新疆乌鲁木齐市2021届高三理数第一次质量检测试卷

试卷更新日期：2021-07-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0} ， B = {x | 1 \leq x \leq 3}$ ，则（）

A、 $A \supseteq B$ B、 $A = B$ C、 $A \subseteq B$ D、 $A \cap B = \emptyset$

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2. i为虚数单位，则复数 $\frac{1 - 2 i}{i}$ 的共扼复数是（）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $- 2 + i$ D、 $- 2 - i$

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3. 在空间中，下列命题正确的是（）

A、垂直于同一平面的两个平面平行 B、垂直于同一平面的两条直线平行 C、平行于同一直线的两个平面平行 D、平行于同一条直线的一条直线和一个平面平行

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4. 某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱 $O A$ 的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示.现要求水流最高点B离地面 $4m$ ，点B到管柱 $O A$ 所在直线的距离为 $3m$ ，且水流落在地面上以O为圆心，以 $7m$ 为半径的圆上，则管柱 $O A$ 的高度为（）

A、 $\frac{5}{3} m$ B、 $\frac{7}{4} m$ C、 $\frac{9}{4} m$ D、 $\frac{7}{3} m$

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5. 已知 $α$ 为第一象限角， $\sin α - \cos α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ，若 $S_{m - 1} = 0 ， S_{m} = 2 ， S_{m + 1} = 5$ ，则 $m =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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7. 函数 $y = \sin \frac{x}{2}$ 与 $y = \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{4})$ 的图象关于直线l对称，则l可以是（）

A、 $x = - \frac{π}{4}$ B、 $x = \frac{π}{4}$ C、 $x = \frac{π}{2}$ D、 $x = \frac{3 π}{4}$

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8. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{4} = 9 ， a_{2} \cdot a_{3} = 8$ ，若 $a_{1} \cdot a_{2} \dots \dots a_{n}$ 有最大值，则最大值为（）

A、16 B、32 C、64 D、128

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9. 定义在R上的奇函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上是增函数，且 $f (1) = 0$ ，若 $f (e^{x}) \geq 0$ ，则x的取值范围是（）

A、 $[0 ， + \infty)$ B、 $[0 ， e]$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， 0]$

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10. 设 $a = \log_{2} e ， b = \log_{3} e ， c = \ln 3$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < b < a$ D、 $b < a < c$

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11. 设点 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两个焦点，若双曲线上存在点A，使 $∠ F_{1} A F_{2} = 120 °$ ，且 $| A F_{1} | = 2 | A F_{2} |$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{7}$

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12. 四面体 $A B C D$ 的所有棱长都相等，其顶点都在球O的球面上，过点 $A ， B ， O$ 作平面 $α$ ，平面 $α$ 截此四面体所得截面面积为 $\sqrt{2}$ ，则球O的表面积为（）

A、 $2 π$ B、 $3 π$ C、 $4 π$ D、 $6 π$

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二、填空题

13. 设变量 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} y \leq x \\ 2 x + y \geq 2 \\ x \leq 2 \end{array}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最大值为.

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14. 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，科学决策，在全市随机抽取了100位居民某年的月均用水量(单位：t)得到如图所示的频率分布直方图，在统计中我们定义一个分布的 $α$ 分位数为满足 $P (X \geq z_{α}) = 1 - α$ 的 $z_{α}$ ，则估计本例中 $z_{0.85} =$ .

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15. 如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的.所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大正方形.若 $∠ B A E = 30 °$ ，设 $\vec{B D} = x \vec{E F} + y \vec{E H}$ ，则 $x y$ 的值为.

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16. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ 在R上是增函数，且存在垂直于y轴的切线，则 $\frac{c}{a + b}$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $\frac{a \cos B - b \cos A}{a - b} = \frac{a + b}{2}$ .

(1)、求边c的值；

(2)、若 $C = \frac{π}{3} ， △ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求它的周长.

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18. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C ， △ P A C$ 是等边三角形， $A B = B C = \frac{\sqrt{2}}{2} A C$ ， $M ， N$ 分别是 $B C ， P C$ 的中点.

(1)、求证 $A C ⊥ M N$ ；

(2)、求二面角 $N - A M - C$ 的正弦值.

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19. 某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销在每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”，“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”，一等奖是20元，二等奖是10元，开始销售的前三天，举行促销活动：顾客可以从每件新开的箱子中任选2瓶购买.

(1)、求每一位顾客新开一箱购买两瓶可以中奖的概率；

(2)、某商场在促销的前三天的活动中，共售出了730瓶，问抽中奖的箱数X的数学期望；

(3)、请你为商场做决策：在促销活动的前3天中，共售出了730瓶，每瓶的售价至少定为多少元，可以使这三天的促销活动不亏损(每瓶的成本是2元).

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20. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右集点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，点 $(1 ， \frac{3}{2})$ 在椭圆上.

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、点A为椭圆在第一象限上一点，过点 $F_{2}$ 作 $A F_{1}$ 的垂线交该椭圆于 $M ， N$ 两点，求四边形 $A M F_{1} N$ 面积的取值范围.

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21. 设函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - k x^{2} + 1$ (其中 $k \in R$ ).

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极小值，求实数k的值；

(2)、当 $k \leq 1$ 时，若函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， k]$ 上有两个不相等的零点，求实数k的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} \\ y = \frac{{(1 + t)}^{2}}{1 + t^{2}} \end{array}$ (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} - 8 ρ \cos θ - 2 ρ \sin θ + 16 = 0$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程和 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、若过曲线 $C_{2}$ 上任意一点M作曲线 $C_{1}$ 的切线，切点为N，求 $| M N |$ 的最大值.

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23. 已知 $a ， b ， c$ 都是正数，且 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$ ，用 $\max {a ， b ， c}$ 表示 $a ， b ， c$ 的最大值， $M = \max {a + \frac{1}{b} ， b + \frac{1}{c} ， c + \frac{1}{a}}$ .

(1)、证明 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \geq 9$ ；

(2)、求M的最小值.

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