全国历年中考数学真题精选汇编：锐角三角函数1

试卷更新日期：2021-07-09 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 如图， $△ A B C$ 底边 $B C$ 上的高为 $h_{1}$ ， $△ P Q R$ 底边 $Q R$ 上的高为 $h_{2}$ ，则有（）

A、 $h_{1} = h_{2}$ B、 $h_{1} < h_{2}$ C、 $h_{1} > h_{2}$ D、以上都有可能

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2. 如图，小明利用一个锐角是 $30 °$ 的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离 $B C$ 为 $15m$ ， $A B$ 为 $1 .5m$ （即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（）

A、 $(15 \sqrt{3} + \frac{3}{2}) m$ B、 $5 \sqrt{3} m$ C、 $15 \sqrt{3} m$ D、 $(5 \sqrt{3} + \frac{3}{2}) m$

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3. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O ， ∠ B A C = 120 ° ， A B = A C ， B D$ 是 $⊙ O$ 的直径，若 $A D = 3$ ，则 $B C =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、3 D、4

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4. 如图是一架人字梯，已知 $A B = A C = 2$ 米，AC与地面BC的夹角为 $α$ ，则两梯脚之间的距离BC为（）

A、 $4 \cos α$ 米 B、 $4 \sin α$ 米 C、 $4 \tan α$ 米 D、 $\frac{4}{\cos α}$ 米

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5. 如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为 $i = 1 ： 2.4$ ，坡顶D到BC的垂直距离 $D E = 50$ 米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（参考数据： $\sin 50 ° \approx 0.77$ ； $\cos 50 ° \approx 0.64$ ； $\tan 50 ° \approx 1.19$ ）

A、69.2米 B、73.1米 C、80.0米 D、85.7米

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6. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为 $4 \sqrt{3}$ ，∠CDF=15°，则阴影部分的面积为（）

A、 $16 π - 12 \sqrt{3}$ B、 $16 π - 24 \sqrt{3}$ C、 $20 π - 12 \sqrt{3}$ D、 $20 π - 24 \sqrt{3}$

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7. 如图，直线 $l_{1}$ 与反比例函数 $y = \frac{3}{x} (x > 0)$ 的图象相交于A、B两点，线段 $A B$ 的中点为点C，过点C作x轴的垂线，垂足为点D.直线 $l_{2}$ 过原点O和点C.若直线 $l_{2}$ 上存在点 $P (m ， n)$ ，满足 $∠ A P B = ∠ A D B$ ，则 $m + n$ 的值为（）

A、 $3 - \sqrt{5}$ B、3或 $\frac{3}{2}$ C、 $3 + \sqrt{5}$ 或 $3 - \sqrt{5}$ D、3

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8. 如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即 $E F = 15$ 米，在点E处看点D的仰角为64°，则 $C D$ 的长用三角函数表示为（）

A、 $15 \sin 32 °$ B、 $15 \tan 64 °$ C、 $15 \sin 64 °$ D、 $15 \tan 32 °$

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二、填空题

9. 如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图， $A B$ ， $B C$ 可分别绕点A，B转动，测量知 $B C = 8 cm$ ， $A B = 16 cm$ .当 $A B$ ， $B C$ 转动到 $∠ B A E = 60 °$ ， $∠ A B C = 50 °$ 时，点C到 $A E$ 的距离为cm.（结果保留小数点后一位，参考数据： $\sin 70 ° \approx 0.94$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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10. 将一副三角板如图放置在平面直角坐标系中，顶点A与原点O重合，AB在x轴正半轴上，且 $A B = 4 \sqrt{3}$ ，点E在AD上， $D E = \frac{1}{4} A D$ ，将这副三角板整体向右平移个单位，C，E两点同时落在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上.

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11. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = A C = 10$ ，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $M$ 在线段 $A C$ 上，且 $A M = 3$ ，点 $P$ 为线段 $B D$ 上的一个动点，则 $M P + \frac{1}{2} P B$ 的最小值是.

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12. 图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上.若 $A B = 30 cm$ ，则BC长为cm（结果保留根号）.

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13. 如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图.自动扶梯 $A B$ 的倾斜角为 $30 °$ ，在自动扶梯下方地面 $C$ 处测得扶梯顶端 $B$ 的仰角为 $60 °$ ， $A$ 、 $C$ 之间的距离为4 $m$ . 则自动扶梯的垂直高度 $B D$ = $m$ .（结果保留根号）

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三、计算题

14.

(1)、计算： $4 \sin 60 ° - \sqrt{12} + {(2 - \sqrt{3})}^{0}$ .

(2)、解不等式： $5 x + 3 ⩾ 2 (x + 3)$ .

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15. 计算或化简：

(1)、 ${(- \frac{1}{3})}^{0} + | \sqrt{3} - 3 | + \tan 60 °$ ；

(2)、 $(a + b) \div (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$ .

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16. 计算： ${(2021 - π)}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} - 2 \cos 45 °$ .

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17.

(1)、计算：2^﹣¹+ $\sqrt{12}$ ﹣sin30°；
（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）

(2)、化简并求值：1﹣ $\frac{a}{a + 1}$ ，其中a＝﹣ $\frac{1}{2}$ ．

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18. 计算： ${(- \frac{1}{2})}^{- 1} + \tan 60 ° - | 2 - \sqrt{3} | + {(π - 3)}^{0} - \sqrt{12}$

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19.

(1)、计算： $2^{- 1} + | \sqrt{6} - 3 | + 2 \sqrt{3} \sin 45 ° - {(- 2)}^{2021} \times {(\frac{1}{2})}^{2022}$ .

(2)、先化简，再求值： $(\frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 2 a + 1} - \frac{1}{1 - a}) \div \frac{2}{a^{2} - a}$ ，其中 $a$ 满足 $a^{2} + 2 a - 15 = 0$ .

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20.

(1)、计算： $| \sqrt{5} - 3 | + 2 \sqrt{5} \cos 60 ° - \frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{8} - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{0}$ .

(2)、先化简，再求值： $(x + 2 + \frac{3}{x - 2}) \div \frac{1 + 2 x + x^{2}}{x - 2}$ ，其中 $x = \sqrt{2} + 1$ .

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四、解答题

21. 一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，参考数据： $\sqrt{2} \approx$ 1.414， $\sqrt{3} \approx$ =1.732).

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22. 2021年，州河边新建成了一座美丽的大桥.某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为 $30 °$ 的河床斜坡边，斜坡 $B C$ 长为48米，在点 $D$ 处测得桥墩最高点 $A$ 的仰角为 $35 °$ ， $C D$ 平行于水平线 $B M$ ， $C D$ 长为 $16 \sqrt{3}$ 米，求桥墩 $A B$ 的高（结果保留1位小数）.（ $\sin 35 ° \approx 0.57$ ， $\cos 35 ° \approx 0.82$ ， $\tan 35 ° \approx 0.70$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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23. 如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D.测得 $C D = 80 m$ ， $∠ A C D = 90 °$ ， $∠ B C D = 45 °$ ， $∠ A D C = 19 ° 1 7^{'}$ ， $∠ B D C = 56 ° 1 9^{'}$ ，设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离.（参考数据： $\tan 19 ° 1 7^{'} \approx 0.35 ， \tan 56 ° 1 9^{'} \approx 1.50$ .）

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24. 乡村振兴使人民有更舒适的居住条件，更优美的生活环境，如图是怡佳新村中的两栋居民楼，小明在甲居民楼的楼顶 $D$ 处观测乙居民楼楼底 $B$ 处的俯角是 $30 °$ ，观测乙居民楼楼顶 $C$ 处的仰角为 $15 °$ ，已知甲居民楼的高为 $10 m$ ，求乙居民楼的高.（参考数据： $\sqrt{2} = 1.414$ ， $\sqrt{3} = 1.732$ ，结果精确到 $0.1 m$ ）

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25. “眉山水街”走红网络，成为全国各地不少游客新的打卡地！游客小何用无人机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测，如图，无人机从 $A$ 处测得该建筑物顶端 $C$ 的俯角为24°，继续向该建筑物方向水平飞行20米到达 $B$ 处，测得顶端 $C$ 的俯角为45°，已知无人机的飞行高度为60米，则这栋建筑物的高度是多少米？（精确到0.1米，参考数据： $\sin 24 ° \approx \frac{2}{5}$ ， $\cos 24 ° \approx \frac{9}{10}$ ， $\tan 24 ° \approx \frac{9}{20}$ ）

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26. 如图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知跑步机手柄 $A B$ 与地面 $D E$ 平行，踏板 $C D$ 长为 $1.5 m$ ， $C D$ 与地面 $D E$ 的夹角 $∠ C D E = 15 °$ ，支架 $A C$ 长为 $1 m$ ， $∠ A C D = 75 °$ ，求跑步机手柄 $A B$ 所在直线与地面 $D E$ 之间的距离.（结果精确到 $0.1 m$ .参考数据： $\sin 15 ° \approx 0.26$ ， $\cos 15 ° \approx 0.97$ ， $\tan 15 ° \approx 0.27$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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27. 图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图.支撑杆AB垂直于地面l，活动杆CD固定在支撑杆上的点E处.若∠AED＝48°，BE＝110cm，DE＝80cm，求活动杆端点D离地面的高度DF.（结果精确到1cm，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）

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28. 如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑.宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”.某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图2，宝塔 $C D$ 垂直于地面，在地面上选取 $A ， B$ 两处分别测得 $∠ C A D$ 和 $∠ C B D$ 的度数（ $A ， D ， B$ 在同一条直线上）.

数据收集：通过实地测量：地面上 $A ， B$ 两点的距离为 $58 m ， ∠ C A D = 42 ° ， ∠ C B D = 58 °$ .

问题解决：求宝塔 $C D$ 的高度（结果保留一位小数）.

参考数据： $\sin 42 ° \approx 0.67 ， \cos 42 ° = 0.74 ， \tan 42 ° \approx 0.90$ ， $\sin 58 ° = 0.85 ， \cos 58 ° = 0.53 ， \tan 58 ° = 1.60$ .

根据上述方案及数据，请你完成求解过程.

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29. 某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于 $A$ 处的济南舰突然发现北偏西 $30 °$ 方向上的 $C$ 处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里 $B$ 处的西安舰，西安舰测得 $C$ 处位于其北偏西 $60 °$ 方向上，请问此时两舰距 $C$ 处的距离分别是多少？

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五、综合题

30. 如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为 $75 °$ ，测得小区楼房 $B C$ 顶端点C处的俯角为 $45 °$ .已知操控者A和小区楼房 $B C$ 之间的距离为45米，小区楼房 $B C$ 的高度为 $15 \sqrt{3}$ 米.

(1)、求此时无人机的高度；

(2)、在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于 $A B$ 的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行.问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内.参考数据： $\tan 75 ° = 2 + \sqrt{3}$ ， $\tan 15 ° = 2 - \sqrt{3}$ .计算结果保留根号）

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31. 在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐.一市民骑自行车由A地出发，途经B地去往C地，如图.当他由A地出发时，发现他的北偏东 $45 °$ 方向有一信号发射塔P.他由A地沿正东方向骑行 $4 \sqrt{2}$ km到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东 $15 °$ 方向，然后他由B地沿北偏东 $75 °$ 方向骑行12km到达C地.

(1)、求A地与信号发射塔P之间的距离；

(2)、求C地与信号发射塔P之间的距离.（计算结果保留根号）

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32. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点O，已知 $O A = O C$ ， $O B = O D$ ，过点O作 $E F ⊥ B D$ ，分别交 $A B$ 、 $D C$ 于点E，F，连接 $D E$ ， $B F$ .

(1)、求证：四边形 $D E B F$ 是菱形：

(2)、设 $A D // E F$ ， $A D + A B = 12$ ， $B D = 4 \sqrt{3}$ ，求 $A F$ 的长.

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33. 在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？

(1)、如图①，圆锥的母线长为 $12cm$ ，B为母线 $O C$ 的中点，点A在底面圆周上， $\overset{⌢}{A C}$ 的长为 $4 π cm$ .在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）.

(2)、图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成.O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上.设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h.
①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为 ▲ （用含l，h的代数式表示）.

②设 $\overset{⌢}{A D}$ 的长为a，点B在母线 $O C$ 上， $O B = b$ .圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路.

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34. 某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥，如图，该河旁有一座小山，山高 $B C = 80 m$ ，坡面 $A B$ 的坡度 $i = 1 ： 0.7$ （注：从山顶 $B$ 处测得河岸 $E$ 和对岸 $F$ 的俯角分别为 $∠ D B E = 45 °$ ， $∠ D B F = 31 °$ .

（参考数据： $\sin 31 ° \approx 0.52$ ， $\cos 31 ° \approx 0.86$ ， $\tan 31 ° \approx 0.60$ ）

(1)、求山脚 $A$ 到河岸 $E$ 的距离；

(2)、若在此处建桥，试求河宽 $E F$ 的长度.（结果精确到 $0.1 m$ ）

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35. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $B D$ 上的两点（点 $E$ 在点 $F$ 左侧），且 $∠ A E B = ∠ C F D = 90 °$ .

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 是平行四边形.

(2)、当 $A B = 5$ ， $\tan ∠ A B E = \frac{3}{4}$ ， $∠ C B E = ∠ E A F$ 时，求 $B D$ 的长.

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36. 拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm.点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内，

(1)、转动连杆BC，手臂CD，使 $∠ A B C = 143 °$ ， $C D / / l$ ，如图2，求手臂端点D离操作台 $l$ 的高度DE的长（精确到1cm，参考数据： $\sin 53 ° \approx 0.8$ ， $\cos 53 ° \approx 0.6$ ）.

(2)、物品在操作台 $l$ 上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由.

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37. 我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄 $A P$ 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角 $∠ B A C$ ，且 $A B = A C$ ，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动.如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点 $D^{'}$ 的位置，且A，B， $D^{'}$ 三点共线， $A D^{'} = 40 cm$ ，B为 $A D^{'}$ 中点，当 $∠ B A C = 140 °$ 时，伞完全张开.

(1)、求 $A B$ 的长.

(2)、当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离.（参考数据： $\sin 70 ° \approx 094 ， \cos 70 ° \approx 0.34 ， \tan 70 ° \approx 2.75$ ）

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38. 已知：如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点O， $∠ B O C = 120 ° ， A B = 2$ .

(1)、求矩形对角线的长.

(2)、过O作 $O E ⊥ A D$ 于点E，连结BE.记 $∠ A B E = α$ ，求 $tan α$ 的值.

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39. 我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地.小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿 $A B$ 摆成如图1所示.已知 $A B = 4.8 m$ ，鱼竿尾端A离岸边 $0.4 m$ ，即 $A D = 0.4 m$ .海面与地面 $A D$ 平行且相距 $1.2 m$ ，即 $D H = 1.2 m$ .

(1)、如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线 $B C$ 与海面 $H C$ 的夹角 $∠ B C H = 37 °$ ，海面下方的鱼线 $CO$ 与海面 $H C$ 垂直，鱼竿 $A B$ 与地面 $A D$ 的夹角 $∠ B A D = 22 °$ .求点O到岸边 $D H$ 的距离；

(2)、如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角 $∠ B A D = 53 °$ ，此时鱼线被拉直，鱼线 $B O = 5.46 m$ ，点O恰好位于海面.求点O到岸边 $D H$ 的距离.（参考数据： $\sin 37 ° = \cos 53 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $\cos 37 ° = \sin 53 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $\tan 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ， $\sin 22 ° \approx \frac{3}{8}$ ， $\cos 22 ° \approx \frac{15}{16}$ ， $\tan 22 ° \approx \frac{2}{5}$ ）

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40. 小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B、C处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A处测得B在北偏西45°方向， C在北偏东30°方向，他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向.

(1)、求∠C的度数；

(2)、求两颗银杏树B、C之间的距离（结果保留根号）.

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