北京市石景山区2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-07-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 \leq 0}$ ， $B = {x | - 2 < x \leq 1}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | - 1 ⩽ x ⩽ 2}$ B、 ${x | - 2 < x ⩽ 2}$ C、 ${x | - 2 < x ⩽ 1}$ D、 ${x | - 2 \leq x \leq 2}$

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2. 下列函数中，在区间 $(0 ， + \infty)$ 上为增函数的是（）

A、 $y = \sqrt{x + 1}$ B、 $y = {(x - 1)}^{2}$ C、 $y = 2^{- x}$ D、 $y = \log_{\frac{1}{2}} x$

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3. 设 ${a_{n}}$ 是等比数列，下列说法一定正确的是（）

A、 $a_{1} ， a_{3} ， a_{9}$ 成等比数列 B、 $a_{2} ， a_{3} ， a_{6}$ 成等比数列 C、 $a_{2} ， a_{4} ， a_{8}$ 成等比数列 D、 $a_{3} ， a_{6} ， a_{9}$ 成等比数列

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4. 袋中有10个外形相同的球，其中5个白球，3个黑球，2个红球，从中任意取出一球，已知它不是白球，求它是黑球的概率（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. 已知 $a = \log_{2} e$ ， $b = \ln 2$ ， $c = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$ ，则a ， b ， c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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6. 若a，b，c，d∈R，则“a+d=b+c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 设函数 $f (x) = \frac{2}{x} + \ln x$ ，则（）

A、 $x = \frac{1}{2}$ 时 $f (x)$ 取到极大值 B、 $x = \frac{1}{2}$ 时 $f (x)$ 取到极小值 C、 $x = 2$ 时 $f (x)$ 取到极大值 D、 $x = 2$ 时 $f (x)$ 取到极小值

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8. 某人射击一次击中的概率是0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（）

A、 $\frac{81}{125}$ B、 $\frac{54}{125}$ C、 $\frac{36}{125}$ D、 $\frac{27}{125}$

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9. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a | x |$ 有三个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 0)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(0 ， e)$ D、 $(e ， + \infty)$

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10. 在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测。
甲：我的成绩比乙高。

乙：丙的成绩比我和甲的都高。

丙：我的成绩比乙高。

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）

A、甲、乙、丙 B、乙、甲、丙 C、丙、乙、甲 D、甲、丙、乙

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二、填空题

11. 函数 $f (x) = x e^{x}$ 的导函数 $f^{'} (x) =$ .

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12. 某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：

投资成功

投资失败

192例

8例

则该公司一年后估计可获收益的数学期望是元．

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13. 已知 $f (x) = - x^{3} + a x + 3$ 在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是.

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14. 若数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = - \frac{1}{4}$ ， $a_{n} \cdot a_{n - 1} = a_{n - 1} - 1 (n > 1 ， n \in N^{*})$ ，则 $a_{2021} =$ .

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15. 已知集合 $A_{0} = {x | 0 < x < 1}$ .给定一个函数 $y = f (x)$ ，定义集合 $A_{n} = {y | y = f (x) ， x \in A_{n - 1}}$ ，若 $A_{n} \cap A_{n - 1} = \emptyset$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 成立，则称该函数具有性质“ $\emptyset$ ”.现给出下列函数：① $y = \frac{1}{x}$ ；② $y = x^{2} + 1$ ；③ $y = \cos \frac{π}{2} x + 2$ ，其中具有性质“ $\emptyset$ ”的函数的序号是（写出所有正确答案的序号）

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三、解答题

16. 已知 ${a_{n}}$ 是各项均为正数的等比数列， $a_{1} = 2$ ， $a_{3} = 2 a_{2} + 16$ 。

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ，求数列{ $b_{n}$ }的前n项和。

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17. 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

(1)、设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件 $A$ 发生的概率；

(2)、设 $X$ 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量 $X$ 的分布列.

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18. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - a x^{2} + 2$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $0 < a < 3$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上的最大值及最小值.

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19. 为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的.

(1)、求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；

(2)、设 $X$ 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求 $X$ 的分布列和数学期望 $E (X)$ .

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20. 已知函数 $f (x) = x \ln x + k x$ ， $k \in R$ .

(1)、求 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若不等式 $f (x) \leq x^{2} + x$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围.

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投资成功	投资失败
192例	8例