天津市部分区2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-07-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (2, 4)$ ， $\vec{b} = (- 1, 1)$ ，则 $2 \vec{a} - \vec{b} =$ （）

A、 $(5, 7)$ B、 $(5, 9)$ C、 $(3, 7)$ D、 $(3, 9)$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，则复数 $z = i (1 + i)$ 在复平面上对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（）

A、 $π$ B、 $\frac{4 π}{3}$ C、 $2 π$ D、 $4 π$

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4. 下列说法中正确的是（）

A、棱柱的侧面可以是三角形 B、棱柱的各条棱都相等 C、所有几何体的表面都能展成平面图形 D、正方体和长方体都是特殊的四棱柱

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5. 袋中有大小相同，质地均匀的2个红球和3个黄球，从中无放回的先后取两个球，取到红球的概率为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{7}{10}$ D、 $\frac{3}{5}$

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6. 在 $△ A B C$ 中，已知 $B C = 1 ， A C = 2 ， ∠ C = 60 °$ 则 $A B$ 等于（）

A、4 B、3 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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7. 某工厂技术人员对三台智能机床的生产数据进行统计，发现甲车床每天生产次品数的平均数为1.4，标准差为1.08；乙车床每天生产次品数的平均数为1.1，标准差为0.85；丙车床每天生产次品数的平均数为1.1，标准差为0.78．由以上数据可以判断生产性能最好且较稳定的为（）

A、无法判断 B、甲车床 C、乙车床 D、丙车床

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8. 若棱长为1的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{4 π}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3} π}{2}$ D、 $3 π$

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9. 设 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列命题中正确的为（）

A、若 $α // β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m // n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $α // β$ ，则 $m // n$ C、若 $m // n$ ， $n \subset α$ ， $α // β$ ，则 $m // β$ D、若 $m ⊥ n$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $α ⊥ β$

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10. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足| $\vec{a}$ |＝1，| $\vec{b}$ |＝2，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为120°，则 $| \vec{a} - 3 \vec{b} |$ ＝（）

A、 $\sqrt{11}$ B、 $\sqrt{37}$ C、 $2 \sqrt{10}$ D、 $\sqrt{43}$

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二、填空题

11. 已知甲、乙两名篮球运动员投篮投中的概率分别为0.5和0.8，且甲、乙两人投篮的结果互不影响．若甲、乙两人各投篮一次，则至少有一人投中的概率为．

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12. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 是两个不共线的向量，且 $m \vec{a} - 2 \vec{b}$ 与 $\vec{a} + (1 - m) \vec{b}$ 共线，则实数m的值为．

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13. 某校选修轮滑课程的学生中，一年级有20人，二年级有30人，三年级有20人.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在一年级的学生中抽取了4人，则这个样本中共有人.

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14. 在 $△ A B C$ 中，已知D是 $B C$ 延长线上一点，满足 $\vec{B C} = 3 \vec{C D}$ ，若E为线段 $A D$ 的中点，且 $\vec{A E} = m \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ ，则实数 $m =$

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15. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $P A = A D = \sqrt{3} ， A B = 1$ ，则异面直线 $P B$ 与 $C D$ 所成角的大小为；二面角 $P - C D - A$ 的大小为．

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三、解答题

16. 已如i为虚数单位，复数 $z = m (m - 1) + (m^{2} + 2 m - 3) i$ ．

(1)、当实数m取何值时，z是纯虚数；

(2)、若 $m = 2$ ，求 $| \frac{z}{1 + i} |$ 的值．

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17. 某校高一年级共有800名学生参加了数学检测，现随机抽取部分学生的数学成绩并分组如下∶ $[90 ， 100) ， [100 ， 110) ， [110 ， 120) ， [120 ， 130) ， [130 ， 140) ， [140 ， 150]$ ，得到的频率分布直方图，如图所示．

(1)、求图中实数a的值；

(2)、试根据以上数据，估计该校高一年级学生的数学检测成绩不低于120分的人数．

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $a = 7 ， c = 8$

(1)、若 $\sin C = \frac{4}{7}$ ，求角A的大小；

(2)、若 $b = 5$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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19. 某市为了解社区新冠疫菌接种的开展情况，拟采用分层抽样的方法从 $A ， B ， C$ 三个行政区抽出6个社区进行调查．已知 $A ， B ， C$ 三个行政区中分别有 $18 ， 27 ， 9$ 个社区．

(1)、求从 $A ， B ， C$ 三个行政区中分别抽取的社区个数；

(2)、若从抽得的6个社区中随机抽取2个进行调查．
①试列出所有可能的抽取结果；

②设事件M为“抽取的2个社区中至少有一个来自A行政区”，求事件M发生的概率．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是菱形， $P A = A B = 2 ，$ $∠ B A D = 60^{\circ} .$

(1)、求证： $A B //$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求证：直线 $B D ⊥$ 平面 $P A C ；$

(3)、求直线 $P B$ 与平面 $P A D$ 所成角的正切值.

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