全国历年中考数学真题精选汇编：三角形1

试卷更新日期：2021-07-08 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（）

A、1，1，1 B、1，1，8 C、1，2，2 D、2，2，2

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2. 折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB=8，AD=4，则MN的长是（）

A、 $\frac{5}{3} \sqrt{5}$ B、2 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{7}{3} \sqrt{5}$ D、4 $\sqrt{5}$

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3. 如图.将菱形ABCD绕点A逆时针旋转 $∠ α$ 得到菱形 $A B^{'} C^{'} D^{'}$ ， $∠ B = ∠ β$ .当AC平分 $∠ B^{'} A C^{'}$ 时， $∠ α$ 与 $∠ β$ 满足的数量关系是（）

A、 $∠ α = 2 ∠ β$ B、 $2 ∠ α = 3 ∠ β$ C、 $4 ∠ α + ∠ β = 180 °$ D、 $3 ∠ α + 2 ∠ β = 180 °$

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4. 如图，将长、宽分别为12cm，3cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P.若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（）

A、（36 $- 6 \sqrt{3}$ ）cm² B、（36 $- 12 \sqrt{3}$ ）cm² C、24cm² D、36cm²

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5. 两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC=∠EDF=90°，∠E=45°，∠C=30°，AB与DF交于点M，若BC∥EF，则∠BMD的大小为（）

A、60° B、67.5° C、75° D、82.5°

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6. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点D在 $A C$ 上， $∠ D B C = ∠ A$ ．若 $A C = 4 ， c o s A = \frac{4}{5}$ ，则 $B D$ 的长度为（）

A、 $\frac{9}{4}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{15}{4}$ D、4

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7. 如图，直线m∥n ，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若∠1＝60°，则下列结论错误的是（）

A、∠2＝75° B、∠3＝45° C、∠4＝105° D、∠5＝130°

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8. 如图，在平行四边形ABCD中，E是BD的中点，则下列四个结论：
①AM＝CN；②若MD＝AM ， ∠A＝90°，则BM＝CM；③若MD＝2AM ，则S_△_MNC＝S_△_BNE；④若AB＝MN ，则△MFN与△DFC全等．

其中正确结论的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5 $\sqrt{3}$ ，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP ，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ ，连接DQ ，则线段DQ的最小值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $5 \sqrt{2}$ C、 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ D、3

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10. 如图，在四边形ABCD中， $A D ∥ B C$ ， $∠ D = 90^{°}$ ， $A D = 4$ ， $B C = 3$ .分别以点A，C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O.若点O是AC的中点，则CD的长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、3 D、 $\sqrt{10}$

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11. 如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（）

A、（ $\sqrt{5}$ ﹣1，2） B、（ $\sqrt{5}$ ，2） C、（3﹣ $\sqrt{5}$ ，2） D、（ $\sqrt{5}$ ﹣2，2）

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12. 如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm²）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、2 $\sqrt{5}$

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13. 如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°，∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为（）

A、30° B、15° C、45° D、25°

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二、填空题

14. 如图，在边长为6的等边 $Δ A B C$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是边 $A C$ ， $B C$ 上的动点，且 $A E = C F$ ，连接 $B E$ ， $A F$ 交于点 $P$ ，连接 $C P$ ，则 $C P$ 的最小值为.

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15. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°，点B、C在 $⊙ O$ 上，边AB、AC分别交 $⊙ O$ 于D、E两点﹐点B是 $\overset{⌢}{C D}$ 的中点，则∠ABE=.

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16. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺.如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（示意图如图，则水深为尺.

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17. 如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，BD交于点F，则 $∠ A F B$ 的度数为.

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18. 图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且 $O A = O B$ ，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，FA，EB均与地面垂直，测得 $F A = 54 cm$ ， $E B = 45 cm$ ， $A B = 48 cm$ .

(1)、椅面CE的长度为cm.

(2)、如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角 $∠ C H D$ 的度数达到最小值 $30 °$ 时，A，B两点间的距离为cm（结果精确到0.1cm）.（参考数据： $\sin 15 ° \approx 0.26$ ， $\cos 15 ° \approx 0.97$ ， $\tan 15 ° \approx 0.27$ ）

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19. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC.分别以点A，B为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF.以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH.若BC＝3，则△AFH的周长为 .

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20. 在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片 $A B C D$ 沿过点A的直线折叠，使得点B落在 $C D$ 上的点 $Q$ 处，折痕为 $A P$ ；再将 $Δ P C Q ， Δ A D Q$ 分别沿 $P Q ， A Q$ 折叠，此时点 $C ， D$ 落在 $A P$ 上的同一点R处．请完成下列探究：

(1)、 $∠ P A Q$ 的大小为 $°$ ；

(2)、当四边形 $A P C D$ 是平行四边形时 $\frac{A B}{Q R}$ 的值为．

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21. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 30 °$ ， $D$ ， $E$ 分别为 $A C$ 、 $B C$ 的中点， $D E = 2$ ，过点 $B$ 作 $B F // A C$ ，交 $D E$ 的延长线于点 $F$ ，则四边形 $A B F D$ 的面积为．

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22. 如图，将矩形纸片ABCD折叠（AD＞AB），使AB落在AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，连接DE ，若DE＝EF ， CE＝2，则AD的长为．

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23. 如图，∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为．

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三、计算题

24. 化简求值： $(1 - \frac{3 a - 10}{a - 2}) \div (\frac{a - 4}{a^{2} - 4 a + 4})$ ，其中 $a$ 与2，3构成三角形的三边，且 $a$ 为整数.

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四、解答题

25. 在①AE=CF；②OE=OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程.

已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上， (填写序号).

求证：BE=DF.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)

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26. 如图，山顶上有一个信号塔 $A C$ ，已知信号塔高 $A C = 15$ 米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角 $∠ C B D = 36.9 °$ ，塔顶A的仰角 $∠ A B D = 42 °$ ．求山高 $C D$ (点 $A ， C ， D$ 在同一条竖直线上)．
(参考数据： $t a n 36.9 ° \approx 0.75 ， s i n 36.9 ° \approx 0.60 ， t a n 42.0 ° \approx 0.90$ )

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27. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，点 $M$ 、 $N$ 分别在 $A B$ 、 $C B$ 上，且 $∠ A D M = ∠ C D N$ ，求证： $B M = B N$ ．

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五、综合题

28. 如图，在平面直角坐标中， $Δ A B C$ 的顶点坐标分别是 $A (0 ， 4)$ ， $B (0 ， 2)$ ， $C (3 ， 2)$ .

(1)、将 $Δ A B C$ 以 $О$ 为旋转中心旋转 $180 °$ ，画出旋转后对应的 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、将 $Δ A B C$ 平移后得到 $Δ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，若点 $A$ 的对应点 $A_{2}$ 的坐标为 $(2 ， 2)$ ，求 $Δ A_{1} C_{1} C_{2}$ 的面积

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29. 如图， $A C$ 与 $B D$ 交于点O， $O A = O D ， ∠ A B O = ∠ D C O$ ，E为 $B C$ 延长线上一点，过点E作 $E F / / C D$ ，交 $B D$ 的延长线于点F.

(1)、求证 $△ A O B ≌ △ D O C$ ；

(2)、若 $A B = 2 ， B C = 3 ， C E = 1$ ，求 $E F$ 的长.

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30. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，E为 $D C$ 边的中点，连接 $A E$ ，若 $A E$ 的延长线和 $B C$ 的延长线相交于点F.

(1)、求证： $B C = C F$ ；

(2)、连接 $A C$ 和 $B E$ 相交于点为G，若 $△ G E C$ 的面积为2，求平行四边形 $A B C D$ 的面积.

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31. 如图，在 $△ A B C$ 中， $C A = C B$ ，BC与 $⊙ A$ 相切于点D，过点A作AC的垂线交CB的延长线于点E，交 $⊙ A$ 于点F，连结BF.

(1)、求证：BF是 $⊙ A$ 的切线.

(2)、若 $B E = 5$ ， $A C = 20$ ，求EF的长.

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32. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝20，BC＝DC＝10 $\sqrt{2}$ .

(1)、求证：△ABC≌△ADC；

(2)、当∠BCA＝45°时，求∠BAD的度数.

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33. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E。已知∠ABC=60°，∠C=45°。

(1)、求证：AB=BD；

(2)、若AE=3，求△ABC的面积。

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34. 如图1．已知四边形 $A B C D$ 是矩形．点E在 $B A$ 的延长线上． $A E = A D . E C$ 与 $B D$ 相交于点G，与 $A D$ 相交于点 $F ， A F = A B .$

(1)、求证： $B D ⊥ E C$ ；

(2)、若 $A B = 1$ ，求 $A E$ 的长；

(3)、如图2，连接 $A G$ ，求证： $E G - D G = \sqrt{2} A G$ ．

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35. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段A
B.

(1)、将线段AB向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段CD，请画出线段C
D.

(2)、以线段CD为一边，作一个菱形CDEF，且点E，F也为格点.（作出一个菱形即可）

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36. 如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE.

(1)、求证：△BCE≌△ADF；

(2)、设▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求 $\frac{S}{T}$ 的值

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37. 四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．

(1)、若AC＝EC ，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；

(2)、若AB＝AD ，点F是AB上的点，AF＝BE ， EG⊥AC于点G ，如图2，求证：△DGF是等腰直角三角形．

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38. 如图，在直角坐标系中，直线y₁＝ax+b与双曲线y₂＝ $\frac{k}{x}$ （k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝ $\frac{2}{3}$ ．

(1)、求y₁ ， y₂对应的函数表达式；

(2)、求△AOB的面积；

(3)、直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞ $\frac{k}{x}$ 的解集．

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39. 如图

(1)、问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：
① $\frac{A C}{B D}$ 的值为；
②∠AMB的度数为．

(2)、类比探究
如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断 $\frac{A C}{B D}$ 的值及∠AMB的度数，并说明理由；

(3)、拓展延伸
在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB= $\sqrt{7}$ ，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．

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40.

(1)、问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：
①∠AEB的度数为；
②线段AD，BE之间的数量关系为．

(2)、拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．

(3)、解决问题
如图3，在正方形ABCD中，CD= $\sqrt{2}$ ，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．

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