天津市红桥区2020-2021学年高一下学期期末数学试题

试卷更新日期：2021-07-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. i是虚数单位，计算 $\frac{1 - 2 i}{2 + i}$ 的结果为（）

A、 $- i$ B、i C、 $- 2 i$ D、 $2 i$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， m)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则实数m的值为（）

A、4 B、-4 C、1 D、-1

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3. i是虚数单位，若复数 $z = 2 + i$ ，则z的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 2 + i$ B、 $- i$ C、 $2 - i$ D、 $- 2 - i$

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4. 为了了解全校240名高一学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是（）

A、总体是240名学生 B、个体是每一个学生 C、样本是40名学生 D、样本量是40

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5. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， - 1 ， 2) ， \vec{b} = (x ， y ， - 4)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x + y =$ （）

A、4 B、8 C、-4 D、-8

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6. 已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其中平均数、中位数和众数的大小关系是（）

A、平均数>中位数>众数 B、平均数<中位数<众数 C、中位数<众数<平均数 D、众数=中位数=平均数

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7. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， x)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， x)$ ，若 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则 $| \vec{a} | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、4

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8. 设 $l$ 是直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A、若 $l // α$ ， $l // β$ ，则 $α // β$ B、若 $α ⊥ β$ ， $l ⊥ α$ ，则 $l ⊥ β$ C、若 $α ⊥ β$ ， $l // α$ ，则 $l ⊥ β$ D、若 $l // α$ ， $l ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$

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9. 长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积是120，若E为 $C C_{1}$ 的中点，则三棱锥 $E - B C D$ 的体积为（）

A、10 B、20 C、30 D、40

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二、填空题

10. 某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市家．

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11. i是虚数单位，若复数 $(1 - 2 i) (a + i)$ 是纯虚数，则实数 $a$ 的值为.

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12. 已知 $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 3$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的大小为．

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13. 在 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C所对的边分别是a ， b ， c ，若 $a^{2} + c^{2} - b^{2} = \sqrt{2} a c$ ，则角B的大小为

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14. 棱长为1的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球面的表面积为

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15. 已知菱形 $A B C D$ 的边长为 $2$ ， $∠ B A D = 120^{°}$ ，点 $E ， F$ 分别在边 $B C ， D C$ 上， $B C = 3 B E$ ， $D C = λ D F$ .若 $\vec{A E} \cdot \vec{A F} = 1$ ，则 $λ$ 的值为

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三、解答题

16. 在△ABC中，内角A ， B ， C所对的边分别是a ， b ， c ，若 $b = 6 ， a = 2 c ， B = \frac{π}{3}$ .

(1)、求a ， c的值；

(2)、求△ABC的面积

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17. 在锐角△ABC中，内角A ， B ， C所对的边分别是a ， b ， c ，且 $2 a \sin B = \sqrt{3} b$ .

(1)、求角A的大小：

(2)、若 $a = 3$ ，△ABC的面积为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，求△ABC的周长.

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18. 四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形 $S D ⊥$ 底面 $A B C D ， D C = S D = 2$ ，点M是侧棱 $S C$ 的中点， $A D = \sqrt{2}$ .

(1)、求异面直线 $C D$ 与 $B M$ 所成角的大小；

(2)、求二面角 $S - A M - B$ 的正弦值.

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19. 如图，四边形 $A B C D$ 是正方形， $E A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E A / / P D$ ， $A D = P D = 2 E A = 2$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别为 $P B$ ， $E B$ ， $P C$ 的中点.

(1)、求证： $F G / /$ 平面 $P E D$ ；

(2)、求平面 $F G H$ 与平面 $P B C$ 所成锐二面角的大小；

(3)、在线段 $P C$ 上是否存在一点 $M$ ，使直线 $F M$ 与直线 $P A$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ ？若存在，求出线段 $P M$ 的长；若不存在，请说明理由.

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