江西省南昌市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-07-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $\vec{a} = (- 1 ， 2)$ ，则与 $\vec{a}$ 同方向的单位向量是（）

A、 $(- \frac{\sqrt{5}}{5} ， \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ B、 $(- \frac{1}{5} ， \frac{2}{5})$ C、 $(\frac{1}{5} ， - \frac{2}{5})$ D、 $(\frac{\sqrt{5}}{5} ， - \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

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2. 下列函数既是定义域上的偶函数，又是 $(0 ， + \infty)$ 上增函数的是（）

A、 $y = - \frac{1}{| x |}$ B、 $y = {(\frac{1}{2})}^{| x |}$ C、 $y = | x - 1 |$ D、 $y = | \ln x |$

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3. 对两变量间的关系，下列论述正确的是（）

A、任何两个变量都具有相关关系 B、正方形的面积与该正方形的边长具有相关关系 C、农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系 D、一个学生的数学成绩与物理成绩之间是一种非确定性的关系

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4. 在 $△ A B C$ 中，若满足 $\sin^{2} A = \sin^{2} B + \sin B \cdot \sin C + \sin^{2} C$ ，则 $A =$ （）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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5. 执行如图所示的程序框图，输出 $S$ 的值为（）

A、6 B、 $2 \log_{2} 3 + 1$ C、 $2 \log_{2} 3 + 3$ D、 $\log_{2} 3 + 1$

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6. 某公司有2000名员工，将这些员工编号为1，2，3，…，2000，从这些员工中使用系统抽样的方法抽取100人进行“学习强国”的问卷调查，若104号被抽到，则下面被抽到序号是（）

A、54 B、294 C、1196 D、1984

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7. 某班班委由3名男同学和2名女同学组成，从中选择2名班委成员去参加交通值勤，则选出2名班委中至少有一名女同学的概率是（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{7}{10}$

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8. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} 4^{x} - 1 ， x \leq 1 \\ 3 + \log_{\frac{1}{2}} x ， x > 1 \end{array}$ ，则 $f [\frac{1}{f (2)}] =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、15

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9. 已知 $2^{a} + a = \log_{2} b + b = \log_{3} c + c = k (k < 1)$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

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10. 已知实数b为a， $c (a \geq b \geq c > 0)$ 的等差中项，若 $2 c$ ，b， $2 a$ 成等比数列，则此等比数列的公比为（）

A、 $2 - \sqrt{3}$ B、 $2 + \sqrt{3}$ C、 $7 - 4 \sqrt{3}$ D、 $7 + 4 \sqrt{3}$

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11. 记不等式 $x^{2} + x - 2 > 0$ ､ $x^{2} - a x + 1 \leq 0 (a > 0)$ 解集分别为 $A$ 、 $B$ ， $A \cap B$ 中有且只有两个正整数解，则a的取值范围为（）

A、 $(\frac{10}{3} ， \frac{17}{4})$ B、 $[\frac{10}{3} ， \frac{17}{4})$ C、 $(\frac{5}{2} ， \frac{17}{4})$ D、 $[\frac{5}{2} ， \frac{17}{4})$

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12. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\sin (A + \frac{π}{4}) = b$ ， $c = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $C =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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二、填空题

13. 锐角A，B满足 $\sin A = \cos B$ ，则 $\sin \frac{A + B}{3} =$

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14. 两变量x，y具有相关关系，根据样本数据计算得出回归方程是 $y = - x + 5$ ，已知样本数据两变量的均值分别为 $\bar{x}$ ， $\bar{y}$ ，则 $\bar{x} + \bar{y} =$ .

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15. 马芸的某次语数外考试成绩都是两位数，成绩单被色彩笔弄脏，只能看到语文十位数字是8，数学成绩个位数字是7，英语成绩95，若他平均成绩是93，则他的数学成绩是.

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16. 已知a，b， $c \in R^{+}$ 时，有 $\frac{b + c}{a} + \frac{c + a}{b} + \frac{a + b}{c} = (\frac{b}{a} + \frac{a}{b}) + (\frac{c}{b} + \frac{b}{c}) + (\frac{c}{a} + \frac{a}{c}) \geq 6$ ，利用分拆､重组､配对使用基本不等式求出最值.依此启示，当a，b， $c \in R^{+}$ 时， $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b}$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角 $α$ 的终边与单位圆交于点 $P (- \frac{3}{5} ， - \frac{4}{5})$ ，角 $β$ 的终边所在射线经过点 $Q (- m ， m) (m < 0)$ .

(1)、求 $\sin α \cdot \tan β$ 的值；

(2)、求 $\frac{\sin (\frac{π}{2} - α)}{\sin (π + α)} + \frac{\sin^{2} (\frac{3 π}{2} - β)}{\sin^{2} β + 2 \sin β \cos β}$ .

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{5} = 5 a_{1}$ ， $S_{3} - a_{2} = 8$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足： $(n \cdot 2^{n} + S_{n}) b_{n} = a_{n}$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n}}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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19. 为打造天蓝水碧生态之城，在“十四五”期间，某市将深入打好污染防治攻坚战，持续改善生态环境质量.该市生态环境局统计了某月(30天)空气质量指数，绘制成如下频率分布直方图.已知空气质量等级与空气质量指数对照如下表：

空气质量

指数

$(0 ， 50]$

$(50 ， 100]$

$(100 ， 150]$

$(150 ， 200]$

$(200 ， 300]$

300以上

空气质量

等级

一级

(优)

二级

(良)

三级

(轻度污染)

四级

(中度污染)

五级

(重度污染)

六级

(严重污染)

(1)、求该月空气质量指数的平均数(视每组中点为该组平均指数)；

(2)、现从质量指数为

[70 ， 90)

，

[90 ， 110)

，

[110 ， 130)

三组中分别抽取一天分析其它环境指数，则指数为

[70 ， 90)

的某指定的一天被抽取到的概率是多少？

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20. 已知锐角 $Δ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的所对边分别为 $a ， b ， c$ ，其中 $c = 2 \sqrt{3}$ ， $2 \sin (2 C - \frac{π}{3}) = \sqrt{3}$ .
（Ⅰ）若 $a = 2 \sqrt{2}$ ，求角 $A$ ；

（Ⅱ）求 $Δ A B C$ 面积的最大值．

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21. 某工厂调试壹号､贰号､叁号三条生产线各自独立地生产同一种零件，已知壹号生产线生产的零件是合格品且贰号生产线生产的零件是非合格品的概率为 $\frac{1}{6}$ ，贰号生产线生产的零件是合格品且叁号生产线生产的零件也是合格品的概率为 $\frac{3}{5}$ ，壹号生产线生产的零件是合格品且叁生产线生产的零件也是合格品的概率为 $\frac{8}{15}$ ，记事件A，B，C分别为壹号､贰号､叁号三条生产线各自生产的零件是合格品.

(1)、分别求出事件A，B，C的概率 $P (A)$ ， $P (B)$ ， $P (C)$ ；

(2)、从壹､贰､叁三条生产线上生产的同一种零件中随机各取1个进行检验，记事件D，E分别为三个零件中合格品为1个､2个，分别求出事件D，E的概率 $P (D)$ ， $P (E)$ .

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22. 数列可以看作是定义在正整数集的特殊函数，具有函数的性质特征，有些周期性的数列和三角函数紧密相连.记数列2， $\frac{1}{2}$ ， $- 1$ ，2， $\frac{1}{2}$ ， $- 1$ ，2， $\frac{1}{2}$ ，-1，…为 ${a_{n}}$ ，三角形式可以表达为 $a_{n} = A \sin (ω n + φ) + B$ ，其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ .

(1)、记数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{7}$ ， $S_{8}$ ， $S_{9}$ 及 $S_{n}$ ；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的三角形式通项公式.

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