2021年高考数学真题分类汇编专题04：数列

试卷更新日期：2021-07-09 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{2} ＝ 4 ， S_{4} ＝ 6$ ，则 $S_{6} ＝$ （）

A、7 B、8 C、9 D、10

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2. 数列 ${a_{n}}$ 是递增的整数数列，且 $a_{1} \geq 3$ ， $a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} = 100$ ，则 $n$ 的最大值为（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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3. ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 是两个等差数列，其中 $\frac{a_{k}}{b_{k}} (1 \leq k \leq 5)$ 为常值， $a_{1} = 288$ ， $a_{5} = 96$ ， $b_{1} = 192$ ，则 $b_{3} =$ （）

A、64 B、128 C、256 D、512

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4. 已知 $a, b \in R, a b > 0$ ，函数 $f (x) = a x^{2} + b (x \in R)$ .若 $f (s - t), f (s), f (s + t)$ 成等比数列，则平面上点 $(s, t)$ 的轨迹是（）

A、直线和圆 B、直线和椭圆 C、直线和双曲线 D、直线和抛物线

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{1 + \sqrt{a_{n}}} (n \in N^{*})$ .记数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $\frac{3}{2} < S_{100} < 3$ B、 $3 < S_{100} < 4$ C、 $4 < S_{100} < \frac{9}{2}$ D、 $\frac{9}{2} < S_{100} < 5$

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二、填空题

6. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现此纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折。规格为20dm×12dm的长方形纸.对折1次共可以得到10dm×2dm、20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和 S₁ =240 dm² ，对折2次共可以得5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和 S₂=180dm²。以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折n次，那么 $\sum_{k = 1}^{n} s_{k}$ =dm.

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三、解答题

7. 记 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{n} > 0 ， a_{2} ＝ 3 a_{1}$ ，且数列 ${\sqrt{S_{n}}}$ 是等差数列．证明： ${a_{n}}$ 是等差数列．

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8. 已知数列{a_n｝的各项均为正数，记S_n为{a_n｝的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列{a_n｝是等差数列：②数列{ $\sqrt{S_{n}}$ ｝是等差数列；③a₂=3a₁

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

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9. 记S_n为数列{a_n}的前n项和，b_n为数列{S_n}的前n项积，已知 $\frac{2}{S_{n}} + \frac{1}{b_{n}}$ =2.

(1)、证明：数列{b_n}是等差数列；

(2)、求{a_n}的通项公式.

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10. 设 ${a_{n}}$ 是首项为1的等比数列，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{n a_{n}}{3}$ ，已知 $a_{1}$ ，3 $a_{2}$ ，9 $a_{3}$ 成等差数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ 分别为 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的前n项和.证明： $T_{n}$ < $\frac{S_{n}}{2}$ .

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11. 已知数列{ $a_{n}$ }满足 $a_{1}$ =1， $a_{n + 1} = {\begin{matrix} a_{n} + 1 ， n 为奇数 \\ a_{n} + 2 ， n 为偶数 \end{matrix}$

(1)、记 $b_{n}$ = $a_{2 n}$ ，写出 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ，并求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 ${a_{n}}$ 的前20项和

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12. 记 $S_{n}$ 是公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{3} = S_{5}, a_{2} a_{4} = S_{4}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、求使 $S_{n} > a_{n}$ 成立的n的最小值．

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13. 设p为实数．若无穷数列{a_n}满足如下三个性质，则称{a_n}为R_P数列：
：① $a_{1} + p \geq 0$ ， $a_{2} + p = 0$ ；
② $a_{4 n - 1} < a_{4 n} (n = 1 ， 2 ， \dots)$ ；
③ $a_{m + n} \in {a_{m} + a_{n} + p ， a_{m} + a_{n} + p + 1}$ （m=1，2，…；n=1，2，…）．

(1)、如果数列{a_n}的前4项2，-2，-2，-1的数列，那么{a_n}是否可以为 $R_{2}$ 数列？说明理由；

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 是 $R_{0}$ 数列，求 $a_{5}$ ；

(3)、设数列{a_n}的前n项和为S_n ，是否存在 $R_{p}$ 数列 ${a_{n}}$ ，对 $S_{n} \geq S_{10}$ 恒成立？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由．

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = - \frac{9}{4}$ ，且 $4 S_{n + 1} = 3 S_{n} - 9$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $3 b_{n} + (n - 4) a_{n} = 0$ ，记 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，若 $T_{n} \leq λ b_{n}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，求 $λ$ 的范围.

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15. 已知 ${a_{n}}$ 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． ${b_{n}}$ 是公比大于0的等比数列， $b_{1} = 4 ， b_{3} - b_{2} = 48$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $c_{n} = b_{2 n} + \frac{1}{b_{n}} ， n \in N^{*}$ .
（i）证明 ${c_{n}^{2} - c_{2 n}}$ 是等比数列；

（ii）证明 $\sum_{k = 1}^{n} \sqrt{\frac{a_{k} a_{k + 1}}{c_{k}^{2} - c_{2 k}}} < 2 \sqrt{2} (n \in N^{*})$

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