全国历年中考数学真题精选汇编：锐角三角函数2

试卷更新日期：2021-07-09 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（参考数据： $\sqrt{3}$ ≈1.732）（）

A、136.6米 B、86.7米 C、186.7米 D、86.6米

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2. 如图所示， $Δ A B C$ 的顶点在正方形网格的格点上，则 $\tan A$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内）.已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于（）

A、asinx+bsinx B、acosx+bcosx C、asinx+bcosx. D、acosx+bsinx

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5. 一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（）（结果保留小数点后两位）（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732 ， \sqrt{2} \approx 1.414$ ）

A、4.64海里 B、5.49海里 C、6.12海里 D、6.21海里

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6.
如图，学校环保社成员想测量斜坡 $C D$ 旁一棵树 $A B$ 的高度，他们先在点 $C$ 处测得树顶 $B$ 的仰角为 $60^{\circ}$ ，然后在坡顶 $D$ 测得树顶 $B$ 的仰角为 $30^{\circ}$ ，已知斜坡 $C D$ 的长度为 $20 m$ ， $D E$ 的长为 $10 m$ ，则树 $A B$ 的高度是（） $m$

A、 $20 \sqrt{3}$ B、30 C、 $30 \sqrt{3}$ D、40

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7.
如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（　　）

A、不变 B、增大 C、减小 D、先变大再变小

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二、填空题

8. 如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°.若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为m.（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

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9. 图2、图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME，EF，FN是门轴的滑动轨道，∠E=∠F=90°，两门AB，CD的门轴A，B，C，D都在滑动轨道上．两门关闭时（图2），A，D分别在E，F处，门缝忽略不计（即B，C重合）；两门同时开启，A，D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B，C滑动；B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启。已知AB=50cm，CD=40cm．

(1)、如图3，当∠ABE=30°时，BC= cm．

(2)、在（1）的基础上，当A向M方向继续滑动15cm时，四边形ABCD的面积为cm² ．

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10. 在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于．

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11.
如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ= $\sqrt{3}$ ，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为．

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三、解答题

12. 在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米.请你帮小明求出办公楼的高度.（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33， $\sqrt{3}$ ≈1.73）

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13. 如图，某海岸边有B，C两码头，C码头位于B码头的正东方向，距B码头40海里.甲、乙两船同时从A岛出发，甲船向位于A岛正北方向的B码头航行，乙船向位于A岛北偏东 $30 °$ 方向的C码头航行，当甲船到达距B码头30海里的E处时，乙船位于甲船北偏东 $60 °$ 方向的D处，求此时乙船与C码头之间的距离.（结果保留根号）

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14. 如图，小岛 $C$ 和 $D$ 都在码头 $O$ 的正北方向上，它们之间距离为 $6.4 km$ ，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头 $O$ 的正西方向 $A$ 处时，测得 $∠ C A O = 26.5 °$ ，渔船速度为 $28 km / h$ ，经过 $0 .2h$ ，渔船行驶到了 $B$ 处，测得 $∠ D B O = 49 °$ ，求渔船在 $B$ 处时距离码头 $O$ 有多远？（结果精确到 $0.1 km$ ）
（参考数据： $\sin 26.5 ° \approx 0.45$ ， $\cos 26.5 ° \approx 0.89$ ， $\tan 26.5 ° \approx 0.50$ ， $\sin 49 ° \approx 0.75$ ， $\cos 49 ° \approx 0.66$ ， $\tan 49 ° \approx 1.15$ ）

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15. 为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向 $(30 + 30 \sqrt{3}) km$ 处.学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是 $40 km / h$ ，第二组乘公交车，速度是 $30 km / h$ ，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）

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16. 我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面 $15 m$ 的 $A$ 处测得在 $C$ 处的龙舟俯角为 $23 °$ ；他登高 $6 m$ 到正上方的 $B$ 处测得驶至 $D$ 处的龙舟俯角为 $50 °$ ，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到 $1 m$ ，参考数据： $\tan 23 ° \approx 0.42$ ， $\tan 40 ° \approx 0.84$ ， $\tan 50 ° \approx 1.19$ ， $\tan 67 ° \approx 2.36$ ）

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17. 居家学习期间，小睛同学运用所学知识在自家阳台测对面大楼的高度如图，她利用自制的测角仪测得该大楼顶部的仰角为 $45^{\circ}$ ，底部的俯角为 $38^{\circ}$ ：又用绳子测得测角仪距地面的高度 $A B$ 为 $31.6 m$ ．求该大棱的高度（结果精确到 $0.1 m$ ）（参考数据： $\sin 38^{\circ} \approx 0.62$ ， $\cos 38^{\circ} \approx 0.79$ ， $\tan 38^{\circ} \approx 0.78$ ）

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18. 如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B相距 $35 m$ 的C处，用高 $1.5 m$ 的测角仪 $C D$ 测得该塔顶端 $A$ 的仰角 $∠ E D A$ 为 $36 °$ ．求塔 $A B$ 的高度（结果精确到 $1 m$ ）．（参考数据： $\sin 36 ° = 0.59$ ， $\cos 36 ° = 0.81$ ， $\tan 36 ° = 0.73$ ）

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19. 如图，海中有一个小岛A，它周围10海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在B点测得小岛A在北偏西60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏西30°方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由.（参考数据： $\sqrt{3}$ ≈1.73）

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20. 如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，AB=2km，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站B测得船C在北偏西30°的方向.求船C离观测站A的距离.

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21. 从A处看一栋楼顶部的仰角为 $α$ ，看这栋楼底部的俯角为 $β$ ，A处与楼的水平距离 $A D$ 为 $90m$ ，若 $\tan α = 0.27 ， \tan β = 2.73$ ，求这栋楼高．

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22. 某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直．某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得 $B C = 414 m$ ， $A B = 300 m$ ，求出点D到AB的距离．（参考数据 $\sin 65^{°} \approx 0.91$ ， $\cos 65^{°} \approx 0.42$ ， $\tan 65^{°} \approx 2.14$ ）

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23. 某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图①所示， $C D$ 部分），在起点 $A$ 处测得大楼部分楼体 $C D$ 的顶端 $C$ 点的仰角为 $45 °$ ，底端 $D$ 点的仰角为 $30 °$ ，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达 $B$ 处，测得顶端 $C$ 的仰角为 $63.4 °$ （如图②所示），求大楼部分楼体 $C D$ 的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据： $\sin 63.4 ° \approx 0.89$ ， $\cos 63.4 ° \approx 0.45$ ， $\tan 63.4 ° \approx 2.00$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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24. 超速行驶是一种十分危险的违法驾驶行为，在一条笔直的高速公路MN上，小型车限速为每小时120千米，设置在公路旁的超速监测点C，现测得一辆小型车在监测点C的南偏西30°方向的A处，7秒后，测得其在监测点C的南偏东45°方向的B处，已知BC=200米，B在A的北偏东75°方向，请问：这辆车超速了吗？通过计算说明理由．（参考数据： $\sqrt{2}$ ≈1.41， $\sqrt{3}$ ≈1.73）

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25.
如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点A处测得正前方小岛C的俯角为30°，面向小岛方向继续飞行10km到达B处，发现小岛在其正后方，此时测得小岛的俯角为45°，如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的高度（结果保留根号）．

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26. “兰州中山桥“位于兰州滨河路中段白塔山下、金城关前，是黄河上第一座真正意义上的桥梁，有“天下黄河第一桥“之美誉．它像一部史诗，记载着兰州古往今来历史的变迁．桥上飞架了5座等高的弧形钢架拱桥．
小芸和小刚分别在桥面上的A，B两处，准备测量其中一座弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离AB=20m，小芸在A处测得∠CAB=36°，小刚在B处测得∠CBA=43°，求弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离．（结果精确到0.1m）（参考数据sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）

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27.
如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）
（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81， $\sqrt{2}$ ≈1.41， $\sqrt{3}$ ≈1.73， $\sqrt{5}$ ≈2.24）

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28.
如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡AE的长度．她先在山脚下点E处测得山顶A的仰角是30°，然后，她沿着坡度是i=1：1（即tan∠CED=1）的斜坡步行15分钟抵达C处，此时，测得A点的俯角是15°．已知小丽的步行速度是18米/分，图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上．求出娱乐场地所在山坡AE的长度．（参考数据： $\sqrt{2}$ ≈1.41，结果精确到0.1米）

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29.
如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度DE，DE所在直线与水平线AN垂直．他们在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿着射线AN方向前进50米到达B处，此时测得塔尖D的仰角∠DBN=61.4°．现在请你帮助课外活动小组算一算塔高DE大约是多少米？（结果精确到个位）（参考数据：sin25.6°≈0.4，cos25.6°≈0.9，tan25.6°≈0.5，sin61.4°≈0.9，cos61.4°≈0.5，tan61.4°≈1.8）

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四、综合题

30. 如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度 $A B$ ，在观测点 $C$ 处测得大桥主架顶端 $A$ 的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点 $B$ 的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离 $C M$ 为60米，且 $A B$ 垂直于桥面.（点 $A ， B ， C ， M$ 在同一平面内）

（参考数据 $\sin 14^{°} \approx 0.24 ， \cos 14^{°} \approx 0.97 ， \tan 14^{°} \approx 0.25 ， \sqrt{3} \approx 1.73$ ）

(1)、求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号）

(2)、求大桥主架在水面以上的高度 $A B$ .（结果精确到1米）

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31. 一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73 ， \sqrt{5} \approx 2.24 ， \sqrt{7} \approx 2.65$ ）

(1)、这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．

(2)、渔船航行3小时后到达C处，求A ， C之间的距离．

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32. 沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形 $A B C D$ ，高 $D H = 12$ 米，斜坡 $C D$ 的坡度 $i = 1 ： 1$ ，此处大堤的正上方有高压电线穿过， $P D$ 表示高压线上的点与堤面 $A D$ 的最近距离（P、D、H在同一直线上），在点C处测得 $∠ D C P = 26 °$ ．

(1)、求斜坡 $C D$ 的坡角 $α$

(2)、电力部门要求此处高压线离堤面 $A D$ 的安全距离不低于18米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？（参考数据： $\sin 26^{\circ} \approx 0.44$ ， $\tan 26^{\circ} \approx 0.49$ ， $\sin 71^{\circ} \approx 0.95$ ， $\tan 71^{\circ} \approx 2.90$ ）

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33. （材料阅读）2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰，将用中国科技“定义”世界新高度.其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶上立一个规标，找到2个以上测量点，分段测量山的高度，再进行累加.因为地球面并不是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当两个测量点的水平距离大于300m时，还要考虑球气差，球气差计算公式为f＝ $\frac{0.43 d^{2}}{R}$ （其中d为两点间的水平距离，R为地球的半径，R取6400000m），即：山的海拔高度＝测量点测得山的高度+测量点的海拔高度+球气差.
（问题解决）某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动.如图，点A，B的水平距离d＝800m，测量仪AC＝1.5m，觇标DE＝2m，点E，D，B在垂直于地面的一条直线上，在测量点A处用测量仪测得山项觇标顶端E的仰角为37°，测量点A处的海拔高度为1800m.

(1)、数据6400000用科学记数法表示为；

(2)、请你计算该山的海拔高度.（要计算球气差，结果精确到0.01m）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

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34. 如图， $A B ， C D$ 两楼地面距离BC为 $30 \sqrt{3}$ 米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD顶部点D的仰角为45度．

(1)、求 $∠ C A D$ 的大小；

(2)、求楼CD的高度（结果保留根号）．

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35. 为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东 $60 °$ 方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东 $30 °$ 方向上．

(1)、求B处到灯塔P的距离；

(2)、已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？

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36. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”.如图，半径为 $3 m$ 的筒车 $⊙ O$ 按逆时针方向每分钟转 $\frac{5}{6}$ 圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心 $O$ 距离水面的高度 $O C$ 长为 $2.2 m$ ，简车上均匀分布着若干个盛水筒.若以某个盛水筒 $P$ 刚浮出水面时开始计算时间.

(1)、经过多长时间，盛水筒 $P$ 首次到达最高点？

(2)、浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？

(3)、若接水槽 $M N$ 所在直线是 $⊙ O$ 的切线，且与直线 $A B$ 交于点M， $M O = 8 m$ .求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线 $M N$ 上.（参考数据： $\cos 43^{°} = \sin 47^{°} \approx \frac{11}{15}$ ， $\sin 16^{°} = \cos 74^{°} \approx \frac{11}{40}$ ， $\sin 22^{°} = \cos 68^{°} \approx \frac{3}{8}$ ）

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37. 如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA＝3，tan∠OAC＝ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，D是BC的中点.

(1)、求OC的长和点D的坐标；

(2)、如图2，M是线段OC上的点，OM＝ $\frac{2}{3}$ OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连结DE交AB于点F
①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；

②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长.

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38.
如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C= $\frac{A D}{A C}$ ，则
S_△_ABC= $\frac{1}{2}$ BC×AD= $\frac{1}{2}$ ×BC×ACsin∠C= $\frac{1}{2}$ absin∠C，
即S_△_ABC= $\frac{1}{2}$ absin∠C
同理S_△_ABC= $\frac{1}{2}$ bcsin∠A
S_△_ABC= $\frac{1}{2}$ acsin∠B

通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：

如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则
a²=b²+c²﹣2bccos∠A
b²=a²+c²﹣2accos∠B
c²=a²+b²﹣2abcos∠C
用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：

(1)、
如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S_△_DEF和DE² ．
解：S_△_DEF= $\frac{1}{2}$ EF×DFsin∠F=；
DE²=EF²+DF²﹣2EF×DFcos∠F= ．

(2)、
如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄ ，求证：S₁+S₂=S₃+S₄ ．

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39. 小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°．已知A点离地面的高度AB=2米，∠BCA=30°，且B，C，D三点在同一直线上．

(1)、求树DE的高度；

(2)、求食堂MN的高度．

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40. 在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验．如图，表盘是△ABC，其中AB=AC，∠BAC=120°，在点A处有一束红外光线AP，从AB开始，绕点A逆时针匀速旋转，每秒钟旋转15°，到达AC后立即以相同旋转速度返回AB，到达后立即重复上述旋转过程．小明通过实验发现，光线从AB处旋转开始计时，旋转1秒，此时光线AP交BC边于点M，BM的长为（20 $\sqrt{3}$ ﹣20）cm．

(1)、求AB的长；

(2)、从AB处旋转开始计时，若旋转6秒，此时光线AP与BC边的交点在什么位置？若旋转2014秒，交点又在什么位置？请说明理由．

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