2021年高考数学真题分类汇编专题11：立体几何

试卷更新日期：2021-07-09 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知A,B,C是半径为1的求O的球面上的三个点，且AC⊥BC,AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{12}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{12}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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3. 在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为B₁D₁的中点，则直线PB与AD₁所成的角为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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4. 已知圆锥的底面半径为 $\sqrt{2}$ ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）

A、2 B、2 $\sqrt{2}$ C、4 D、4 $\sqrt{2}$

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5. 正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）

A、 $20 + 12 \sqrt{3}$ B、 $28 \sqrt{2}$ C、 $\frac{56}{3}$ D、 $\frac{28 \sqrt{2}}{3}$

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6. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 $36000 km$ （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为 $6400 km$ 的球，其上点A的纬度是指 $O A$ 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 $α$ ，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为 $S = 2 π r^{2} (1 - \cos α)$ （单位： ${km}^{2}$ ），则S占地球表面积的百分比约为（）

A、26% B、34% C、42% D、50%

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7. 定义：24小时内降水在平地上积水厚度（ $mm$ ）来判断降雨程度．其中小雨（ $< 10 mm$ ），中雨（ $10 mm - 25 mm$ ），大雨（ $25 mm - 50 mm$ ），暴雨（ $50 mm - 100 mm$ ），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）

A、小雨 B、中雨 C、大雨 D、暴雨

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8. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）

A、 $\frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ B、4 C、 $3 + \sqrt{3}$ D、2

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9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、3 C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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10. 如图已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，M ， N分别是 $A_{1} D$ ， $D_{1} B$ 的中点，则（）

A、直线 $A_{1} D$ 与直线 $D_{1} B$ 垂直，直线 $M N / /$ 平面 $A B C D$ B、直线 $A_{1} D$ 与直线 $D_{1} B$ 平行，直线 $M N ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$ C、直线 $A_{1} D$ 与直线 $D_{1} B$ 相交，直线 $M N / /$ 平面 $A B C D$ D、直线 $A_{1} D$ 与直线 $D_{1} B$ 异面，直线 $M N ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$

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11. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 $\frac{32 π}{3}$ ，两个圆锥的高之比为 $1 ： 3$ ，则这两个圆锥的体积之和为（）

A、 $3 π$ B、 $4 π$ C、 $9 π$ D、 $12 π$

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二、多选题

12. 在正三棱柱ABC- $A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，AB=AA₁=1，点P满足 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}}$ ，其中λ∈[0，1]， $μ$ ∈[0，1]，则（）

A、当λ=1时，△ $A B_{1}$ P的周长为定值 B、当 $μ$ =1时，三棱锥P-A₁BC的体积为定值 C、当λ= $\frac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点P，使得 $A_{1} P ⊥ B P$ D、当 $μ$ = $\frac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点P，使得 $A_{1}$ B⊥平面A $B_{1}$ P

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13. 如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足 $M N ⊥ O P$ 的是（）

A、 B、 C、 D、

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三、填空题

14. 已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为．

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15. 以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.

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四、解答题

16. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 为正方形． $A B ＝ B C ＝ 2 ， E ， F$ 分别为 $A C$ 和 $C C_{1}$ 的中点， $B F ⊥ A_{1} B_{1}$ ．

(1)、求三棱锥F－EBC的体积；

(2)、已知 $D$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的点，证明： $B F ⊥ D E$ ．

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17. 已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁.中，侧面AA₁B₁B为正方形，AB= BC = 2，E，F分别为AC和CC₁的中点，D为棱A₁B₁上的点，BF丄A₁B₁.

(1)、证明：BF⊥DE；

(2)、当为B₁D何值时，面BB₁C₁C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？

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18. 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB⊥AM，

(1)、求BC；

(2)、求二面角A-PM-B的正弦值。

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19. 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD $⊥$ 底面ABCD，M为BC的中点，且PB $⊥$ AM.

(1)、证明：平面PAM $⊥$ 平面PBD；

(2)、若PD=DC=1，求四棱锥P-ADCD的体积.

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20. 如图，在三棱锥A-BCD中.平面ABD丄平面BCD，AB=AD.O为BD的中点.

(1)、证明：OA⊥CD：

(2)、若△OCD是边长为1的等边三角形.点E在棱AD上.DE=2EA.且二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积.

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21. 在四棱锥 $Q - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，若 $A D = 2 ， Q D = Q A = \sqrt{5} ， Q C = 3$ ．

(1)、证明：平面 $Q A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $B - Q D - A$ 的平面角的余弦值．

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22. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，点 $E$ 为 $A_{1} D_{1}$ 中点，直线 $B_{1} C_{1}$ 交平面 $C D E$ 于点 $F$ ．

(1)、证明：点 $F$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点；

(2)、若点 $M$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上一点，且二面角 $M - C F - E$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，求 $\frac{A_{1} M}{A_{1} B_{1}}$ 的值．

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23. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $∠ A B C = 120 ° ， A B = 1 ， B C = 4 ， P A = \sqrt{15}$ ，M ， N分别为 $B C ， P C$ 的中点， $P D ⊥ D C ， P M ⊥ M D$ .

(1)、证明： $A B ⊥ P M$ ；

(2)、求直线 $A N$ 与平面 $P D M$ 所成角的正弦值.

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24. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．

(1)、求证： $D_{1} F / /$ 平面 $A_{1} E C_{1}$ ；

(2)、求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} E C_{1}$ 所成角的正正弦值．

(3)、求二面角 $A - A_{1} C_{1} - E$ 的正弦值．

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