2021年高考数学真题分类汇编专题10：解析几何

试卷更新日期：2021-07-09 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 已知F₁ ， F₂是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F₁PF₂=60°，|PF₁|=3|PF₂|，则C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{13}$

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2. 点 $(3 ， 0)$ 到双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} ＝ 1$ 的一条渐近线的距离为（）

A、 $\frac{9}{5}$ B、 $\frac{8}{5}$ C、 $\frac{6}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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3. 设B是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足 $| PB | \leq 2 b$ ，则C的离心率的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ B、 $[\frac{1}{2}, 1)$ C、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ D、 $(0, \frac{1}{2}]$

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4. 设B是椭圆C： $\frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$ 的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{5}$ D、2

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5. 已知F₁,F₂是椭圆C： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点，点M在C 上，则|MF₁|·|MF₂|的最大值为（）

A、13 B、12 C、9 D、6

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6. 抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点到直线 $y = x + 1$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ，则 $p =$ （）

A、1 B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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7. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l : y = k x + m$ ，当 $k$ 变化时， $l$ 截得圆 $C$ 弦长的最小值为2，则 $m =$ （）

A、 $\pm 2$ B、 $\pm \sqrt{2}$ C、 $\pm \sqrt{3}$ D、 $\pm \sqrt{5}$

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8. 双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 过点 $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ ，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ C、 $x^{2} - \frac{\sqrt{3} y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{\sqrt{3} x^{2}}{3} - y^{2} = 1$

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9. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ， B两点，交双曲钱的渐近线于C、D两点，若 $| C D | = \sqrt{2} | A B |$ ．则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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二、多选题

10. 已知点P在圆 ${(x - 5)}^{2}$ + ${(y - 5)}^{2}$ =16上，点A（4,0），B（0,2），则（）

A、点P到直线AB的距离小于10 B、点P到直线AB的距离大于2 C、当∠PBA最小时，|PB|=3 $\sqrt{2}$ D、当∠PBA最大时，|PB|=3 $\sqrt{2}$

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11. 已知直线 $l ： a x + b y - r^{2} = 0$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} = r^{2}$ ，点 $A (a, b)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B、若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C、若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D、若点A在直线l上，则直线l与圆C相切

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三、填空题

12. 已知F₁ ， F₂为椭圆C： $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 $| PQ | = | F_{1} F_{2} |$ ，则四边形PF₁QF₂的面积为。

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13. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为.

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14. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{m} - y^{2} = 1$ （m>0）的一条渐近线为 $\sqrt{3} x$ +my=0，则C的焦距为.

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15. 已知O为坐标原点，抛物线C： $y^{2} = 2 px (p > 0 ）$ 的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，若|FQ|=6，则C的准线方程为

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16. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，离心率 $e = 2$ ，则双曲线C的渐近线方程为．

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17. 已知函数 $f (x) = | e^{x} - 1 |, x_{1} < 0, x_{2} > 0$ ，函数 $f (x)$ 的图象在点 $A (x_{1}, f (x_{1}))$ 和点 $B (x_{2}, f (x_{2}))$ 的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 $\frac{| A M |}{| B N |}$ 取值范围是．

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18. 已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ ，焦点为 $F$ ，点 $M$ 为抛物线 $C$ 上的点，且 $| F M | = 6$ ，则 $M$ 的横坐标是；作 $M N ⊥ x$ 轴于 $N$ ，则 $S_{△ F M N} =$ ．

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19. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，焦点 $F_{1} (- c ， 0)$ ， $F_{2} (c ， 0)$ $(c > 0)$ ，若过 $F_{1}$ 的直线和圆 ${(x - \frac{1}{2} c)}^{2} + y^{2} = c^{2}$ 相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且 $P F_{2} ⊥ x$ 轴，则该直线的斜率是，椭圆的离心率是.

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20. 若斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线与y轴交于点A ，与圆 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 相切于点B ，则 $| A B | =$ ．

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四、解答题

21. 抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线L：x = 1交C于P，Q两点，且OP丄OQ.已知点M（2，0），且 $⊙$ M与L相切，

(1)、求 $⊙$ M的方程；

(2)、设A₁ ， A₂ ， A₃ ，是C上的三个点，直线A₁ A₂ ， A₁ A₃均与 $⊙$ M相切，判断A₂A₃与 $⊙$ M的位置关系，并说明理由.

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22. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ (p>0)的焦点F到准线的距离为2.

(1)、求C的方程.

(2)、已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 $\vec{P Q} = 9 \vec{Q F}$ ，求直线OQ斜率的最大值.

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23. 已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x²+（y+4）²=1上点的距离的最小值为4.

(1)、求p；

(2)、若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求 $Δ$ PAB的最大值.

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24. 在平面直角坐标系xOy中，已知点 $F_{1}$ (- $\sqrt{17}$ ，0)， $F_{2}$ ( $\sqrt{17}$ ， 0)，点M满足|MF₁|-|MF₂|=2.记M 的轨迹为C.

(1)、求C的方程；

(2)、设点T在直线 $x = \frac{1}{2}$ 上，过T 的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ| ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和

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25. 已知椭圆C的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，右焦点为 $F (\sqrt{2}, 0)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设M，N是椭圆C上的两点，直线 $M N$ 与曲线 $x^{2} + y^{2} = b^{2} (x > 0)$ 相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是 $| M N | = \sqrt{3}$ ．

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26. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (0 ， - 2)$ ，以四个顶点围成的四边形面积为 $4 \sqrt{5}$ ．

(1)、求椭圆E的标准方程；

(2)、过点P(0，-3)的直线l斜率为k ，交椭圆E于不同的两点B ， C ，直线AB ， AC交y=-3于点M、N ，直线AC交y=-3于点N ，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．

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27. 如图，已知F是抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且 $| M F | = 2$ ，

(1)、求抛物线的方程；

(2)、设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线 $M A ， M B ， A B$ ，x轴依次交于点P ， Q ， R ， N ，且 ${| R N |}^{2} = | P N | \cdot | Q N |$ ，求直线l在x轴上截距的范围.

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28. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，且 $| B F | = \sqrt{5}$ ．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、直线l与椭圆有唯一的公共点M ，与y轴的正半轴交于点N ，过N与BF垂直的直线交x轴于点P ．若 $M P // B F$ ，求直线l的方程．

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