全国历年中考数学真题精选汇编：图形变换与视图2

试卷更新日期：2021-07-09 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $\cos B = \frac{1}{4}$ ，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使 $∠ A D E = ∠ B$ ，连结CE，则 $\frac{C E}{A D}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ D、2

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2. 如图，点P是函数 $y = \frac{k_{1}}{x} (k_{1} > 0 ， x > 0)$ 的图像上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数 $y = \frac{k_{2}}{x} (k_{2} > 0 ， x > 0)$ 的图像于点C、D，连接 $O C$ 、 $O D$ 、 $C D$ 、 $A B$ ，其中 $k_{1} > k_{2}$ ，下列结论：① $C D / / A B$ ；② $S_{△ O C D} = \frac{k_{1} - k_{2}}{2}$ ；③ $S_{△ D C P} = \frac{{(k_{1} - k_{2})}^{2}}{2 k_{1}}$ ，其中正确的是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①

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二、填空题

3. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点O是对角线 $B D$ 的中点，点P在线段 $O D$ 上，连接 $A P$ 并延长交 $C D$ 于点E，过点P作 $P F ⊥ A P$ 交 $B C$ 于点F，连接 $A F$ 、 $E F$ ， $A F$ 交 $B D$ 于G，现有以下结论：① $A P = P F$ ；② $D E + B F = E F$ ；③ $P B - P D = \sqrt{2} B F$ ；④ $S_{△ A E F}$ 为定值；⑤ $S_{四边形 P E F G} = S_{△ A P G}$ .以上结论正确的有（填入正确的序号即可）.

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4. 如图，四边形 $A B D C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $A D ⊥ B D$ 于点D.若 $B D = 2$ ， $C D = 4 \sqrt{2}$ ，则线段 $A B$ 的长为.

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5. 如图、在正六边形 $A B C D E F$ 中，连接线 $A D$ ， $A E$ ， $A C$ ， $D F$ ， $D B$ ， $A C$ 与 $B D$ 交于点M， $A E$ 与 $D F$ 交于点为N， $M N$ 与 $A D$ 交于点O，分别延长 $A B$ ， $D C$ 于点G，设 $A B = 3$ .有以下结论：① $M N ⊥ A D$ ；② $M N = 2 \sqrt{3}$ ；③ $△ D A G$ 的重心、内心及外心均是点M；④四边形 $F A C D$ 绕点O逆时针旋转 $30 °$ 与四边形 $A B D E$ 重合.则所有正确结论的序号是.

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6. 图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2），则图1中所标注的 $d$ 的值为；记图1中小正方形的中心为点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，图2中的对应点为点 $A^{'}$ ， $B^{'}$ ， $C^{'}$ .以大正方形的中心 $O$ 为圆心作圆，则当点 $A^{'}$ ， $B^{'}$ ， $C^{'}$ 在圆内或圆上时，圆的最小面积为.

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7. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点E在边 $A B$ 上， $△ B E C$ 与 $△ F E C$ 关于直线 $E C$ 对称，点B的对称点F在边 $A D$ 上，G为 $C D$ 中点，连结 $B G$ 分别与 $C E ， C F$ 交于M，N两点，若 $B M = B E$ ， $M G = 1$ ，则 $B N$ 的长为， $\sin ∠ A F E$ 的值为.

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8. 如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP ，点A关于直线CP的对称点为A′，连结A′C ， A′P ．在运动过程中，点A′到直线AB距离的最大值是；点P到达点B时，线段A′P扫过的面积为．

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三、解答题

9. 小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD ．

[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．

[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M ．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．

[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P ， N（如图3），发现线段DN ， MN ， PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．

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四、综合题

10. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点D是 $A B$ 边上一点（含端点A、B），过点B作 $B E$ 垂直于射线 $C D$ ，垂足为E，点F在射线 $C D$ 上，且 $E F = B E$ ，连接 $A F$ 、 $B F$ .

(1)、求证： $△ A B F ∽ △ C B E$ ；

(2)、如图2，连接 $A E$ ，点P、M、N分别为线段 $A C$ 、 $A E$ 、 $E F$ 的中点，连接 $P M$ 、
$M N$ 、 $P N$ .求 $∠ P M N$ 的度数及 $\frac{M N}{P M}$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，若 $B C = \sqrt{2}$ ，直接写出 $△ P M N$ 面积的最大值.

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11. 如图1，在平面直角坐标系

x O y

中，抛物线

y = a x^{2} + b x + c

与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点

(x ， y)

的坐标值：

x	…	$- 1$	0	1	2	3	…
y	…	0	3	4	3	0	…

(1)、求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；

(2)、

P Q

是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求

A Q + Q P + P C

的最小值；

(3)、如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作

D F ⊥ x

轴，垂足为F，

△ A B D

的外接圆与

D F

相交于点E.试问：线段

E F

的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

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12. 已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周.

(1)、如图①，连接BG、CF，求 $\frac{C F}{B G}$ 的值；

(2)、当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别去CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；

(3)、连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE=6，请直接写出线段QN扫过的面积.

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13. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 4$ ，F是对角线 $A C$ 上不与点A，C重合的一点，过F作 $F E ⊥ A D$ 于E，将 $△ A E F$ 沿 $E F$ 翻折得到 $△ G E F$ ，点G在射线 $A D$ 上，连接 $C G$ .

(1)、如图1，若点A的对称点G落在 $A D$ 上， $∠ F G C = 90 °$ ，延长 $G F$ 交 $A B$ 于H，连接 $C H$ .

①求证： $△ C D G ∽ △ G A H$ ；

②求 $\tan ∠ G H C$ .

(2)、如图2，若点A的对称点G落在 $A D$ 延长线上， $∠ G C F = 90 °$ ，判断 $△ G C F$ 与 $△ A E F$ 是否全等，并说明理由.

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14. 如图，直线 $y = - \frac{3}{2} x + 6$ 与x轴交于点B，与y轴交于点A，点P为线段 $A B$ 的中点，点Q是线段 $O A$ 上一动点（不与点O、A重合）.

(1)、请直接写出点A、点B、点P的坐标；

(2)、连接 $P Q$ ，在第一象限内将 $Δ O P Q$ 沿 $P Q$ 翻折得到 $Δ E P Q$ ，点O的对应点为点E.若 $∠ O Q E = 90 °$ ，求线段 $A Q$ 的长；

(3)、在（2）的条件下，设抛物线 $y = a x^{2} - 2 a^{2} x + a^{3} + a + 1 (a \neq 0)$ 的顶点为点C.
①若点C在 $Δ P Q E$ 内部（不包括边），求a的取值范围；

②在平面直角坐标系内是否存在点C，使 $| C Q - C E |$ 最大？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

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15. 如图，

(1)、【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G.
求证： $△ B C E ≌ △ C D G$ .

(2)、【运用】
如图2，在（推理）条件下，延长BF交AD于点H.若 $\frac{H D}{H F} = \frac{4}{5}$ ， $C E = 9$ ，求线段DE的长.

(3)、【拓展】
将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若 $\frac{A B}{B C} = k$ ， $\frac{H D}{H F} = \frac{4}{5}$ ，求 $\frac{D E}{E C}$ 的值（用含k的代数式表示）.

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16. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两要互相垂直的线段做了如下探究：
（观察与猜想）

(1)、如图1，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $A D$ 上的两点，连接 $D E$ ， $C F$ ， $D E ⊥ C F$ ，则 $\frac{D E}{C F}$ 的值为；

(2)、如图2，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 7$ ， $C D = 4$ ，点 $E$ 是 $A D$ 上的一点，连接 $C E$ ， $B D$ ，且 $C E ⊥ B D$ ，则 $\frac{C E}{B D}$ 的值为；

(3)、如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ B = 90 °$ ，点 $E$ 为 $A B$ 上一点，连接 $D E$ ，过点 $C$ 作 $D E$ 的垂线交 $E D$ 的延长线于点 $G$ ，交 $A D$ 的延长线于点 $F$ ，求证： $D E \cdot A B = C F \cdot A D$ ；

(4)、如图4，在 $R t Δ A B D$ 中， $∠ B A D = 90 °$ ， $A D = 9$ ， $\tan ∠ A D B = \frac{1}{3}$ ，将 $Δ A B D$ 沿 $B D$ 翻折，点 $A$ 落在点 $C$ 处得 $Δ C B D$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $A B$ ， $A D$ 上，连接 $D E$ ， $C F$ ，且 $D E ⊥ C F$ .

①求 $\frac{D E}{C F}$ 的值；

②连接 $B F$ ，若 $A E = 1$ ，直接写出 $B F$ 的长度.

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17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 交 $x$ 轴于点 $A$ 和 $C (1 ， 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $B (0 ， 3)$ ，抛物线的对称轴交 $x$ 轴于点 $E$ ，交抛物线于点 $F$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、将线段 $O E$ 绕着点 $О$ 沿顺时针方向旋转得到线段 $O E'$ ，旋转角为 $α (0 ° < α < 90 °)$ ，连接 $A E'$ ， $B E'$ ，求 $B E' + \frac{1}{3} A E'$ 的最小值.

(3)、 $M$ 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点 $N$ ，使得以 $A$ ， $B$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点 $N$ 的横坐标；若不存在，请说明理由；

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18. 如图，在 $R t △ A O B$ 中， $∠ A O B = 90 °$ ， $⊙ O$ 与 $A B$ 相交于点 $C$ ，与 $A O$ 相交于点 $E$ ，连接 $C E$ ，已知 $∠ A O C = 2 ∠ A C E$ .

(1)、求证： $A B$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A O = 20$ ， $B O = 15$ ，求 $C E$ 的长.

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19. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $A B C D$ 为正方形，点 $A$ ， $B$ 在 $x$ 轴上，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过点 $B$ ， $D (- 4 ， 5)$ 两点，且与直线 $D C$ 交于另一点 $E$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、 $F$ 为抛物线对称轴上一点， $Q$ 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点 $Q$ ， $F$ ， $E$ ， $B$ 为顶点的四边形是以 $B E$ 为边的菱形.若存在，请求出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、 $P$ 为 $y$ 轴上一点，过点 $P$ 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 $M$ ，连接 $M E$ ， $B P$ .探究 $E M + M P + P B$ 是否存在最小值.若存在，请求出这个最小值及点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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20. 如图，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 2 \sqrt{5}$ ，边长为2的正方形 $D E F G$ 的对角线交点与点 $C$ 重合，连接 $A D$ ， $B E$ .

(1)、求证： $△ A C D ≌ △ B C E$ ；

(2)、当点 $D$ 在 $△ A B C$ 内部，且 $∠ A D C = 90 °$ 时，设 $A C$ 与 $D G$ 相交于点 $M$ ，求 $A M$ 的长；

(3)、将正方形 $D E F G$ 绕点 $C$ 旋转一周，当点 $A$ 、 $D$ 、 $E$ 三点在同一直线上时，请直接写出 $A D$ 的长.

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21. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 60 °$ ，点 $D$ 为 $A B$ 的中点，连接 $C D$ ，将线段 $C D$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $α (60 ° < α < 120 °)$ 得到线段 $E D$ ，且 $E D$ 交线段 $B C$ 于点 $G$ ， $∠ C D E$ 的平分线 $D M$ 交 $B C$ 于点 $H$ .

(1)、如图1，若 $α = 90 °$ ，则线段 $E D$ 与 $B D$ 的数量关系是， $\frac{G D}{C D} =$ ；

(2)、如图2，在（1）的条件下，过点 $C$ 作 $C F / / D E$ 交 $D M$ 于点 $F$ ，连接 $E F$ ， $B E$ .
①试判断四边形 $C D E F$ 的形状，并说明理由；

②求证： $\frac{B E}{F H} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ；

(3)、如图3，若 $A C = 2$ ， $\tan (α - 60 °) = m$ ，过点 $C$ 作 $C F / / D E$ 交 $D M$ 于点 $F$ ，连接 $E F$ ， $B E$ ，请直接写出 $\frac{B E}{F H}$ 的值（用含 $m$ 的式子表示）.

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22. 如图，BD是半径为3的⊙O的一条弦，BD＝4 $\sqrt{2}$ ，点A是⊙O上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作▱ABCD.

(1)、如图2，若点A是劣弧 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点.
①求证：▱ABCD是菱形；

②求▱ABCD的面积.

(2)、若点A运动到优弧 $\overset{⌢}{B D}$ 上，且▱ABCD有一边与⊙O相切.
①求AB的长；

②直接写出▱ABCD对角线所夹锐角的正切值.

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23. 如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连结BG。

(1)、求证：△ABG∽△AFC；

(2)、已知AB= $a$ ，AC=AF= $b$ ，求线段FG的长（用含 $a$ ， $b$ 的代数式表示）；

(3)、已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD=∠CBE，求证： $B G^{2} = G E \cdot G D$ 。

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24. 如图，在平面直角坐标系中， $⊙ M$ 经过原点 $O$ ，分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于 $A (2 ， 0)$ ， $B (0 ， 8)$ ，连结 $A B$ .直线 $C M$ 分别交 $⊙ M$ 于点 $D$ ， $E$ （点 $D$ 在左侧），交 $x$ 轴于点 $C (17 ， 0)$ ，连结 $A E$ .

(1)、求 $⊙ M$ 的半径和直线 $C M$ 的函数表达式.

(2)、求点 $D$ ， $E$ 的坐标.

(3)、点 $P$ 在线段 $A C$ 上，连结 $P E$ .当 $∠ A E P$ 与 $△ O B D$ 的一个内角相等时，求所有满足条件的 $O P$ 的长.

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25. 如图，矩形ABCD中， $A B = 4$ ，点E是边AD的中点，点F是对角线BD上一动点， $∠ A D B = 30 °$ .连结EF，作点D关于直线EF的对称点P.

(1)、若 $E F ⊥ B D$ ，求DF的长.

(2)、若 $P E ⊥ B D$ ，求DF的长.

(3)、直线PE交BD于点Q，若 $△ D E Q$ 是锐角三角形，求DF长的取值范围.

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26. 如图1，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $B D$ 为直径， $\overset{⌢}{A D}$ 上存在点E，满足 $\overset{⌢}{A E} = \overset{⌢}{C D}$ ，连结 $B E$ 并延长交 $C D$ 的延长线于点F， $B E$ 与 $A D$ 交于点G.

(1)、若 $∠ D B C = α$ ，请用含 $α$ 的代数式表列 $∠ A G B$ .

(2)、如图2，连结 $C E ， C E = B G$ .求证； $E F = D G$ .

(3)、如图3，在（2）的条件下，连结 $C G$ ， $A G = 2$ .
①若 $\tan ∠ A D B = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ F G D$ 的周长.

②求 $C G$ 的最小值.

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27. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为 $(- \sqrt{73} ， 0)$ ，点B在直线 $l ： y = \frac{3}{8} x$ 上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C.

(1)、如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D.
①若 $B A = B O$ ，求证： $C D = C O$ .

②若 $∠ C B O = 45 °$ ，求四边形 $A B O C$ 的面积.

(2)、是否存在点B，使得以 $A ， B ， C$ 为顶点的三角形与 $△ B C O$ 相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由.

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28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与坐标轴交于 $A (0 ， - 2) ， B (4 ， 0)$ 两点，直线 $B C ： y = - 2 x + 8$ 交 $y$ 轴于点 $C$ .点 $D$ 为直线 $A B$ 下方抛物线上一动点，过点 $D$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $G ， D G$ 分别交直线 $B C ， A B$ 于点 $E ， F$ .

(1)、求抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 的表达式；

(2)、当 $G F = \frac{1}{2}$ ，连接 $B D$ ，求 $△ B D F$ 的面积；

(3)、① $H$ 是 $y$ 轴上一点，当四边形 $B E H F$ 是矩形时，求点 $H$ 的坐标；
②在①的条件下，第一象限有一动点 $P$ ，满足 $P H = P C + 2$ ，求 $△ P H B$ 周长的最小值.

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29. 探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、 $\frac{1}{2}$ 倍、k倍．

(1)、若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？（填“存在”或“不存在”）．

(2)、继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？
同学们有以下思路：

①设新矩形长和宽为x、y ，则依题意 $x + y = 10$ ， $x y = 12$ ，

联立 ${\begin{array}{l} x + y = 10 \\ x y = 12 \end{array}$ 得 $x^{2} - 10 x + 12 = 0$ ，再探究根的情况：

根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的 $\frac{1}{2}$ 倍；

②如图也可用反比例函数与一次函数证明 $l_{1}$ ： $y = - x + 10$ ， $l_{2}$ ： $y = \frac{12}{x}$ ，那么，

a ．是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？

b ．请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的 $\frac{1}{2}$ ，若存在，用图像表达；

c ．请直接写出当结论成立时k的取值范围：．

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30. 在正方形 $A B C D$ 中，等腰直角 $△ A E F$ ， $∠ A F E = 90 °$ ，连接 $C E$ ，H为 $C E$ 中点，连接 $B H$ 、 $B F$ 、 $H F$ ，发现 $\frac{B F}{B H}$ 和 $∠ H B F$ 为定值.

(1)、① $\frac{B F}{B H} =$ ▲ ；
② $∠ H B F =$ ▲ .

③小明为了证明①②，连接 $A C$ 交 $B D$ 于O ，连接 $O H$ ，证明了 $\frac{O H}{A F}$ 和 $\frac{B A}{B O}$ 的关系，请你按他的思路证明①②.

(2)、小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2， $\frac{B D}{A D} = \frac{E A}{F A} = k$ ， $∠ B D A = ∠ E A F = θ$ （ $0 ° < θ < 90 °$ ）
求① $\frac{F D}{H D} =$ （用k的代数式表示）

② $\frac{F H}{H D} =$ （用k、 $θ$ 的代数式表示）

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31. 在矩形 $A B C D$ 中， $B C = \sqrt{3} C D$ ，点 $E$ ， $F$ 分别是边 $A D$ 、 $B C$ 上的动点，且 $A E = C F$ ，连接 $E F$ ，将矩形 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠，点 $C$ 落在点 $G$ 处，点 $D$ 落在点 $H$ 处．

(1)、如图1，当 $E H$ 与线段 $B C$ 交于点 $P$ 时，求证： $P E = P F$ ；

(2)、如图2，当点 $P$ 在线段 $C B$ 的延长线上时， $G H$ 交 $A B$ 于点 $M$ ，求证：点 $M$ 在线段 $E F$ 的垂直平分线上；

(3)、当 $A B = 5$ 时，在点 $E$ 由点 $A$ 移动到 $A D$ 中点的过程中，计算出点 $G$ 运动的路线长．

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32. 在一平面内，线段 $A B = 20$ ，线段 $B C = C D = D A = 10$ ，将这四条线段顺次首尾相接．把 $A B$ 固定，让 $A D$ 绕点 $A$ 从 $A B$ 开始逆时针旋转角 $α (α > 0 °)$ 到某一位置时， $B C$ ， $C D$ 将会跟随出现到相应的位置．

(1)、论证如图1，当 $A D / / B C$ 时，设 $A B$ 与 $C D$ 交于点 $O$ ，求证： $A O = 10$ ；

(2)、发现当旋转角 $α = 60 °$ 时， $∠ A D C$ 的度数可能是多少？

(3)、尝试取线段 $C D$ 的中点 $M$ ，当点 $M$ 与点 $B$ 距离最大时，求点 $M$ 到 $A B$ 的距离；

(4)、拓展 ①如图2，设点 $D$ 与 $B$ 的距离为 $d$ ，若 $∠ B C D$ 的平分线所在直线交 $A B$ 于点 $P$ ，直接写出 $B P$ 的长（用含 $d$ 的式子表示）；
②当点 $C$ 在 $A B$ 下方，且 $A D$ 与 $C D$ 垂直时，直接写出 $α$ 的余弦值．

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33. 如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且 $\overset{⌢}{B D} = \overset{⌢}{C D}$ ．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E ．

(1)、求证：CD＝ED；

(2)、AD与OC ， BC分别交于点F ， H ．
①若CF＝CH ，如图2，求证：CF•AF＝FO•AH；

②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．

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34. 二次函数y＝ax²+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C ，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC ，交于点Q ，过点P作PD⊥x轴于点D ．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、连接BC ，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式；

(3)、请判断： $\frac{P Q}{Q B}$ 是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由．

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35. 如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD，点E在边BC上，且AE∥CD，DE∥AB，CF∥AD交线段AE于点F，连接BF.

(1)、求证：△ABF≌△EAD；

(2)、如图2，若AB=9，CD=5，∠ECF＝∠AED，求BE的长；

(3)、如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求 $\frac{B E}{E C}$ 的值.

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36. 已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 图像上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k > 0$ ， $x < 0$ ）的图像于点B，过点A作AE⊥ $y$ 轴于点E。

(1)、如图1，过点B作BF⊥ $x$ 轴于点F，连结EF，
①若 $k = 1$ ，求证：四边形AEFO是平行四边形；

②连结BE，若 $k = 4$ ，求△BOE的面积。

(2)、如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k > 0$ ， $x < 0$ ）的图像于点P，连结OP。
试探究：对于确定的实数 $k$ ，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由。

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37. 我们知道：如图①，点 $B$ 把线段 $A C$ 分成两部分，如果 $\frac{B C}{A B} = \frac{A B}{A C}$ .那么称点 $B$ 为线段 $A C$ 的黄金分割点.它们的比值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ .

(1)、在图①中，若 $A C = 20 c m$ ，则 $A B$ 的长为 $c m$ ；

(2)、如图②，用边长为 $20 c m$ 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形 $A B C D$ 得折痕 $E F$ ，连接 $C E$ ，将 $C B$ 折叠到 $C E$ 上，点 $B$ 对应点 $H$ ，得折痕 $C G$ .试说明 $G$ 是 $A B$ 的黄金分割点；

(3)、如图③，小明进一步探究：在边长为 $a$ 的正方形 $A B C D$ 的边 $A D$ 上任取点 $E$ $(A E > D E)$ ，连接 $B E$ ，作 $C F ⊥ B E$ ，交 $A B$ 于点 $F$ ，延长 $E F$ 、 $C B$ 交于点 $P$ .他发现当 $P B$ 与 $B C$ 满足某种关系时 $E$ 、 $F$ 恰好分别是 $A D$ 、 $A B$ 的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.

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38. 如图，四边形 $A B C D$ 是正方形，点 $F$ 是射线 $A D$ 上的动点，连接 $C F$ ，以 $C F$ 为对角线作正方形 $C G F E$ （ $C ， G ， F ， E$ 按逆时针排列），连接 $B E ， D G$ .

(1)、当点 $F$ 在线段 $A D$ 上时.
①求证： $B E = D G$ ；

②求证： $C D - F D = \sqrt{2} B E$ ；

(2)、设正方形 $A B C D$ 的面积为 $S_{1}$ ，正方形 $C G F E$ 的面积为 $S_{2}$ ，以 $C ， G ， D ， F$ 为原点的四边形的面积为 $S_{3}$ ，当 $\frac{S_{2}}{S_{1}} = \frac{13}{25}$ 时，请直接写出 $\frac{S_{3}}{S_{1}}$ 的值.

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39. 如图1 ，直线 $y = x - 4$ 与 $x$ 轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $A$ ，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过点 $B$ 和点 $C (0 ， 4) ， △ A B O$ 从点，开始沿射线 $A B$ 方向以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为 $△ D E F$ （点 $A ， B ， O$ 的对应点分别为点 $D ， E ， F$ ），平移时间为 $t (0 < t < 4)$ 秒，射线 $D F$ 交 $x$ 轴于点 $G$ ，交抛物线于点 $M$ ，连接 $M E$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、当 $\tan ∠ E M F = \frac{4}{3}$ 时，请直接写出 $t$ 的值；

(3)、如图2，点 $N$ 在抛物线上，点 $N$ 的横坐标是点 $M$ 的横坐标的 $\frac{1}{2}$ ，连接 $O M ， N F ， O M$ 与 $N F$ 相交于点 $P$ ，当 $N P = F P$ 时，求 $t$ 的值.

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40. 已知：菱形 $A B C D$ 和菱形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ， $∠ B A D = ∠ B^{'} A^{'} D^{'}$ ，起始位置点 $A$ 在边 $A^{'} B^{'}$ 上，点 $B$ 在 $A^{'} B^{'}$ 所在直线上，点 $B$ 在点 $A$ 的右侧，点 $B^{'}$ 在点 $A^{'}$ 的右侧，连接 $A C$ 和 $A^{'} C^{'}$ ，将菱形 $A B C D$ 以 $A$ 为旋转中心逆时针旋转 $α$ 角（ $0 ° < α < 180 °$ ）.

(1)、如图1，若点 $A$ 与 $A^{'}$ 重合，且 $∠ B A D = ∠ B^{'} A^{'} D^{'} = 90 °$ ，求证： $B B^{'} = D D^{'}$ ；

(2)、若点 $A$ 与 $A^{'}$ 不重合， $M$ 是 $A^{'} C^{'}$ 上一点，当 $M A^{'} = M A$ 时，连接 $B M$ 和 $A^{'} C$ ， $B M$ 和 $A^{'} C$ 所在直线相交于点 $P$ ；
①如图2，当 $∠ B A D = ∠ B^{'} A^{'} D^{'} = 90 °$ 时，请猜想线段 $B M$ 和线段 $A^{'} C$ 的数量关系及 $∠ B P C$ 的度数；

②如图3，当 $∠ B A D = ∠ B^{'} A^{'} D^{'} = 60 °$ 时，请求出线段 $B M$ 和线段 $A^{'} C$ 的数量关系及 $∠ B P C$ 的度数；

③在②的条件下，若点 $A$ 与 $A^{'} B^{'}$ 的中点重合， $A^{'} B^{'} = 4$ ， $A B = 2$ ，在整个旋转过程中，当点 $P$ 与点 $M$ 重合时，请直接写出线段 $B M$ 的长.

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