北京市朝阳区2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2021-07-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设 $x \in R$ ，则“ $x < 1$ ”是“ $0 < x < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. ${(x - \frac{1}{x})}^{5}$ 展开式中 $x$ 的系数为（）

A、-20 B、-10 C、10 D、20

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3. 函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 4$ 在区间 $[- 3 ， 3]$ 上的最大值为（）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、1 C、7 D、 $\frac{28}{3}$

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4. 袋子里有8个红球和4个黄球，从袋子里有放回地随机抽取4个球，用 $X$ 表示取到红球的个数，则 $D (X) =$ （）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{8}{9}$ C、 $\frac{16}{9}$ D、 $\frac{8}{3}$

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5. 设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，若 $P (x \leq 2) = 0.2$ ， $P (2 < x < 4) = 0.6$ ，则 $μ =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 从4名高一学生和5名高二学生中，选3人参加社区垃圾分类宣传活动，其中至少有1名高二学生参加宣传活动的不同选法种数为（）

A、50 B、70 C、80 D、140

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7. 小王同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为 $\frac{2}{3}$ ；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为 $\frac{1}{3}$ .若他第1球投进概率为 $\frac{2}{3}$ ，他第2球投进的概率为（）

A、 $\frac{5}{9}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $\frac{8}{3}$

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8. 为了研究某校男生的脚长 $x$ (单位； $cm$ )和身高 $y$ (单位： $cm$ )的关系，从该校随机抽取20名男生，根据测量数据的散点图可以看出 $y$ 与 $x$ 之间有线性相关关系.设 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ .已知 $\sum_{i = 1}^{20} x_{i} = 460$ ， $\sum_{i = 1}^{20} y_{i} = 3240$ ， $\hat{b} = 4$ ，该校某男生的脚长为 $25.5 cm$ ，据此估计其身高为（）

A、 $164 cm$ B、 $168 cm$ C、 $172 cm$ D、 $176 cm$

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9. 已知 $f (x) = x^{2} - 2 k x + 3 k^{2} - 3 k + 1 (k \in R)$ .以下四个命题：
①对任意实数 $x$ ，存在 $k$ ，使得 $f (x) > 0$ ；

②对任意 $k$ ，存在实数 $x$ ，使得 $f (x) > 0$ ；

③对任意实数 $k$ ， $x$ ，均有 $f (x) > 0$ 成立；

④对任意实数 $k$ ， $x$ ，均有 $f (x) < 0$ 成立.

其中所有正确的命题是（）

A、①② B、②③ C、①③ D、②④

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10. 一个圆的周上有8个点，连接任意两点画出弦.如果有一对弦不相交且没有共同的端点，我们称它们为一组“自由弦对”.则此圆上的“自由弦对”总组数为（）

A、70 B、140 C、210 D、280

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二、填空题

11. 判断对错，并在相应横线处划“√”或“×”.①样本相关系数 $r > 0$ 时，称成对数据正相关， $r < 0$ 时，称成对数据负相关.②样本相关系数的绝对值 $| r |$ 越接近于1，线性相关程度越弱， $| r |$ 越接近于0，线性相关程度越强.

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12. 某单位工会组织75名会员观看《光荣与梦想》､《觉醒年代》､《跨过鸭绿江》三部建党百年优秀电视，对这三部剧的观看情况统计如下：

观看情况	观看人数
只看过《光荣与梦想》	12
只看过《觉醒年代》	11
只看过《跨过鸭绿江》	8
只看过《光荣与梦想》和《觉醒年代》	7
只看过《光荣与梦想》和《跨过鸭绿江》	4
只看过《觉醒年代》和《跨过鸭绿江》	5
同时看过《光荣与梦想》､《觉醒年代》和《跨过鸭绿江》	21

则会员中看过《跨过鸭绿江》的共有人，三部电视剧中，看过至少一部的有人.

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13. 我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》里，出现了图1这张表.杨辉三角的发现比欧洲早500年左右.如图2，杨辉三角的第 $n$ 行的各数就是 ${(a + b)}^{n}$ 的展开式的二项式系数.

则第10行共有个奇数；第100行共有个奇数.

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14. 函数 $f (x) = \frac{\cos x}{\cos 2 x}$ 的定义域为，极大值点的集合为.

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15. 已知 $a > 1$ ，则 $a + \frac{2}{a - 1}$ 的最小值为.

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16. 为了唤起全民对睡眠重要性的认识，国际精神卫生组织于2001年发起了一项全球性的活动——将每年的3月54日定为“世界睡眠日”.现从某中学初一至高三学生中随机抽取部分学生进行睡眠质量调查，采用睡眠质量指数量表统计结果如下：

性别	人数	睡眠质量好	睡眠质量一般	睡眠质量差
男	220	99	90	31
女	250	50	120	80
合计	470	149	210	111

假设所有学生睡眠质量的程度是相互独立的.以调查结果的频率估计概率，现从该中学男生和女生各随机抽取1人，二人中恰有一人睡眠质量好的概率是.

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三、解答题

17. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 5 x - 6 < 0}$ ， $B = {x | m - 2 < x < m}$ .

(1)、若 $m = 0$ ，全集 $U = A \cup B$ ，求 $∁_{U} B$ ；

(2)、从条件①和条件②选择一个作为已知，求实数 $m$ 的取值范围.
条件①：若 $A \cup B = A$ ；条件②：若 $A \cap B = \emptyset$ .如果选择条件①､条件②分别解答，则按第一个解答计分.

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18. 设函数 $f (x) = e^{x} - k x - 1$ ， $x \geq 0$ ， $k \in R$

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、当 $k = 1$ ， $a \leq \frac{1}{2}$ 时，求证： $f (x) \geq a x^{2}$ .

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19. 根据国家电影局发布的数据，2020年中国电影总票房为204.17亿，年度票房首度超越北美，成为2020年全球第一大电影市场.国产历史战争题材影片《八佰》和《金刚川》合力贡献了国内全年票房的

\frac{1}{5}

.我们用简单随机抽样的方法，分别从这两部电影的购票观众中各随调查了100名观众，得到结果如下：图1是购票观众年龄分布情况；图2是购票观众性别分布情况.

(1)、记

C

表示事件：“观看电影《八佰》的观众年龄低于30岁”，根据图1的数据，估计

C

的概率；

(2)、现从参与调查的电影《金刚川》的100名购票观众中随机抽取两名依次进行电话回访，求在第1次抽到男性观众的条件下，第2次仍抽到男性观众的概率.

(3)、填写下面的

2 \times 2

列联表，并根据小概率值

α = 0.01

的独立性检验，分析男性观众与女性观众对这两部历史战争题材影片的选择是否有差异？

影片		女性观众		男性观众		总计
《八佰》		$47 a$		$53 b$		100
《金刚川》		$39 c$		$61 d$		100
总计		86		114		200
P（x²≥x_a）	0.1		0.05		0.01		0.001
x_a	2.706		3.841		6.635		10.828

附： $x^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

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20. 某工厂生产的10件产品有8件优等产品，2件不合格产品.

(1)、若从这10件产品中不放回地抽取两次，每次随机抽取一件，求第二次取出的是不合格产品的概率；

(2)、若从这10件产品中随机抽取3件，设抽到的不合格产品件数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)、某工作人员在不知情的情况下，从这10件产中随机抽取了3件产品销售给了下级经销商.现该工厂针对3件已销售产品中可能出现的不合格产品，提出以下两种处理方案：方案一：将不合格产品返厂再加工，不合格产品的再加工费用为每件200元，所有返厂产品的运输费用为一次性80元；方案二：将不合格产品就地销毁，每件不合格产品损失成本300元.若以返厂再加工费用与运输费用之和的期望值为决策依据，要使损失最小，应选择哪种方案处理不合格产品？

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21. 已知函数 $f (x) = x - \ln x - 2$ .

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、已知 $t \in Z$ ，且 $x \ln x + x > t (x - 1)$ 对任意的 $x > 1$ 恒成立，求 $t$ 的最大值；

(3)、设 $g (x) = f (x + 1) - e + 3$ 的零点为 $m (m > 1)$ ，当 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (m ， + \infty)$ ，且 $x_{1} > x_{2}$ 时，证明： $e^{x_{1} - x_{2}} > \frac{\ln (x_{1} + 1)}{\ln (x_{2} + 1)}$ .

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