江西省赣州市2020—2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-07-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $a > b$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $a^{3} > b^{3}$

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2. 过点 $(1 ， 0)$ 且与直线 $x - 2 y - 2 = 0$ 平行的直线方程是（）

A、 $x - 2 y - 1 = 0$ B、 $x + 2 y + 1 = 0$ C、 $x + 2 y - 2 = 0$ D、 $x + 2 y - 1 = 0$

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3. 若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{b} | = 1$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为（）

A、0 B、1 C、2 D、4

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4. 若 $x < 0$ ，则函数 $y = x + \frac{4}{x} - 1$ 的最大值为（）

A、-5 B、-4 C、3 D、4

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5. 在 $△ A B C$ 中，若 $B C = 8$ ， $\cos ∠ B A C = \frac{1}{3}$ ，则 $△ A B C$ 外接圆的直径为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $6 \sqrt{2}$ C、12 D、24

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6. 若直线 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ 过二、三、四象限，则（）

A、 $a > 0$ ， $b > 0$ B、 $a > 0$ ， $b < 0$ C、 $a < 0$ ， $b > 0$ D、 $a < 0$ ， $b < 0$

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7. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中，各项都是正数，且 $a_{1} ， \frac{1}{2} a_{3} ， 2 a_{2}$ 成等差数列，则 $\frac{a_{8} + a_{9}}{a_{6} + a_{7}}$ 等于（）

A、 $1 + \sqrt{2}$ B、 $1 - \sqrt{2}$ C、 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $3 - 2 \sqrt{2}$

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8. 若点 $A (a^{2} ， a)$ ， $B ({(a - 1)}^{2} ， a - 1)$ 在直线 $x - y = 0$ 的两侧，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(0 ， 1) \cup (1 ， 2)$ C、 $R$ D、 $(- \infty ， 0) \cup (2 ， + \infty)$

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9. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\frac{b + c}{\cos B + \cos C} = \frac{a}{\cos A}$ ，则 $A =$ （）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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10. 已知圆 $C_{1} ： {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = 4$ ( $a$ ， $b$ 为常数)与 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ .若圆心 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 关于直线 $x - y = 0$ 对称，则圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的位置关系为（）

A、内含 B、相交 C、相切 D、相离

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11. 在边长为1的正方形 $A B C D$ 中， $M$ 为 $A B$ 上靠近 $B$ 的三等分点， $N$ 为 $B C$ 的中点.若 $\vec{M N} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ ( $λ ， μ \in R$ )，则 $3 λ + 2 μ =$ （）

A、0 B、 $\frac{5}{6}$ C、2 D、 $\frac{13}{6}$

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12. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不共线.若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的起点相同，且向量 $\vec{a}$ ， $t \vec{b}$ ， $\frac{2020}{2021} (\vec{a} + \vec{b})$ 的终点在同一条直线上，则实数 $t$ 的值为（）

A、2020 B、2021 C、2022 D、2023

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二、填空题

13. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} + a_{13} = 2$ ，则 $2 a_{6} - a_{5} =$ .

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14. 若关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 2 a x + 1 > 0$ 的解集为 $(- \infty ， + \infty)$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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15. 在 $Δ A B C$ 中，已知 $D$ 是 $A B$ 边上一点，若 $\overset{⇀}{A D} = 2 \overset{⇀}{D B}$ ， $\overset{⇀}{C D} = \frac{1}{3} \overset{⇀}{C A} + λ \overset{⇀}{C B}$ ，则 $λ =$ ．

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16. 下列判断正确的是(请填上所有你认为正确的结果的序号).
①若 $- 6 < a < 8$ ， $2 < b < 3$ ，则 $- 3 < \frac{a}{b} < 4$ ；

②已知 $λ \in R$ ，向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， λ)$ .若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角，则实数 $λ$ 的取值范围是 $(- 1 ， 4) \cup (4 ， + \infty)$ ；

③若数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = q^{n} - 1$ ( $q$ 为常数，且 $q \neq 0$ )，则 ${a_{n}}$ 是等比数列；

④在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $A = 45 °$ ， $a = 1$ .若 $△ A B C$ 仅有一解，则边 $b$ 的取值范围是 $(0 ， 1]$ .

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{3} = 3$ ，其前3项和 $S_{3} = 3$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{2} = a_{3}$ ， $b_{3} = a_{6}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x \geq 1 \\ x - 2 y + 3 \geq 0 \\ y \geq x \end{array}$ ．

(1)、在如图所示的正方形网格（边长为1个单位长度的正方形）中画出上述不等式组表示的平面区域，并在图中标出相应直线的方程；

(2)、求 $z = \frac{y}{x + 2}$ 的取值范围.

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19. 已知向量 ${\vec{e}}_{1} = (\sqrt{3} ， 1)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (- \frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，设向量 $\vec{a} = {\vec{e}}_{1} + (x - 3) {\vec{e}}_{2}$ ， $\vec{b} = - y {\vec{e}}_{1} + x {\vec{e}}_{2}$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，其中 $x ， y \in R$ .

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式 $y = f (x)$ ；

(2)、设 $y = f (x)$ 的最小值为 $t$ .若正实数 $m$ ， $n$ 满足 $m + n = - \frac{16}{9} t$ ，求 $\frac{1}{m} + \frac{3}{n}$ 的最小值.

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20. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 3$ ，过点 $P (- 3 ， 0)$ 的直线与圆 $O$ 相交于不同的两点 $A$ ， $B$ .

(1)、求 $△ O A B$ 面积的最大值；

(2)、若 $| A B | = 2 \sqrt{2}$ ，求直线 $A B$ 的方程.

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21. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，设 $(c ， a)$ 为直线 $x - y \cos B = \frac{\sqrt{3}}{3} b \sin A$ 上一点.

(1)、求角 $A$ 的大小：

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} = 2$ ，且 $n a_{n + 1} = (n + 1) a_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 各项均为正数，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $2 S_{n}^{2} - (n^{2} + 5 n - 2) S_{n} - n^{2} - 5 n = 0$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = \frac{a_{n}^{2} + b_{n}^{2}}{a_{n} b_{n}}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} - 2 n \geq \frac{4}{3}$ .

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