中华人民共和国民法典》被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法.为了增强学生的法律意识，了解法律知识，某大学为此举行了《中华人民共和国民法典》知识竞赛，该校某专业的100名大一学生参加了学校举行的测试，若把分数不低于90分的成绩称为优秀，整理得如下

2 \times 2

列联表：

性别	竞赛成绩		合计
性别	优秀	不优秀	合计
男	5	60	65
女	7	28	35
合计	12	88	100

参考数据：

P（x²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

(1)、依据

α = 0.05

的独立性检验，能否认为该校此专业大一学生的性别与测试成绩有关联；

(2)、若从获优秀的学生中随机抽取3人进行座谈，记X为抽到男生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

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19. 已知甲､乙两个企业招聘员工的笔试环节都设有三个题目.若某毕业生参加甲企业的笔试时，答对每个题目的概率均为 $\frac{1}{2}$ ；参加乙企业的笔试时，答对每个题目的概率依次为 $\frac{1}{6}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{2}{3}$ ，且该毕业生是否能答对每个题目是相互独立的.

(1)、求该毕业生参加甲企业的笔试时恰好答对两个题目的概率；

(2)、用X表示该毕业生参加乙企业的笔试时答对题目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望.

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20. 已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{1}{2} a x ， a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 的最大值为 $- 1$ ，求a的值；

(3)、若对于任意的 $x_{1} ， x_{2} \in [e^{- 1} ， e]$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时，都有不等式 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < \frac{1}{x_{1} x_{2}}$ 成立，求a的取值范围.

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X	-1	0	1
P	$\frac{1}{2}$	a	b

天数x	1	2	3	4	5
接种人数y（百人）	5	9	12	16	23