2021年高考数学真题分类汇编专题12：排列组合与概率统计

试卷更新日期：2021-07-09 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

A、0.3 B、0.5 C、0.6 D、0.8

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2. 将4个1和2个0随机排成一行，则2个0 不相邻的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{4}{5}$

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3. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）

A、该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B、该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C、估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D、估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

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4. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A、60种 B、120种 C、240种 D、480种

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5. 在区间(0, $\frac{1}{2}$ )随机取1个数，则取到的数小于 $\frac{1}{3}$ 的概率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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6. 在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于 $\frac{7}{4}$ 的概率为（）

A、 $\frac{7}{4}$ B、 $\frac{23}{32}$ C、 $\frac{9}{32}$ D、 $\frac{2}{9}$

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7. 有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）

A、甲与丙相互独立 B、甲与丁相互独立 C、乙与丙相互独立 D、丙与丁相互独立

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8. 某物理量的测量结果服从正态分布 $N (10, σ^{2})$ ，下列结论中不正确的是（）

A、 $σ$ 越小，该物理量在一次测量中在 $(9.9, 10.1)$ 的概率越大 B、 $σ$ 越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C、 $σ$ 越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D、 $σ$ 越小，该物理量在一次测量中落在 $(9.9, 10.2)$ 与落在 $(10, 10.3)$ 的概率相等

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9. 从某网格平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分分数据，将所得400个评分数据分为8组： $[66 ， 70) ， [70 ， 74) ， \dots ， [94 ， 98]$ ，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间 $[82 ， 86)$ 内的影视作品数量是（）

A、20 B、40 C、64 D、80

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二、多选题

10. 有一组样本数据x₁ ， x₂,…,x_n,由这组数据得到新样本数据y₁ ， y₂,…,y_n,其中y_i=x_i+c(i=1,2,…,n),c为非零常数，则（）

A、两组样本数据的样本平均数相同 B、两组样本数据的样本中位数相同 C、两组样本数据的样本标准差相同 D、两组样本数据的样本极差相同

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11. 下列统计量中，能度量样本 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的离散程度的是（）

A、样本 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的标准差 B、样本 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的中位数 C、样本 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的极差 D、样本 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的平均数

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12. 设正整数 $n = a_{0} \cdot 2^{0} + a_{1} \cdot 2 + \dots + a_{k - 1} \cdot 2^{k - 1} + a_{k} \cdot 2^{k}$ ，其中 $a_{i} \in {0 ， 1}$ ，记 $ω (n) = a_{0} + a_{1} + \dots + a_{k}$ ．则（）

A、 $ω (2 n) = ω (n)$ B、 $ω (2 n + 3) = ω (n) + 1$ C、 $ω (8 n + 5) = ω (4 n + 3)$ D、 $ω (2^{n} - 1) = n$

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三、填空题

13. ${(x^{3} - \frac{1}{x})}^{4}$ 展开式中常数项为．

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14. 袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为 $ξ$ ，若取出的两个球都是红球的概率为 $\frac{1}{6}$ ，一红一黄的概率为 $\frac{1}{3}$ ，则 $m - n =$ ， $E (ξ) =$ .

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15. 已知多项式 ${(x - 1)}^{3} + {(x + 1)}^{4} = x^{4} + a_{1} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{3} x + a_{4}$ ，则 $a_{1} =$ ， $a_{2} + a_{3} + a_{4} =$ .

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16. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 $\frac{5}{6}$ 和 $\frac{1}{5}$ ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为， 3次活动中，甲至少获胜2次的概率为．

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17. 在 ${(2 x^{3} + \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中， $x^{6}$ 的系数是．

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四、解答题

18. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

	一级品	二级品	合计
甲机床	150	50	200
乙机床	120	80	200
合计	270	130	400

(1)、甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

(2)、能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{（ a + b ）（ c + d ）（ a + c ）（ b + d ）}$

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19. 某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备	9.8	10.3	10.0	10.2	9.9	9.8	10.0	10.1	10.2	9.7
新设备	10.1	10.4	10.1	10.0	10.1	10.3	10.6	10.5	10.4	10.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 $\bar{x}$ 和 $\bar{y}$ ，样本方差分别记为s₁²和s₂²

(1)、求

\bar{x}

，

\bar{y}

， s₁² ， s₂²；

(2)、判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果

\bar{y}

\bar{x}

≥

2 \sqrt{\frac{s_{1}^{2} + s_{2}^{2}}{2}}

，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.

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20. 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， $P (X = i) = p_{i} (i = 0 ， 1 ， 2 ， 3)$ ．

(1)、已知 $p_{0} = 0.4 ， p_{1} = 0.3 ， p_{2} = 0.2 ， p_{3} = 0.1$ ，求 $E (X)$ ；

(2)、设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程： $p_{0} + p_{1} x + p_{2} x^{2} + p_{3} x^{3} = x$ 的一个最小正实根，求证：当 $E (X) \leq 1$ 时， $p = 1$ ，当 $E (X) > 1$ 时， $p < 1$ ；

(3)、根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．

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21. 为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．

(1)、①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；
②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为 $\frac{1}{11}$ ，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；

(2)、若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．

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22. 某学校组织"一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题・每位参加比赛的同学先在两类问题中选择类并从中随机抽取一个问题冋答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分。
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8 ，能正确回答B类问题的概率为0.6.且能正确回答问题的概率与回答次序无关。

(1)、若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列：

(2)、为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由。

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