广西壮族自治区百色市2020-2021学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-07-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设复数 $z = 2 + a i$ ，若 $z = \bar{z}$ ，则实数 $a =$ （）

A、0 B、2 C、-1 D、-2

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2. 数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} = 1$ ，当 $n \geq 2$ 时， $a_{n} = a_{n - 1} + 2 n - 1$ ，依次计算 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ 后，猜想 $a_{n}$ 的表达式是（）

A、 $a_{n} = 3 n - 2$ B、 $a_{n} = 4 n - 3$ C、 $a_{n} = n^{2}$ D、 $a_{n} = 3^{n - 1}$

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3. 对两个变量 $y$ 和 $x$ 进行回归分析，得到一组样本数据： $(x_{1} ， y_{1})$ 、 $(x_{2} ， y_{2})$ 、 $\dots$ 、 $(x_{n} ， y_{n})$ ，则下列说法中不正确的是（）

A、由样本数据得到的回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 必过样本中心 $(\bar{x} ， \bar{y})$ B、残差平方和越大的模型，拟合的效果越好 C、用相关指数 $R^{2}$ 来刻画回归效果， $R^{2}$ 越大，说明模型的拟合效果越好 D、若变量 $y$ 和 $x$ 之间的相关系数为 $r = - 0.9362$ ，则变量 $y$ 和 $x$ 之间具有线性相关关系

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4. 设 $f (x)$ 在定义域内可导，其图象如图所示，则导函 $f' (x)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 函数 $f (x) = x^{2} - 2 l n x$ 的单调减区间是（　　）

A、（0，1） B、（1，+∞） C、（﹣∞，1） D、（﹣1，1）

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6. 已知函数 $f (x)= \ln x$ ，则函数 $g (x)= f (x) - f' (x)$ 的零点所在的区间是（）

A、（0，1） B、（1，2） C、（2，3） D、（3，4）

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7. 已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (4 ， σ^{2})$ ，且 $P (ξ > 6) = 0.1$ ，则 $P (2 < ξ < 4) =$ （）

A、0.8 B、0.6 C、0.4 D、0.2

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8. 把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件 $A$ ，“第二次出现正面”为事件 $B$ ，则 $P (B | A)$ =（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{8}$

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9. 随机变量X的分布列为

X

-1

0

1

P

a

b

c

其中a，b，c成等差数列，则 $P (| X | = 1)$ 等于（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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10. 若样本数据 $x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{10}$ 的标准差为8，则数据 $2 x_{1} - 1 ， 2 x_{2} - 1 ， \dots ， 2 x_{10} - 1$ 的标准差为（）

A、8 B、15 C、16 D、18

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11. 从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）

A、 $\frac{5}{18}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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12. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} + a x + a$ .过点 $M (- 1 ， 0)$ 引曲线 $C ： y = f (x)$ 的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A，B两点，若 $| M A | = | M B |$ ，则 $f (x)$ 的极大值点为（）

A、 $- \frac{3 \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ C、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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二、填空题

13. 二项式 ${(x + \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中，常数项是.

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14. 某校的书法绘画，乐器演奏，武术爱好三个兴趣小组的人数分别为600，400，300，若用分层抽样方法抽取n名学生参加某项活动，已知从武术小组中抽取了6名学生，则n的值为．

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15. 现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有种．（用数字作答）

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16. 若函数 $f (x) = m - x^{2} + 2 \ln x$ 在 $[\frac{1}{e^{2}} ， e]$ 上有两个零点，则实数 $m$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 设 ${(1 - 2 x)}^{2018} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2018} x^{2018} (x \in R)$ ．

(1)、求 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{2018}$ 的值．

(2)、求 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots + a_{2017}$ 的值．

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18. 已知函数 $f (x) = x^{3} + x^{2} - x$ ， $x \in [- 2 ， 1]$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求 $f (x)$ 的最大值和最小值.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $\forall n \in N^{*}$ ， $S_{n} = \frac{1}{4} (2 n + 1) a_{n} + \frac{1}{4}$ .

(1)、求 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ ；

(2)、猜想数列 ${a_{n}}$ 的通项公式，并用数学归纳法给予证明.

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20. 某电视台举行一个比赛类型的娱乐节目，A、B两队各有六名选手参赛，将他们首轮的比赛成绩作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示，为了增加节目的趣味性，主持人故意将A队第六位选手的成绩没有给出，并且告知大家B队的平均分比A队的平均分多4分，同时规定如果某位选手的成绩不少于21分，则获得“晋级”．

(1)、根据茎叶图中的数据，求出A队第六位选手的成绩；

(2)、主持人从AB两队所有选手成绩分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列及数学期望．

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21. 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：

潜伏期

（单位：天）

$[0 ， 2]$

$(2 ， 4]$

$(4 ， 6]$

$(6 ， 8]$

$(8 ， 10]$

$(10 ， 12]$

$(12 ， 14]$

人数

205

310

250

130

(1)、该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；

	潜伏期≤6天	潜伏期＞6天	总计
50岁以上（含50岁）			100
50岁以下	55
总计			200

(2)、以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，设潜伏期超过6天的人数为

X

，则

X

的期望是多少？

附：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.05	0.025	0.010
$k_{0}$	3.841	5.024	6.635

$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ 其中 $n = a + b + c + d$ .

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x} + k$ 的极大值为 $\frac{1 + e}{e}$ ，其中 $k$ 为常数， $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ 为自然对数的底数.

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、若函数 $g (x) = e^{x} - \frac{a}{x}$ ，对任意实数 $x \in (0 ， + \infty)$ ，不等式 $g (x) \geq a f (x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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