全国历年中考数学真题精选汇编：四边形2

试卷更新日期：2021-07-09 类型：二轮复习

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一、单选题

1.
如图，在▱ABCD中，连结AC，∠ABC=∠CAD=45°，AB=2，则BC的长是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、2 $\sqrt{2}$ D、4

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2. 如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG．DE，FG， $\hat{A C} ， \hat{B C}$ 的中点分别是M，N，P，Q．若MP+NQ=14，AC+BC=18，则AB的长为（）

A、 $9 \sqrt{2}$ B、 $\frac{90}{7}$ C、13 D、16

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3. 如图，在△ABC中，延长BC至D，使得CD= $\frac{1}{2}$ BC，过AC中点E作EF∥CD（点F位于点E右侧），且EF=2CD，连接DF．若AB=8，则DF的长为（）

A、3 B、4 C、2 $\sqrt{3}$ D、3 $\sqrt{2}$

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4. 如图，正方形 $A B C D$ ，点 $F$ 在边 $A B$ 上，且 $A F ： F B = 1 ： 2$ ， $C E ⊥ D F$ ，垂足为 $M$ ，且交 $A D$ 于点 $E$ ， $A C$ 与 $D F$ 交于点 $N$ ，延长 $C B$ 至 $G$ ，使 $B G = \frac{1}{2} B C$ ，连接 $C M$ ．有如下结论：① $D E = A F$ ；② $A N = \frac{\sqrt{2}}{4} A B$ ；③ $∠ A D F = ∠ G M F$ ；④ $S_{Δ A N F} ： S_{四边形 C N F B} = 1 ： 8$ ．上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A、①② B、①③ C、①②③ D、②③④

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5.
如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），M在BC边上，且BM=b，连接AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转至△NGF，给出以下五个结论：①∠MAD=∠AND；②CP=b﹣ $\frac{b^{2}}{a}$ ；③△ABM≌△NGF；④S_四边形_AMFN=a²+b²；⑤A，M，P，D四点共圆，其中正确的个数是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6.
有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S₁ ， S₂ ，则S₁：S₂等于（）

A、1： $\sqrt{2}$ B、1：2 C、2：3 D、4：9

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7. 如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，OE=1.5，则四边形EFCD的周长为（）

A、14 B、13 C、12 D、10

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8. 如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（）

A、60° B、67.5° C、75° D、54°

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二、填空题

9. 已知一个多边形的每一个外角都等于 $72^{\circ}$ ，则这个多边形的边数是．

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10. 如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°．顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A₁B₁C₁D₁；顺次连结四边形A₁B₁C₁D₁各边中点，可得四边形A₂B₂C₂D₂；顺次连结四边形A₂B₂C₂D₂各边中点，可得四边形A₃B₃C₃D₃；按此规律继续下去…．则四边形A₂B₂C₂D₂的周长是；四边形A₂₀₁₃B₂₀₁₃C₂₀₁₃D₂₀₁₃的周长是．

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11. 图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝隙）．图乙中 $\frac{A B}{B C} = \frac{6}{7}$ ，EF=4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm² ，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为 cm．

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12. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A C$ 、 $B D$ 交于点 $O$ ， $M$ 、 $N$ 分别为 $B C$ 、 $O C$ 的中点.若 $M N = 4$ ，则 $A C$ 的长为.

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13. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 平分 $∠ B A D$ ， $∠ A C D = ∠ A B C = 90 °$ ， $E$ 、 $F$ 分别为 $A C$ 、 $C D$ 的中点， $∠ D = α$ ，则 $∠ B E F$ 的度数为.(用含 $α$ 的式子表示)

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14. 四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE= $\sqrt{3}$ ，则CE的长为．

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15. 如图，在矩形ABCD中，AB= $\sqrt{2}$ ，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是．

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16. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，∠A=120°，AD=2，BD平分∠ABC，则梯形ABCD的周长是．

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17. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是．

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三、解答题

18. 已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=DF，连结AE，AF.求证：AE=AF.

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19. 已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断
① OA＝OC ② AB＝CD ③ ∠BAD＝∠DCB ④ AD∥BC
请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题：

(1)、构造一个真命题，画图并给出证明；

(2)、构造一个假命题，举反例加以说明.

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20.
定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.

(1)、如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°，
①若AB=CD=1，AB//CD，求对角线BD的长.
②若AC⊥BD，求证：AD=CD.

(2)、如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形.求AE的长.

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21.
已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA，EC．
（Ⅰ）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；
（Ⅱ）如图2，若点P在线段AB的中点，连接AC，判断△ACE的形状，并说明理由；
（Ⅲ）如图3，若点P在线段AB上，连接AC，当EP平分∠AEC时，设AB=a，BP=b，求a：b及∠AEC的度数．

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四、作图题

22. 如图，P，Q是方格纸中的两格点，请按要求画出以PQ为对角线的格点四边形．

(1)、在图1中画出一个面积最小的¨PAQB．

(2)、在图2中画出一个四边形PCQD，使其是轴对称图形而不是中心对称图形，且另一条对角线CD由线段PQ以某一格点为旋转中心旋转得到．注：图1，图2在答题纸上．

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五、综合题

23. 如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．

(1)、求证：BD=EC；

(2)、若∠E=50°，求∠BAO的大小．

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24. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $D B = D A$ ，点 $F$ 是 $A B$ 的中点，连接 $D F$ 并延长，交 $C B$ 的延长线于点 $E$ ，连接 $A E$ .

(1)、求证：四边形 $A E B D$ 是菱形；

(2)、若 $D C = \sqrt{10}$ ， $tan ∠ D C B = 3$ ，求菱形 $A E B D$ 的面积.

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25.
已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．

(1)、求证：四边形ABCD是菱形；

(2)、如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．

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26. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，线段 $E F$ 、 $G H$ 分别平行于 $A D$ 、 $A B$ ，它们相交于点 $P$ ，点 $P_{1}$ 、 $P_{2}$ 分别在线段 $P F$ 、 $P H$ 上， $P P_{1} = P G$ ， $P P_{2} = P E$ ，连接 $P_{1} H$ 、 $P_{2} F$ ， $P_{1} H$ 与 $P_{2} F$ 交于点 $Q$ .已知 $A G ： G D = A E ： E B = 1 ： 2$ .设 $A G = a$ ， $A E = b$ .

(1)、四边形 $E B H P$ 的面积四边形 $G P F D$ 的面积（填“ $>$ ”、“ $=$ ”或“ $<$ ”）；

(2)、求证： $△ P_{1} F Q ∽ △ P_{2} H Q$ ；

(3)、设四边形 $P P_{1} Q P_{2}$ 的面积为 $S_{1}$ ，四边形 $C F Q H$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值.

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27.

(1)、如图1，点P为矩形 $A B C D$ 对角线 $B D$ 上一点，过点P作 $E F // B C$ ，分别交 $A B$ 、 $C D$ 于点E、F.若 $B E = 2$ ， $P F = 6$ ， $△ A E P$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ C F P$ 的面积为 $S_{2}$ ，则 $S_{1} + S_{2} =$ ；


(2)、如图2，点 $P$ 为 $▱ A B C D$ 内一点（点 $P$ 不在 $B D$ 上），点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 分别为各边的中点.设四边形 $A E P H$ 的面积为 $S_{1}$ ，四边形 $P F C G$ 的面积为 $S_{2}$ （其中 $S_{2} > S_{1}$ ），求 $△ P B D$ 的面积（用含 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 的代数式表示）；

(3)、如图3，点 $P$ 为 $▱ A B C D$ 内一点（点 $P$ 不在 $B D$ 上）过点 $P$ 作 $E F // A D$ ， $H G // A B$ ，与各边分别相交于点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ .设四边形 $A E P H$ 的面积为 $S_{1}$ ，四边形 $P G C F$ 的面积为 $S_{2}$ （其中 $S_{2} > S_{1}$ ），求 $△ P B D$ 的面积（用含 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 的代数式表示）；


(4)、如图4，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 把 $⊙ O$ 四等分.请你在圆内选一点 $P$ （点 $P$ 不在 $A C$ 、 $B D$ 上），设 $P B$ 、 $P C$ 、 $\overset{⌢}{B C}$ 围成的封闭图形的面积为 $S_{1}$ ， $P A$ 、 $P D$ 、 $\overset{⌢}{A D}$ 围成的封闭图形的面积为 $S_{2}$ ， $△ P B D$ 的面积为 $S_{3}$ ， $△ P A C$ 的面积为 $S_{4}$ .根据你选的点 $P$ 的位置，直接写出一个含有 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 、 $S_{4}$ 的等式（写出一种情况即可）.

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28.
问题呈现：
（Ⅰ）如图1，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，AE=DG，求证：2S_四边形_EFGH=S_矩形_ABCD ．（S表示面积）
（Ⅱ）实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AH≠BF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E、G作BC边的平行线，再分别过点F、H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A₁、B₁、C₁、D₁ ，得到矩形A₁B₁C₁D₁ ．
如图2，当AH＞BF时，若将点G向点C靠近（DG＞AE），经过探索，发现：2S_四边形_EFGH=S_矩形_ABCD+S $_{矩形 A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}}$ ．
如图3，当AH＞BF时，若将点G向点D靠近（DG＜AE），请探索S_四边形_EFGH、S_矩形_ABCD与S $_{矩形 A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}}$ 之间的数量关系，并说明理由．
（Ⅲ）迁移应用：
请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：
⑴如图4，点E、F、G、H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AH＞BF，AE＞DG，S_四边形_EFGH=11，HF= $\sqrt{29}$ ，求EG的长．
⑵如图5，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E、H分别在边AB、AD上，BE=1，DH=2，点F、G分别是边BC、CD上的动点，且FG= $\sqrt{10}$ ，连接EF、HG，请直接写出四边形EFGH面积的最大值．

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29.
综合题

(1)、【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=60°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为．

(2)、【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为．（用含a，h的代数式表示）

(3)、【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．

(4)、【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC= $\frac{4}{3}$ ，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．

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30. 如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．

(1)、求证：四边形BECD是平行四边形；

(2)、若∠A=50°，则当∠BOD=°时，四边形BECD是矩形．

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31.
如图，已知矩形ABCD中，AB=4，AD=m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接CP，作点D关于直线PC的对称点E，设点P的运动时间为t（s）．

(1)、若m=6，求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值．

(2)、已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，求所有这样的m的取值范围．

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32. 如图

(1)、如图1，菱形 $A E G H$ 的顶点 $E$ 、 $H$ 在菱形 $A B C D$ 的边上，且 $∠ B A D = 60 °$ ，请直接写出 $H D ： G C ： E B$ 的结果（不必写计算过程）

(2)、将图1中的菱形 $A E G H$ 绕点 $A$ 旋转一定角度，如图2，求 $H D ： G C ： E B$ ；

(3)、把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且 $A D ： A B = A H ： A E = 1 ： 2$ ，此时 $H D ： G C ： E B$ 的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由．

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33.
如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．

(1)、求证：四边形BFEP为菱形；

(2)、
当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．

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34.
如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等．

(1)、在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1所示的图形，AF经过点C，连接DE交AF于点M，观察发现：点M是DE的中点．
下面是两位学生有代表性的证明思路：
思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等；
思路2：不证三角形全等，连接BD交AF于点H．…
请参考上面的思路，证明点M是DE的中点（只需用一种方法证明）；

(2)、如图2，在（1）的前提下，当∠ABE=135°时，延长AD、EF交于点N，求 $\frac{A M}{N E}$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，若 $\frac{A F}{A B}$ =k（k为大于 $\sqrt{2}$ 的常数），直接用含k的代数式表示 $\frac{A M}{M F}$ 的值．

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35. 如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD．

(1)、求证：四边形ABCD是菱形；

(2)、若∠ADB=30°，BD=6，求AD的长．

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36.
如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2 $\sqrt{3}$ ，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．

(1)、填空：点B的坐标为；

(2)、是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；

(3)、①求证： $\frac{D E}{D B}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ；
②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．

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37. 如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD=∠FAD，∠BAD为锐角．

(1)、求证：AD⊥BF；

(2)、若BF=BC，求∠ADC的度数．

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38. 如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一点，以DE为边作正方形DEFG，DF与BC交于点M，延长EM交GF于点H，EF与GB交于点N，连接CG.

(1)、求证：CD⊥CG；

(2)、若tan∠MEN= $\frac{1}{3}$ ，求 $\frac{M N}{E M}$ 的值；

(3)、已知正方形ABCD的边长为1，点E在运动过程中，EM的长能否为 $\frac{1}{2}$ ？请说明理由.

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39. 如图，DB∥AC，且DB= $\frac{1}{2}$ AC，E是AC的中点，

(1)、求证：BC=DE；

(2)、连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给△ABC添加什么条件，为什么？

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40. 如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．

(1)、求证：四边形BEDF是平行四边形；

(2)、当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．

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