全国历年中考数学真题精选汇编：四边形1

试卷更新日期：2021-07-08 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（）

A、6 B、12 C、16 D、18

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2. 如图，将 $Δ A B C$ 绕边 $A C$ 的中点O顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的 $Δ C D A$ 与 $Δ A B C$ 构成平行四边形，并推理如下：
点A，C分别转到了点C，A处，

而点B转到了点D处．

∵ $C B = A D$ ，

∴四边形 $A B C D$ 是平行四边形．

小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵ $C B = A D$ ，”和“∴四边形……”之间作补充．下列正确的是（）

A、嘉淇推理严谨，不必补充 B、应补充：且 $A B = C D$ ， C、应补充：且 $A B // C D$ D、应补充：且 $O A = O C$ ，

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3. 求证：菱形的两条对角线互相垂直．
已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O．
求证：AC⊥BD．
以下是排乱的证明过程：
①又BO=DO；
②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；
③∵四边形ABCD是菱形；
④∴AB=AD．
证明步骤正确的顺序是（）

A、③→②→①→④ B、③→④→①→② C、①→②→④→③ D、①→④→③→②

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4. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ， $A B ： B C = 3 ： 2$ ，过点 $B$ 作 $B E / / A C$ ，过点 $C$ 作 $C E / / D B$ ， $B E$ 、 $C E$ 交于点 $E$ ，连接 $D E$ ，则 $\tan ∠ E D C =$ （）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ D、 $\frac{3}{10}$

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5. 下列说法中不正确的是（）

A、四边相等的四边形是菱形 B、对角线垂直的平行四边形是菱形 C、菱形的对角线互相垂直且相等 D、菱形的邻边相等

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6. 下列选项中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 $($ 　　 $)$

A、 $AD / / BC$ ， $AB / / CD$ B、 $AB / / CD$ ， $AB = CD$ C、 $AD / / BC$ ， $AB = DC$ D、 $AB = DC$ ， $AD = BC$

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7. 在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD周长是（）

A、22 B、20 C、22或20 D、18

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8. 下列命题中，假命题是( )

A、矩形的对角线相等 B、矩形对角线交点到四个顶点的距离相等 C、矩形的对角线互相平分 D、矩形对角线交点到四条边的距离相等

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9. 已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）

A、∠BAC=∠DCA B、∠BAC=∠DAC C、∠BAC=∠ABD D、∠BAC=∠ADB

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10. 已知在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，点D在边BC上，设 $\vec{B C}$ = $\vec{a}$ ， $\vec{A D}$ = $\vec{b}$ ，那么向量 $\vec{A C}$ 用向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示为（）

A、 $\frac{1}{2}$ $\vec{a}$ + $\vec{b}$ B、 $\frac{1}{2}$ $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ C、﹣ $\frac{1}{2}$ $\vec{a}$ + $\vec{b}$ D、﹣ $\frac{1}{2}$ $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$

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11. 下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）

A、内角和为360° B、对角线互相平分 C、对角线相等 D、对角线互相垂直

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12. 如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（）。

A、35° B、45° C、55° D、65°

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $A C = 5$ ， $B C = 6$ ，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，则四边形ADEF的周长为（）

A、6 B、9 C、12 D、15

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14. 下是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形.下列推理过程正确的是（）

A、由②推出③，由③推出① B、由①推出②，由②推出③ C、由③推出①，由①推出② D、由①推出③，由③推出②

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15. 四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变，如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′，若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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16. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（）

A、50° B、40° C、30° D、20°

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17. 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若 $a = 3$ ， $b = 4$ ，则该矩形的面积为（）

A、20 B、24 C、 $\frac{99}{4}$ D、 $\frac{53}{2}$

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二、填空题

18. 在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）．对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是．

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19. 如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使AM=AC，BN=BC，测得MN=200m，则A，B间的距离为m．

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20. 一副三角板按如图方式摆放，得到△ABD和△BCD，其中∠ADB=∠BCD=90°，∠A=60°，∠CBD=45°，E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F．若AD=4cm，则EF的长为 cm．

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21. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = 10 ， B D ⊥ A D$ ．若将 $Δ B C D$ 沿 $B D$ 折叠，点 $C$ 与边 $A B$ 的中点 $E$ 恰好重合，则四边形 $B C D E$ 的周长为．

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22. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形（填一个即可）．

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23. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，连接 $A C$ ， $∠ A C B = ∠ C A D$ ．请你添加一个条件，使 $A B = C D$ ．（填一种情况即可）

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24. 如图，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，设 $\vec{B C}$ = $\vec{a}$ ， $\vec{C A}$ = $\vec{b}$ ，那么向量 $\vec{B D}$ 用向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 表示为．

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25. 通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是度．

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26. 如图，四边形 $A B C D$ 为菱形， $∠ A B C = 70 °$ ，延长 $B C$ 到 $E$ ，在 $∠ D C E$ 内作射线 $C M$ ，使得 $∠ E C M = 15 °$ ，过点 $D$ 作 $D F ⊥ C M$ ，垂足为 $F$ ，若 $D F = \sqrt{5}$ ，则对角线 $B D$ 的长为.（结果保留根号）

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27. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别为 $A B$ 、 $B C$ 、 $C A$ 的中点，若 $B F = 5$ ，则 $D E =$ .

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28. 如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN.若AB=7，BE=5，则MN=.

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29. 如图， $▱$ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：，使 $▱$ ABCD是菱形。

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30. 如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是°.

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三、解答题

31. 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．
（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）

请根据该图完成这个推论的证明过程．

证明：S_矩形NFGD=S_△ADC﹣（S_△ANF+S_△FGC），S_矩形EBMF=S_△ABC﹣（+）．

易知，S_△ADC=S_△ABC ， = ， = ．

可得S_矩形NFGD=S_矩形EBMF ．

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四、综合题

32. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ D C$ ， $A B = A D$ ，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ， $A C$ 平分 $∠ B A D$ ，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A B$ 交 $A B$ 的延长线于点 $E$ ，连接 $O E$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是菱形；

(2)、若 $A B = \sqrt{5}$ ， $B D = 2$ ，求 $O E$ 的长．

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33. 如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．

(1)、求证：四边形BCDE为菱形；

(2)、连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．

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34. 已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°.

(1)、甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；

(2)、若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.

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35. 图①，图②均为 $4 \times 4$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段 $A B$ ，在图②中已画出线段 $C D$ ，其中 $A 、 B 、 C 、 D$ 均为格点，按下列要求画图：

(1)、在图①中，以 $A B$ 为对角线画一个菱形 $A E B F$ ，且 $E ， F$ 为格点；

(2)、在图②中，以 $C D$ 为对角线画一个对边不相等的四边形 $C G D H$ ，且 $G ， H$ 为格点， $∠ C G D = ∠ C H D = 90^{0}$ .

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36. 如图①，在△ABC中，AB=AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF=∠A，另一边EF交AC于点F．

(1)、求证：四边形ADEF为平行四边形；

(2)、当点D为AB中点时，▱ADEF的形状为；

(3)、延长图①中的DE到点G，使EG=DE，连接AE，AG，FG，得到图②，若AD=AG，判断四边形AEGF的形状，并说明理由．

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37. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C$ 的角平分线交 $B C$ 于点D， $D E / / A B ， D F / / A C$ .

(1)、试判断四边形 $A F D E$ 的形状，并说明理由；

(2)、若 $∠ B A C = 90 °$ ，且 $A D = 2 \sqrt{2}$ ，求四边形 $A F D E$ 的面积.

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38. 如图，点C是 $B E$ 的中点，四边形 $A B C D$ 是平行四边形.

(1)、求证：四边形 $A C E D$ 是平行四边形；

(2)、如果 $A B = A E$ ，求证：四边形 $A C E D$ 是矩形.

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39. 如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF.

(1)、求证：四边形BEFD是平行四边形；

(2)、若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长.

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40. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S₁ ，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为 S₂ ，且S₁=S₂.

(1)、求线段CE的长.

(2)、若点日为BC边的中点，连接HD，求证：HD=HG.

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