全国历年中考数学真题精选汇编：圆2

试卷更新日期：2021-07-09 类型：二轮复习

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一、填空题

1. 如图，正六边形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}$ 内部有一个正五形 $B_{1} B_{2} B_{3} B_{4} B_{5}$ ，且 $A_{3} A_{4} // B_{3} B_{4}$ ，直线 $l$ 经过 $B_{2}$ 、 $B_{3}$ ，则直线 $l$ 与 $A_{1} A_{2}$ 的夹角 $α =$ $^{°}$ .

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2. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是.

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二、综合题

3. 如图，点 $O$ 为以 $A B$ 为直径的半圆的圆心，点 $M$ ， $N$ 在直径 $A B$ 上，点 $P$ ， $Q$ 在 $\overset{⌢}{A B}$ 上，四边形 $M N P Q$ 为正方形，点 $C$ 在 $\overset{⌢}{Q P}$ 上运动（点 $C$ 与点 $P$ ， $Q$ 不重合），连接 $B C$ 并延长交 $M Q$ 的延长线于点 $D$ ，连接 $A C$ 交 $M Q$ 于点 $E$ ，连接 $O Q$ .

(1)、求 $\sin ∠ A O Q$ 的值；

(2)、求 $\frac{A M}{M N}$ 的值；

(3)、令 $M E = x$ ， $Q D = y$ ，直径 $A B = 2 R$ （ $R > 0$ ， $R$ 是常数），求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并指明自变量 $x$ 的取值范围.

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4. 如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB延长线于点C，AE⊥CD于点E，交⊙O于点F，连接AD，FD.

(1)、求证：∠DAE＝∠DAC；

(2)、求证：DF•AC＝AD•DC；

(3)、若sin∠C＝ $\frac{1}{4}$ ，AD＝4 $\sqrt{10}$ ，求EF的长.

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5. 如图， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 交于点E，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 经过点E，与 $A D$ 交于点F，G是 $A D$ 延长线上一点，连接 $B G$ ，交 $A C$ 于点H，且 $∠ D B G = \frac{1}{2} ∠ B A D$ .

(1)、求证： $B G$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $C H = 3$ ， $\tan ∠ D B G = \frac{1}{2}$ ，求 $⊙ O$ 的直径.

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6. 我们知道，顶点坐标为(h，k)的抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）²+k（a≠0）．今后我们还会学到，圆心坐标为(a，b)，半径为r的圆的方程（x﹣a）²+（y﹣b）²＝r² ，如：圆心为P(﹣2，1)，半径为3的圆的方程为（x+2）²+（y﹣1）²＝9．

(1)、以M(﹣3，﹣1)为圆心， $\sqrt{3}$ 为半径的圆的方程为．

(2)、如图，以B(﹣3，0)为圆心的圆与y轴相切于原点，C是⊙B上一点，连接OC，作BD⊥OC，垂足为D，延长BD交y轴于点E，已知sin∠AOC＝ $\frac{3}{5}$ ．
①连接EC，证明：EC是⊙B的切线；

②在BE上是否存在一点Q，使QB＝QC＝QE＝QO？若存在，求点Q的坐标，并写出以Q为圆心，以QB为半径的⊙Q的方程；若不存在，请说明理由．

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7. 如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O经过Rt△ACD的直角边DC上的点F，交AC边于点E，点F是弧EB的中点，∠C＝90°，连接AF.

(1)、求证：直线CD是⊙O切线.

(2)、若BD＝2，OB＝4，求tan∠AFC的值.

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8. 古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的圆”，请研究如下美丽的圆，如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝3，BC＝4，点O在线段BC上，且OC＝ $\frac{3}{2}$ ，以O为圆心.OC为半径的⊙O交线段AO于点D，交线段AO的延长线于点E.

(1)、求证：AB是⊙O的切线；

(2)、研究过短中，小明同学发现 $\frac{A D}{D E}$ ＝ $\frac{D E}{A E}$ ，回答小明同学发现的结论是否正确？如果正确，给出证明；如果不正确，说明理由.

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9. 如图， $A B$ 是⊙O的直径，E，C是 $⊙ O$ 上两点，且 $\overset{⌢}{E C} = \overset{⌢}{B C}$ ，连接 $A E$ ， $A C$ ，过点C作 $C D ⊥ A E$ 交 $A E$ 的延长线于点D.

(1)、判定直线 $C D$ 与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)、若 $A B = 4$ ， $C D = \sqrt{3}$ ，求图中阴影部分的面积.

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10. 如图所示： $⊙ O$ 与 $△ A B C$ 的边 $B C$ 相切于点C，与 $A C$ 、 $A B$ 分别交于点D、E， $D E // O B$ . $D C$ 是 $⊙ O$ 的直径.连接 $O E$ ，过C作 $C G // O E$ 交 $⊙ O$ 于G，连接 $D G$ 、 $E C$ ， $D G$ 与 $E C$ 交于点F.

(1)、求证：直线 $A B$ 与 $⊙ O$ 相切；

(2)、求证： $A E \cdot E D = A C \cdot E F$ ；

(3)、若 $E F = 3 ， \tan ∠ A C E = \frac{1}{2}$ 时，过A作 $A N // C E$ 交 $⊙ O$ 于M、N两点（M在线段 $A N$ 上），求 $A N$ 的长.

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11. 如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）.我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把 $P Q \cdot P H$ 的值称为⊙I关于直线a的“特征数”.

(1)、如图2，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点E的坐标为 $(0 ， 4)$ ，半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D.
①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点_▲__（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为_▲__；

②若直线n的函数表达式为 $y = \sqrt{3} x + 4$ ，求 $⊙ O$ 关于直线n的“特征数”；

(2)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线l经过点 $M (1 ， 4)$ ，点F是坐标平面内一点，以F为圆心， $\sqrt{2}$ 为半径作⊙F.若⊙F与直线l相离，点 $N (- 1 ， 0)$ 是⊙F关于直线l的“远点”，且⊙F关于直线l的“特征数”是 $4 \sqrt{5}$ ，求直线l的函数表达式.

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12. 已知 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B = A C$ ， $∠ A B C$ 的平分线与 $⊙ O$ 交于点D，与 $A C$ 交于点E，连接 $C D$ 并延长与 $⊙ O$ 过点A的切线交于点F，记 $∠ B A C = α$ .

(1)、如图1，若 $α = 60 °$ ，
①直接写出 $\frac{D F}{D C}$ 的值为；

②当 $⊙ O$ 的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为；

(2)、如图2，若 $α < 60 °$ ，且 $\frac{D F}{D C} = \frac{2}{3}$ ， $D E = 4$ ，求 $B E$ 的长.

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13. 定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形.

(1)、理解：若四边形 $A B C D$ 是对余四边形，则 $∠ A$ 与 $∠ C$ 的度数之和为；

(2)、证明：如图1， $M N$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $A ， B ， C$ 在 $⊙ O$ 上， $A M$ ， $C N$ 相交于点D.
求证：四边形 $A B C D$ 是对余四边形；

(3)、探究：如图2，在对余四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C$ ， $∠ A B C = 60^{°}$ ，探究线段 $A D$ ， $C D$ 和 $B D$ 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由.

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14. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，以 $A B$ 为直径的⊙O交 $A C$ 于点D， $A E$ 与过点D的切线互相垂直，垂足为E.

(1)、求证： $A D$ 平分 $∠ B A E$ ；

(2)、若 $C D = D E$ ，求 $\sin ∠ B A C$ 的值.

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15. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，直线 $A M$ 与 $⊙ O$ 相切于点A，直线 $B N$ 与 $⊙ O$ 相切于点B，点C（异于点A）在 $A M$ 上，点D在 $⊙ O$ 上，且 $C D = C A$ ，延长 $C D$ 与 $B N$ 相交于点E，连接 $A D$ 并延长交 $B N$ 于点F.

(1)、求证： $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求证： $B E = E F$ ；

(3)、如图，连接 $E O$ 并延长与 $⊙ O$ 分别相交于点G、H，连接 $B H$ .若 $A B = 6$ ， $A C = 4$ ，求 $\tan ∠ B H E$ .

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16. 如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，P是 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，过点P作AC的垂线，交AC的延长线于点D.

(1)、求证：DP是⊙O的切线；

(2)、若AC=5，sin∠APC= $\frac{5}{13}$ ，求AP的长.

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17. 如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF.

(1)、设⊙O的半径为1，若∠BAC=30°，求线段EF的长。

(2)、连接BF，DF
①求证：PE=PF

②若DF=EF，求∠BAC的度数。

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18. 如图，已知锐角三角形ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D，连接OA.

(1)、若∠BAC=60°，
①求证：OD= $\frac{1}{2}$ OA.
②当OA=1时，求△ABC面积的最大值。

(2)、点E在线段OA上，（OE=OD.连接DE，设∠ABC=m∠OED.∠ACB=n∠OED（m，n是正数）.若∠ABC<∠ACB，求证：m-n+2=0.

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19. 如图1， $⊙$ O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连结DE，BF⊥EC交AE于点F.

(1)、求证：BD=BE.

(2)、当AF：EF=3：2，AC=6时，求AE的长。

(3)、设 $\frac{A F}{E F}$ =x，tan∠DAE=y.
①求y关于x的函数表达式；

②如图2，连结OF，OB，若△AEC的面积是△OFB面积的10倍，求y的值

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20. 已知在平面直角坐标系xOy中，直线l₁分别交x轴和y轴于点A(-3，0)，B(0，3).

(1)、如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长；

(2)、如图2，已知直线l₂： y＝3x-3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l₂上的一个动点，以Q为圆心， $2 \sqrt{2}$ 为半径画圆.
①当点Q与点C重合时，求证：直线l₁与⊙Q相切；

②设⊙Q与直线l₁相交于M，N两点，连结QM，QN. 问：是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

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21. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F是⊙O上一点，且，连接FB，FD，FD交AB于点N.

(1)、若AE=1，CD=6，求⊙O的半径；

(2)、求证：△BNF为等腰三角形；

(3)、连接FC并延长，交BA的延长线于点P，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点M.求证：ON·OP=OE·OM.

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22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B.

(1)、求⊙O的半径；

(2)、点P为 $\overset{⌢}{A B}$ 中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；

(3)、在(2)的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值.

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23. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A B$ 为直径的⊙ $O$ 分别交 $A C ， B C$ 于点 $D ， E$ ，点 $F$ 在 $A C$ 的延长线上，且 $∠ B A C = 2 ∠ C B F$ .

(1)、求证： $B F$ 是⊙ $O$ 的切线；

(2)、若⊙ $O$ 的直径为3， $\sin ∠ C B F = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $B C$ 和 $B F$ 的长.

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24. 如图， $B E$ 是⊙ $O$ 的直径，点 $A$ 和点 $D$ 是⊙ $O$ 上的两点，连接 $A E$ ， $A D$ ， $D E$ ，过点 $A$ 作射线交 $B E$ 的延长线于点 $C$ ，使 $∠ E A C = ∠ E D A$ .

(1)、求证： $A C$ 是⊙ $O$ 的切线；

(2)、若 $C E = A E = 2 \sqrt{3}$ ，求阴影部分的面积.

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25. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 为 $⊙ O$ 上一点，点 $P$ 是半径 $O B$ 上一动点（不与 $O$ ， $B$ 重合），过点 $P$ 作射线 $l ⊥ A B$ ，分别交弦 $B C$ ， $\overset{⌢}{B C}$ 于 $D$ ， $E$ 两点，在射线 $l$ 上取点 $F$ ，使 $F C = F D$ .

(1)、求证： $F C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、当点 $E$ 是 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点时，
①若 $∠ B A C = 60 °$ ，判断以 $O$ ， $B$ ， $E$ ， $C$ 为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；

②若 $\tan ∠ A B C = \frac{3}{4}$ ，且 $A B = 20$ ，求 $D E$ 的长.

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26. 如图1，四边形 $A B C D$ 内接于圆 $O$ ， $A C$ 是圆 $O$ 的直径，过点 $A$ 的切线与 $C D$ 的延长线相交于点 $P$ .且 $∠ A P C = ∠ B C P$

(1)、求证： $∠ B A C = 2 ∠ A C D$ ；

(2)、过图1中的点 $D$ 作 $D E ⊥ A C$ ，垂足为 $E$ （如图2），当 $B C = 6$ ， $A E = 2$ 时，求圆 $O$ 的半径.

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27. 如图，AB是⊙C的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是⊙C上的点，且DE²＝DB· DA.延长AE至F，使AE＝EF，设BF＝10，cos∠BED= $\frac{4}{5}$ .

(1)、求证：△DEB∽△DAE；

(2)、求DA，DE的长；

(3)、若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长.

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28. 如图，点 $P$ 为正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 上的一点，连接 $B P$ 并延长交 $C D$ 于点 $E$ ，交 $A D$ 的延长线于点 $F$ ， $⊙ O$ 是 $△ D E F$ 的外接圆，连接 $D P$ .

(1)、求证： $D P$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $\tan ∠ P D C ＝ \frac{1}{2}$ ，正方形 $A B C D$ 的边长为 $4$ ，求 $⊙ O$ 的半径和线段 $O P$ 的长.

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29. 已知：MN为⊙O的直径，OE为⊙O的半径，AB、CH是O的两条弦，AB⊥OE于点D，CH⊥MN于点K，连接HN、HE，HE与MN交于点P．

(1)、如图1，若AB与CH交于点F，求证：∠HFB=2∠EHN；

(2)、如图2，连接ME、OA，OA与ME交于点Q，若0A⊥ME，∠EON=4∠CHN，求证：MP=AB；

(3)、如图3，在（2）的条件下，连接OC、BC、AH，OC与EH交于点G，AH与MN交于点R，连接RG，若HK：ME=2：3，BC= $\sqrt{2}$ ，求RG的长．

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30. 如图，BM是以AB为直径的⊙O的切线，B为切点，BC平分∠ABM，弦CD交AB于点E，DE＝OE.

(1)、求证：△ACB是等腰直角三角形；

(2)、求证：OA²＝OE•DC：

(3)、求tan∠ACD的值.

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31. 如图， $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A C$ 为直径的⊙ $O$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，点 $E$ 为 $C$ 延长线上一点，且 $∠ C D E = \frac{1}{2} ∠ B A C$ .

(1)、求证： $D E$ 是⊙ $O$ 的切线；

(2)、若 $A B = 3 B D ， C E = 2$ ，求⊙ $O$ 的半径.

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32. 已知△ABC内接于⊙O ， ∠BAC的平分线交⊙O于点D ，连接DB ， DC ．

(1)、如图①，当∠BAC =120°时，请直接写出线段AB ， AC ， AD之间满足的等量关系式：；

(2)、如图②，当∠BAC =90°时，试探究线段AB ， AC ， AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；

(3)、如图③，若BC=5，BD=4，求 $\frac{A D}{A B + A C}$ 的值．

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33. 主题学习
通过对下面数学模型的研究学习，解决（1）（2）题
【模型呈现】
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=DE，BC=AE
我们把这个数学模型称为“K型”，
推理过程如下：

【模型应用】
如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，BC=2.将斜边AB绕点A顺时针旋转一定角度得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，∠DAE=∠ABC，DE=1，连接DO交⊙O于点F.

(1)、求证：AD是⊙O的切线；

(2)、接FC交AB于点G，连接FB，求证：FG²=GO·GB.

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34. 如图， $A B$ 是⊙ $O$ 的直径，点 $D$ 在 $A B$ 的延长线上， $C$ 、 $E$ 是⊙ $O$ 上的两点， $C E = C B$ ， $∠ B C D = ∠ C A E$ ，延长 $A E$ 交 $B C$ 的延长线于点 $F$

(1)、求证： $C D$ 是⊙ $O$ 的切线；

(2)、求证： $C E = C F$

(3)、若 $B D = 1$ ， $C D = \sqrt{2}$ ，求弦 $A C$ 的长.

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35. 如图，已知AB为⊙O的直径，AB=8，点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点，连接OC、AC，且∠BOC＜90°，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD相交于点G，且∠GAF＝∠GCE

(1)、求证：直线CG为⊙O的切线；

(2)、若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CB＝CH，
①△CBH∽△OBC
②求OH＋HC的最大值

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36. 如图1，已知⊙O是ΔADB的外接圆，∠ADB的平分线DC交AB于点M，交⊙O于点C，连接AC，BC.

(1)、求证：AC=BC；

(2)、如图2，在图1 的基础上做⊙O的直径CF交AB于点E，连接AF，过点A作⊙O的切线AH，若AH//BC，求∠ACF的度数；

(3)、在（2）的条件下，若ΔABD的面积为 $6 \sqrt{3}$ ，ΔABD与ΔABC的面积比为2：9，求CD的长.

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37. 如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．

(1)、证明：OD∥BC；

(2)、若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切；

(3)、在（2）条件下，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长．

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38. 如图，AB 是⊙M 的直径，BC 是⊙M 的切线，切点为 B，C 是 BC 上（除 B 点外）的任意一点，连接 CM 交⊙M 于点 G，过点 C 作 DC⊥BC 交 BG 的延长线于点 D，连接 AG 并延长交 BC 于点 E．

(1)、求证：△ABE∽△BCD；

(2)、若 MB=BE=1，求 CD 的长度．

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39. 如图，AB为⊙O的直径，且AB=4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM．

(1)、求∠OMP的度数；

(2)、当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长．

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40. 如图，在直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $H$ 是 $Δ A B C$ 的内心， $A H$ 的延长线和三角形 $A B C$ 的外接圆 $O$ 相交于点 $D$ ，连结 $D B$ .

(1)、求证： $D H = D B$ ；

(2)、过点 $D$ 作 $B C$ 的平行线交 $A C$ 、 $A B$ 的延长线分别于点 $E$ 、 $F$ ，已知 $C E = 1$ ，圆 $O$ 的直径为 $5$ ，①求证： $E F$ 为圆 $O$ 的切线；②求 $D F$ 的长.

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