江西省新余市2020-2021学年高一下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-07-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $\sin α > 0$ ，且 $\tan α < 0$ ，则角 $α$ 的终边位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）

A、 $\vec{e_{1}} = (2 ， 2) ， \vec{e_{2}} = (1 ， 1)$ B、 $\vec{e_{1}} = (1 ， - 2) ， \vec{e_{2}} = (4 ， - 8)$ C、 $\vec{e_{1}} = (1 ， 0) ， \vec{e_{2}} = (0 ， - 1)$ D、 $\vec{e_{1}} = (1 ， - 2) ， \vec{e_{2}} = (- \frac{1}{2} ， 1)$

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3. 已知扇形的面积为 $4$ ，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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4. 盒子内有1个红球，2个白球，3个黑球，从中任取2个球，则下列选项中的两个事件互斥而不对立的是（）

A、至少有1个白球；至多有1个白球 B、至少有1个白球；至少有1个黑球 C、至少有1个白球；红､黑球各1个 D、至少有1个白球；没有白球

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5. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， m)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{b}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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6. 2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令，防控就是责任.在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城，团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争.折线图展示了2月14日至29日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是（）

A、16天中每日新增确诊病例数量呈下降趋势且19日的降幅最大 B、16天中每日新增确诊病例数量的中位数与新增疑似病例数量的中位数相同 C、16天中新增确诊､新增疑似､新增治愈病例数量的极差均大于2000 D、19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例数量之和

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7. 如图，已知 $\vec{A B} = 3 \vec{B P}$ ，用 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ 表示 $\vec{O P}$ ，则 $\vec{O P}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{3} \vec{O A} - \frac{4}{3} \vec{O B}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{4}{3} \vec{O B}$ C、 $- \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{4}{3} \vec{O B}$ D、 $- \frac{1}{3} \vec{O A} - \frac{4}{3} \vec{O B}$

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8. 在区间 $[0 ， π]$ 上随机取一个数 $x$ ，则事件“ $\sin x + \cos x \geq 1$ ”发生的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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9. 执行如图所示的程序框图，若输出 $i$ 的值为7，则框图中①处可以填入（）

A、 $S > 7$ B、 $S > 21$ C、 $S > 28$ D、 $S > 36$

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10. 函数 $f (x) = A \cos (ω x + φ)$ (其中 $A > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ )的图像如图所示，为了得到 $g (x) = \sin ω x$ 的图像，则只要将 $f (x)$ 的图像（）

A、向右移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向右移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 C、向左移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 D、向左移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度

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11. 若点 $M$ 是 $△ A B C$ 所在平面内的一点，点 $D$ 是边 $A C$ 靠近 $A$ 的三等分点，且满足 $5 \vec{A M} = \vec{A B} + \vec{A C}$ ，则 $△ A B M$ 与 $△ A B D$ 的面积比为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{9}{25}$

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12. 已知向量 $\vec{a} = (\sin ω x ， \cos ω x) ， \vec{b} = (1 ， - 1)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，且 $ω > \frac{1}{2} ， ω \in R$ ，若 $f (x)$ 的任何一条对称轴与 $x$ 轴交点的横坐标都不属于区间 $(3 π ， 4 π)$ ，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{7}{12 ，} ， \frac{15}{16}] \cup [\frac{13}{12} ， \frac{19}{16}]$ B、 $[\frac{7}{12 ，} ， \frac{11}{16}] \cup [\frac{11}{12} ， \frac{15}{16}]$ C、 $(\frac{1}{2} ， \frac{7}{12}] \cup [\frac{11}{12} ， \frac{19}{16}]$ D、 $(\frac{1}{2} ， \frac{11}{16}] \cup [\frac{11}{12} ， \frac{15}{16}]$

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二、填空题

13. 高二11班共有男生30人，女生20人，按男女性别分层抽取一个容量为10人的样本，参加一个与兄弟班级的知识竞赛，抽取到的女生的数量是.

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14. 已知平面向量 $\vec{a} = (2 ， λ)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， 6)$ ， $\vec{c} = (4 ， 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $(\vec{a} + \vec{c}) \cdot \vec{b}$ .

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15. 已知单位圆上第三象限内的一点 $P$ 沿圆周逆时针旋转 $\frac{π}{4}$ 到点 $Q$ ，若点 $Q$ 的横坐标为 $\frac{3}{5}$ ，则点 $P$ 的横坐标为.

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16. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，且 $| \vec{a} | | \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ，向量 $\vec{c}$ 满足 $| \vec{c} - 2 \vec{a} - 2 \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $| \vec{c} - λ \vec{b} | (λ \in R)$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 已知 $| \vec{a} | = 4$ ， $\vec{b} = (- 1 ， \sqrt{3})$ .

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求 $\vec{a}$ 的坐标；

(2)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ，求 $\vec{a} - \vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影.

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18. 某班20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图：

(1)、求这次数学考试学生成绩的中位数；

(2)、从成绩在 $[50 ， 70)$ 的学生中任选2人，求此2人的成绩都在 $[60 ， 70)$ 中的概率.

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19. 设向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} \sin x ， \sin x) ， \vec{b} = (\cos x ， \sin x)$ ，

(1)、求函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ 的最小正周期及单调递增区间；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - m$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上有两个零点，求实数m的范围．

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20. 某大学生利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至12月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价

x

和销售量

y

之间的一组数据如表所示：

月份 $i$	7	8	9	10	11	12
销售单价 $x_{i}$ （元）	9	9.5	10	10.5	11	8.5
销售量 $y_{i}$ （元）	11	10	8	6	5	14

(1)、根据7至11月份的数据，求出

y

关于

x

的回归直线方程；

(2)、若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过2件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？

(3)、预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多元才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）．

参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 392$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 502.5$ ．

参考公式：回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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21. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3}) - 2 \sqrt{3} \cos^{2} x + \sqrt{3}$ .

(1)、已知 $f (\frac{α}{2} + \frac{π}{3}) = \frac{1}{3}$ ，求 $\cos (\frac{π}{3} - 2 α)$ 的值；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 时，不等式 $2 m \geq \frac{(m + 1) f (x) + 2 m + 1}{f (x) + 2}$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 设 $O$ 为坐标原点，定义非零向量 $\vec{O M} = (a ， b)$ (其中 $a ， b$ 为实数)的“相伴函数”为 $f (x) = a \sin x + b \cos x (x \in R)$ ，向量 $\vec{O M} = (a ， b)$ 称为函数 $f (x) = a \sin x + b \cos x (x \in R)$ 的“相伴向量”.

(1)、设函数 $h (x) = 2 \sin (\frac{π}{3} - x) - \cos (\frac{π}{6} + x)$ ，求 $h (x)$ 的“相伴向量” $\vec{O M}$ ；

(2)、已知点 $M (a ， b)$ 满足 $a^{2} - 4 a b + 3 b^{2} = 1$ ，向量 $\vec{O M}$ 的“相伴函数” $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处取得最大值.当点 $M$ 运动时，求 $\tan 2 x_{0}$ 的取值范围.

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