福建省漳州市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-07-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $z = 1 + 2 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、5

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2. 某工厂12名工人的保底月薪如下表所示，第80百分位是（）

工人	保底月薪	工人	保底月薪
1	2890	7	2850
2	2860	8	3130
3	3050	9	2880
4	2940	10	3325
5	2755	11	2920
6	2710	12	2950

A、3050 B、2950 C、3130 D、3325

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3. 设 $D$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一点，且 $\vec{B C} = 3 \vec{D C}$ ，则（）

A、 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ B、 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A C}$ C、 $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ D、 $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$

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4. 若圆锥的底面半径为 $3 cm$ ，侧面积为 $15 π {cm}^{2}$ ，则该圆锥的体积为（）

A、 $4 π$ $c m^{3}$ B、 $9 π$ $c m^{3}$ C、 $12 π$ $c m^{3}$ D、 $36 π$ $c m^{3}$

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5. 二十四节气（The 24 Solar Terms）是指中国农历中表示季节变迁的24个特定节令，是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的.每个节气对应地球在黄道上运动 $15 °$ 所到达的一个位置，根据上述描述，从夏至到立秋对应地球在黄道上运动的角度为（）

A、 $15 °$ B、 $45 °$ C、 $30 °$ D、 $60 °$

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6. 甲、乙、丙、丁四位同学的身高各不相同，从这四位同学中随机抽出三人排成一排，则抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{12}$

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7. 如图所示，已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长均为1，则四棱锥 $A - B_{1} B C C_{1}$ 的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{12}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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8. 在 $△ A B C$ 中， $C - A = \frac{π}{2}$ ， $\sin B = \frac{1}{3}$ ， $A C = \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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二、多选题

9. 设i为虚数单位，复数 $z = (a + i) (1 + 2 i)$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $z$ 为纯虚数，则实数a的值为2 B、若 $z$ 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是 $(- \frac{1}{2} ， 2)$ C、实数 $a = - \frac{1}{2}$ 是 $z = \bar{z}$ （ $\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数）的充要条件 D、若 $z + | z | = x + 5 i (x \in R)$ ，则实数a的值为2

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10. 2020年2月8日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中，中国组合隋文静/韩聪以总分217.51分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四大洲冠军.中国另一对组合彭程/金杨以213.29分摘得银牌.花样滑冰锦标赛有9位评委进行评分，首先这9位评委给出某对选手的原始分数，评定该队选手的成绩时从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，则7个有效评分与9个原始评分相比，可能变化的数字特征是（）

A、中位数 B、平均数 C、方差 D、极差

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11. 设向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ，且 $| \vec{b} - 2 \vec{a} | = \sqrt{5}$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、 $| \vec{a} + \vec{b} | = 2$ C、 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{2}$ D、 $< \vec{a} ， \vec{b} > = 60^{\circ}$

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12. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D = 2$ ， $E$ 为边 $A B$ 的中点.将 $△ A D E$ 沿直线 $D E$ 翻折成 $△ A_{1} D E$ （点 $A_{1}$ 不落在底面 $B C D E$ 内），若 $M$ 在线段 $A_{1} C$ 上（点 $M$ 与 $A_{1}$ ， $C$ 不重合），则在 $△ A D E$ 翻转过程中，以下命题正确的是（）

A、存在某个位置，使 $D E ⊥ A_{1} C$ B、存在点M，使得 $B M ⊥$ 平面 $A_{1} D C$ 成立 C、存在点M，使得 $M B //$ 平面 $A_{1} D E$ 成立 D、四棱锥 $A_{1} - B C D E$ 体积最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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三、填空题

13. 复数 $\frac{1}{1 - i} =$ .

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14. 某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息．如图（1）的多面体石凳是由图（2）的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是 $\frac{160000}{3} {cm}^{3}$ ，则正方体石块的棱长为．

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15. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 $x$ ， $y$ ，10，12，8.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则 $| x - y |$ 的值为.

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16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知向量 $\vec{m} = (\frac{\sqrt{2}}{2} ， - \frac{\sqrt{2}}{2})$ ， $\vec{n} = (\sin x ， \cos x)$ ， $x \in (0 ， π)$ .若 $\vec{m} // \vec{n}$ ，则 $x =$ ；若存在两个不同的 $x$ 值，使得 $| \vec{n} + \vec{m} | = t | \vec{n} |$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知复数 $z$ 满足 $z \cdot \bar{z} = 2$ ，且 $z$ 的虚部为 $- 1$ ， $z$ 在复平面内所对应的点在第四象限.

(1)、求 $z$ ；

(2)、若 $z$ ， $z^{2}$ 在复平面上对应的点分别为 $A$ ， $B$ ， $O$ 为坐标原点，求 $∠ O A B$ .

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18. 从① $B = \frac{π}{4}$ ，② $a = 3 \sqrt{2} \sin B$ 这两个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答.已知 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边，且 $\sin^{2} A = \sin^{2} B + \sin^{2} C + \sin B \sin C$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、已知 $b = \sqrt{6}$ ，且 ▲ ，求 $\sin C$ 的值及 $△ A B C$ 的面积.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

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19. 如图，在直角△ABC中，点D为斜边BC的靠近点B的三等分点，点E为AD的中点， $\vec{A B} = 3 ， \vec{A C} = 6$

(1)、用 $\vec{A B} ， \vec{A C}$ 表示 $\vec{A D}$ 和 $\vec{E B}$ ；

(2)、求向量 $\vec{E B}$ 与 $\vec{E C}$ 夹角的余弦值．

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20. 由袁隆平团队研发的第三代杂交水稻于2019年10月21日至22日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3公斤，第三化杂交水稻的综合优势可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展．某企业引进一条先进的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工，创建一个新产品，已知该产品的质量以某项指标值

k (70 \leq k < 100)

为衡量标准，质量指标的等级划分如表：

质量指标值 $k$	$90 \leq k < 100$	$85 \leq k < 90$	$80 \leq k < 85$	$75 \leq k < 80$	$70 \leq k < 75$
产品等级	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$

为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品的指标值，在以组距为5画频率分布直方图（设“ $\frac{频率}{组距} = Y$ ”时，发现 $Y$ 满足： $Y = {\begin{array}{l} \frac{3 n - 39}{300} ， n \leq 16 \\ a \cdot 2^{20 - n} ， n > 16 \end{array}$ ， $n \in N^{*}$ ， $5 n \leq k < 5 (n + 1)$ ．

(1)、试确定

n

的所有取值，并求

a

；

(2)、从样本质量指标值不小于85的产品中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中一次性随机抽取2件产品，求至少有1件

A

级品的概率；

(3)、求样本质量指标值

k

的平均数

\bar{k}

（各分组区间的数据以该组区间的中点值代表）．

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21. 为进一步增强全市中小学学生和家长的防溺水安全意识，特在全市开展“防溺水安全教育”主题宣传活动.该市水利部门在水塘等危险水域设置警示标志，警示标志如下图所示.其中 $A B C D$ ， $A E F G$ ， $G M N D$ 均为正方形，且 $A B = \sqrt{2}$ ， $A E = 1$ .其中 $A M$ ， $A N$ 为加强支撑管.

(1)、若 $A G ⊥ A D$ 时，求 $A$ 到地面距离；

(2)、若记 $∠ G A D = θ (0 < θ < π)$ ，求支撑管 $A N$ 最长为多少？

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22. 如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G.

（Ⅰ）证明：G是AB的中点；

（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．

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