重庆市名校联盟2021届高三数学三模试卷

试卷更新日期：2021-07-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | y = \sqrt{x - 1}} ， B = {y | y = \sqrt{x - 1}}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $A = B$ B、 $A \cap B = \emptyset$ C、 $A \cap B = A$ D、 $A \cup B = A$

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2. 若复数 $z$ 满足 $| z - 1 + i | = | 1 - 2 i |$ ，其中i为虚数单位，则 $z$ 对应的点(x，y)满足方程（）

A、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \sqrt{5}$ B、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 5$ C、 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \sqrt{5}$ D、 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 5$

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3. 函数 $f (x) = (3 x - x^{3}) \cdot \sin x$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个：存在无穷多个素数P，使得 $p + 2$ 是素数，素数对 $(p ， p + 2)$ 称为孪生素数，2013年华人数学家张益唐发表的论文《素数间的有界距离》第一次证明了存在无穷多组间距小于定值的素数对，那么在不超过16的素数中任意取出不同的两个．可组成孪生素数的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{4}{21}$ C、 $\frac{4}{15}$ D、 $\frac{1}{10}$

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5. 已知 $(2 x^{2} + 1) {(\frac{a}{x^{2}} - 1)}^{5}$ 的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是（）

A、 $- 10$ B、 $- 7$ C、9 D、10

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6. 我国古代著名的数学专著《九章算术》有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，行程一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日减半里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，则二马（）日后相逢．

A、10 B、11 C、12 D、13

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点为 $F_{1} ， F_{2}$ ，虚轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，若其渐近线上横坐标为1的点P恰好满足 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，则双曲线的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、4 D、 $\sqrt{13}$

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8. 若关于 $x$ 的不等式 $e^{x - a} \geq \ln x + a$ 对一切正实数 $x$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{e})$ B、 $(- \infty ， e]$ C、 $(- \infty ， 1]$ D、 $(- \infty ， 2]$

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二、多选题

9. 空气质量指数大小分为五级，指数越大说明污染的情况越严重，对人体危窖越大，指数范围在； $[0 ， 50] ， [51 ， 100] ， [101 ， 200] ， [201 ， 300] ， [301 ， 500]$ 对应“优”､“良”､“轻度污块"､“中度污染”､“重度污染”五个等级，下面是某市连续14天的空气质量指数变化趋势图，下列说法中正确的是（）

A、从2日到5日空气质量越来越好 B、这14天中空气质量指数的极差为195 C、这14天中空气质量指数的中位数是103.5 D、这14天中空气质量指数为“良”的频率为 $\frac{3}{14}$

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10. 定义在实数集 $R$ 的函数 $f (x) = A cos (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的图象的一个最高点为 $(- \frac{π}{12} ， 3)$ ，与之相邻的一个对称中心为 $(\frac{π}{6} ， 0)$ ，将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ 的图象，则（）

A、 $f (x)$ 的振幅为3 B、 $f (x)$ 的频率为π C、 $g (x)$ 的单调递增区间为 $[- \frac{5 π}{12} ， \frac{π}{12}]$ D、 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上只有一个零点

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11. $f (x)$ 是定义在 $R$ 上周期为4的函数，且 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 \sqrt{1 - x^{2}} ， x \in (- 1 ， 1] \\ 1 - | x - 2 | ， x \in (1 ， 3] \end{array}$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $f$ $(x)$ 的值域为 $[0 ， 2]$ B、当 $x \in (3 ， 5]$ 时， $f (x) = 2 \sqrt{- x^{2} + 8 x - 15}$ C、 $f (x)$ 图象的对称轴为直线 $x = 4 k ， k \in Z$ D、方程 $3 f (x) = x$ 恰有5个实数解

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12. 如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将 $△ A B M$ 沿直线AM翻折成 $△ A B_{1} M$ ，连结 $B_{1} D$ ，N为 $B_{1} D$ 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（）

A、存在某个位置，使得 $C N ⊥ A B_{1}$ B、翻折过程中，CN的长是定值 C、若 $A B = B M$ ，则 $A M ⊥ B_{1} D$ D、若 $A B = B M = 1$ ，当三棱锥 $B_{1} - A M D$ 的体积最大时，三棱锥 $B_{1} - A M D$ 的外接球的表面积是4π

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三、填空题

13. 已知 $\tan (α - \frac{π}{4}) = 2$ ，则 $\cos 2 α$ 的值是．

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14. 已知 $x > 2$ ， $y > 0$ 且满足 $2^{x} \cdot 2^{y} = 16$ ，则 $\frac{2}{x - 2} + \frac{2}{y}$ 的最小值为.

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15. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点M(x₀ ， 2 $\sqrt{2}$ )( $x_{0} > \frac{p}{2}$ )是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线x＝ $\frac{p}{2}$ 交于E，G两点，若sin∠MFG＝ $\frac{1}{3}$ ，则抛物线C的方程是.

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16. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥ A B ， P A = 4 ， P C = 2 ， A B = 3$ ，二面角 $P - A B - C$ 的大小为 $30^{\circ}$ ，在侧面 $△ P A B$ 内(含边界)有一动点 $M$ ，满足到 $P A$ 的距离与到平面 $A B C$ 的距离相等，则动点 $M$ 的轨迹的长度为．

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四、解答题

17. 在① $b^{2} + a c = a^{2} + c^{2}$ ，② $\sqrt{3} a \cos B = b \sin A$ ，③ $\sqrt{3} \sin B + \cos B = 2$ ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.
已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_________， $A = \frac{π}{4}$ ， $b = \sqrt{2}$ .

(1)、求角B；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $2 a_{n} - S_{n} = 1 (n \in N *)$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式：

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n + 1}}{(a_{n + 1} - 1) (a_{n + 2} - 1)}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $\frac{2}{3} \leq T_{n} < 1$ ．

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $A B = 3 D C = 6$ ， $B M = 2 M P$ .

(1)、求证： $C M //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $A D ⊥ D C$ ， $P D ⊥ P C$ 且 $P D = P C$ ，平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D = 1$ ，求直线 $C M$ 与平面 $P A B$ 所成的角.

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20. 近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：

土地使用面积 $x$ （单位：亩）	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
管理时间 $y$ （单位：月）	$8$	$10$	$13$	$25$	$24$

并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：

	愿意参与管理	不愿意参与管理
男性村民	150	50
女性村民	50

(1)、求出相关系数

r

的大小，并判断管理时间

y

与土地使用面积

x

是否线性相关？

(2)、若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为

X

，求

X

的分布列及数学期望.

参考公式： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{1} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{1} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，参考数据： $\bar{y} = 16$ ， $\sum_{i = 1}^{5} {(y - \bar{y})}^{2} = 254$ ， $\sqrt{635} \approx 25.2$

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21. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，焦距为4．

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、过椭圆右焦点 $F$ 的动直线 $l$ 交椭圆于 $A ､ B$ 两点， $P$ 为直线 $x = 3$ 上的一点，是否存在直线 $l$ 与点P，使得 $△ A B P$ 恰好为等边三角形，若存在求出 $△ A B P$ 的面积，若不存在说明理由．

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22. 设 $x \in (0 ， \frac{π}{2}) ， f (x) = k x - sin x ， k \in R .$

(1)、 $f (x) > 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围；

(2)、求证：当 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ 时， $\frac{tan x - sin x}{x - sin x} > 3$ ．

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