新疆维吾尔自治区2021届高三理数普通高考第一次适应性检测试卷

试卷更新日期：2021-07-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $U = {x \in Z | x^{2} - 3 x - 4 \leq 0}$ ， $A = {1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {- 1 ， 1 ， 2}$ ，则 $∁_{U} (A \cap B) =$ （）

A、 ${0 ， 3}$ B、 ${- 1 ， 1 ， 2 ， 3}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 3 ， 4}$ D、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 若 $α$ 是第二象限角，则（）

A、 $\cos (- α) > 0$ B、 $\tan \frac{α}{2} > 0$ C、 $\sin 2 α > 0$ D、 $\cos (π - α) < 0$

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3. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{4} = 4$ ， $a_{7} = 7$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \dots + \frac{1}{S_{2020}} =$ （）

A、 $\frac{2019}{2020}$ B、 $\frac{2020}{2021}$ C、 $\frac{4039}{2020}$ D、 $\frac{4040}{2021}$

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4. 圆心在抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 上，且与直线 $y + 1 = 0$ 相切的圆一定过的点是（）

A、 $(1 ， 0)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(- 1 ， 0)$ D、 $(0 ， - 1)$

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5. 数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法.十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如：3可表示为“ $\equiv$ ”，26可表示为“ $= ⊥$ ”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用1~9这9个数字表示的所有两位数中，能被4整除的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{7}{12}$

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6. 古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积 $V$ ，求其直径 $d$ 的一个近似公式 $d \approx \sqrt[3]{\frac{16}{9} V}$ ，人们还用过一些类似的近似公式.根据 $π = 3.14159 \cdot \cdot \cdot$ ，判断下列近似公式中最精确的一个是（）

A、 $d \approx \sqrt[3]{\frac{16}{9} V}$ B、 $d \approx \sqrt[3]{\frac{4}{3} V}$ C、 $d \approx \sqrt[3]{\frac{11}{6} V}$ D、 $d \approx \sqrt[3]{\frac{21}{11} V}$

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7. 已知 $a = \log_{2} \frac{3}{2}$ ， $b = \log_{\frac{1}{2}} \frac{3}{2}$ ， $c = e^{\frac{2}{3}}$ ， $d = {(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}}$ ，则（）

A、 $c > a > d > b$ B、 $c > a > b > d$ C、 $a > c > d > b$ D、 $c > d > a > b$

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8. 设有以下四个命题：
$p_{1}$ ：若直线 $l$ 在平面 $α$ 外，则 $l / / α$ ；

$p_{2}$ ：过空间中任意两条相交直线有且仅有一个平面；

$p_{3}$ ：若平面 $α ⊥$ 平面 $β$ ， $α \cap β = a$ ，直线 $b ⊥ a$ ，则 $b ⊥ β$ ；

$p_{4}$ ：若平面 $α / /$ 平面 $β$ ，直线 $a \subset α$ ，则 $a / / β$ .

则下列命题为真命题的是（）

A、 $p_{1} \land p_{4}$ B、 $p_{1} \lor (\neg p_{2})$ C、 $p_{2} \land p_{4}$ D、 $(\neg p_{2}) \land (\neg p_{3})$

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9. 若 $f (x) = | \sin x | \cdot e^{| x |}$ ， $x ， y \in [- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 且 $f (x) > f (y)$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $| x | > | y |$ B、 $| x | < | y |$ C、 $x < y$ D、 $x > y$

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10. 在 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{5}$ ， $C B = 1$ ，点 $M$ ， $N$ 分别为 $C A$ ， $C B$ 的中点， $A N$ 与 $B M$ 相交于点 $G$ ，且满足 $3 \vec{A G} \cdot \vec{M B} = {\vec{C A}}^{2} + {\vec{C B}}^{2}$ ，则 $\cos B =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$

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11. 形如1､1､2､3､5…的数列叫斐波那契数列，其特点是从第三项开始，每一项都等于前面两项的和.如果把数列第一项换成正整数 $a$ ，第二项换成正整数 $b$ ，第三项开始仿照斐波那契数列的规则，可以得到一个新的数列．如果新的数列中某一项出现了100，则 $a + b$ 的最小值为（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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12. 若对于任意的 $0 < x_{1} < x_{2} < m$ ，都有 $\frac{x_{2} \ln x_{1} - x_{1} \ln x_{2}}{x_{1} - x_{2}} > 2$ ，则 $m$ 的最大值为（）

A、 $e$ B、 $\frac{1}{e}$ C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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二、填空题

13. 定义运算： $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - b c$ ，若复数 $z$ 满足 $| \begin{matrix} 1 & - 1 \\ z & z i \end{matrix} | = 2$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $| z | =$ .

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14. 社会主义核心价值观是社会主义核心价值体系的高度凝练和集中表达，其基本内容概括为“富强､民主､文明､和谐､自由､平等､公正､法治､爱国､敬业､诚信､友善”.其中“富强､民主､文明､和谐”是国家层面的价值目标，“自由､平等､公正､法治”是社会层面的价值取向，“爱国､敬业､诚信､友善”是公民个人层面的价值准则.现从这12个词语中任选3个，则恰有2个词语反映的是国家层面的价值目标的选法数有种.

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15. 如图是一个正方体截掉部分后得到的几何体的正视图和侧视图(图中每个小正方形的边长为1)，则该几何体的体积的最大值是.

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16. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $x^{2} - y^{2} = 4$ 的两个焦点， $P$ 是双曲线上任意一点，过 $F_{1}$ 作 $∠ F_{1} P F_{2}$ 平分线的垂线，垂足为 $M$ ，则点 $M$ 到直线 $x + y - 3 \sqrt{2} = 0$ 的距离的最大值是.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $c = a \cos B + \frac{\sqrt{3}}{3} b \sin A$ .

(1)、求A；

(2)、若 $B C = 2$ ， $\sin B + \sin C \geq \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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18. 2020年，由于新冠肺炎疫情的影响，2月底学生不能如期到学校上课，某学校决定采用自治区教育网络平台和老师钉钉教学相合的方式进行授课，并制定了相应的网络学习规章制度，学生居家学习.经过一段时间授课，学校教务处对高一学生能否严格遵守学校安排，完成居家学习的情况进行调查，现从高一年级随机抽取了A､B两个班级，并得到如下数据：

	A班	B班	合计
严格遵守	36		57
不能严格遵守
合计	55	60

(1)、补全上面的

2 \times 2

列联表，并且根据调查的数据，判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“学生能严格遵守学校安排，完成居家学习”和学生所在班级有关系；

(2)、网络授课结束后，高一年级1540名学生进行了测试，学生的数学成绩近似服从正态分布

N (95 ， 5^{2})

，若90分以下都算不及格，人数向上取整，问高一年级不及格的学生有多少人，并且估计全年级前两名学生的数学成绩是在多少分以上.

附：参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .

临界值表：

P（K²≥k₀）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

若 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) \approx 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) \approx 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) \approx 0.9974$ .

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19. 如图所示的几何体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为菱形， $A F / / D E$ ， $A F ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D = 1$ ， $D E = 2$ ， $∠ B A D = α$ .

(1)、求证： $B F / /$ 平面 $C D E$ ；

(2)、若 $α = 60 °$ ，求直线 $A E$ 与平面 $C D E$ 所成角的正弦值；

(3)、若 $α = 90 °$ ， $P$ 是 $△ E A C$ 内的一点，求点 $P$ 到平面 $A B C D$ ，平面 $E D A$ ，平面 $E D C$ 的距离的平方和的最小值.

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20. 已知点 $P$ 是平面直角坐标系 $x O y$ 异于 $O$ 的任意一点，过点 $P$ 作直线 $l_{1}$ ： $y = \frac{\sqrt{3}}{2} x$ 及 $l_{2}$ ： $y = - \frac{\sqrt{3}}{2} x$ 的平行线，分别交 $x$ 轴于 $M$ ， $N$ 两点，且 ${| O M |}^{2} + {| O N |}^{2} = 8$ .

(1)、求点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、在 $x$ 轴正半轴上取两点 $A (m ， 0)$ ， $B (n ， 0)$ ，且 $m n = 4$ ，过点 $A$ 作直线 $l$ 与轨迹 $C$ 交于 $E$ ， $F$ 两点，证明： $\sin ∠ E B A = \sin ∠ F B A$ .

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{a x}}{b x}$ 在 $x = 1$ 处取得极值 $e$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若不等式 $k x + \ln x \leq x^{2} f (x) - 1$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点为极点，以 $x$ 轴的正半轴为极轴，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2$ ，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 - t \\ y = - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} t \end{array}$ ( $t$ 为参数).

(1)、求曲线 $C$ 和直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、设点 $P (2 ， - 3 \sqrt{3})$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 有不同的两个交点分别为 $A$ ， $B$ ，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | + 2 | x - 3 |$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值M；

(2)、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = M$ ，证明： $\frac{a^{2}}{a + 1} + \frac{b^{2}}{b + 1} \geq 1$ .

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