四川省遂宁市2021届高三理数三模试卷

试卷更新日期：2021-07-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 3 x \leq 4}$ ， $B = {x | \sqrt{x - 1} < 1}$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $B \subseteq A$ B、 $∁_{U} B = (- \infty ， 0] \cup [2 ， + \infty)$ C、 $- 1 \in A$ 且 $\sqrt{3} \notin B$ D、 $A \cup B = {x | - 1 \leq x < 2}$

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2. 已知 $θ \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $\tan θ = \sqrt{2}$ ，则 $cos 2 θ =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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3. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2 ， 7)$ ， $P (X > 1) = 0.8$ ，则 $P (X \geq 3) =$ （）

A、0.2 B、0.3 C、0.7 D、0.8

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4. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{3} = 8 ， a_{2} + a_{4} = 14$ ，则它的前8项的和 $S_{8} =$ （）

A、70 B、82 C、92 D、105

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5. 已知圆C的圆心为直线 $x + y = 0$ 与 $x - y + 2 = 0$ 的交点，半径为 $\sqrt{2 - m} ，$ 且圆 $C$ 截直线 $x + y + 2 = 0$ 所得弦的长度为4，则实数 $m =$ （）

A、-2 B、-4 C、-6 D、-8

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6. 在递增的数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n + 1}^{2} = a_{n} \cdot a_{n + 2}$ ，若 $a_{1} + a_{m} = 130 ， a_{2} \cdot a_{m - 1} = 256$ ，且前 $m$ 项和 $S_{m} = 170$ ，则 $m =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 将直角三角形､矩形､直角梯形如图一放置，它们围绕固定直线L旋转一周形成几何体，其三视图如图二，则这个几何体的体积是（）
附：柱体的体积公式 $V = S h (S$ 为底面面积， $h$ 为柱体的高)锥体的体积公式 $V = \frac{1}{3} S h (S$ 为底面面积， $h$ 为锥体的高)台体的体积公式 $V = \frac{1}{3} (S_{1} + S_{2} + \sqrt{S_{1} S_{2}}) h (S_{1} ， S_{2}$ 为台体的上､下底面面积， $h$ 为台体的高 $)$

A、 $14 π$ B、 $15 π$ C、 $\frac{46 π}{3}$ D、 $\frac{49 π}{3}$

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8. 设 $F_{1} ， F_{2}$ 为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点，过坐标原点 $O$ 的直线依次与双曲线 $C$ 的左､右支交于 $P ， Q$ 两点，若 $| P Q | = 2 | Q F_{2} | = 2 | O F_{2} |$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $1 + \sqrt{3}$ C、 $2 + \sqrt{3}$ D、 $3 + 2 \sqrt{3}$

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9. 已知函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = - x$ ；若 $a = {0.3}^{- 0.25}$ ， $b = \log_{0.25} 0.3$ ， $c = \log_{0.3} 2.5$ ，则（）

A、 $f (b) < f (a) < f (c)$ B、 $f (c) < f (b) < f (a)$ C、 $f (c) < f (a) < f (b)$ D、 $f (a) < f (b) < f (c)$

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10. 已知在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $a = 2 ， A = \frac{π}{6} .$ 又点 $A ， B ， C$ 都在球 $O$ 的球面上，且点 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离为 $\sqrt{5}$ ，则球 $O$ 的体积为（）

A、 $12 π$ B、 $\frac{63 π}{2}$ C、 $36 π$ D、 $45 π$

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11. 已知 $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形，其中 $M$ 为 $B C$ 边的中点， $∠ A B C$ 的平分线交线段 $A M$ 于点 $N$ ，交 $A C$ 于点 $D$ ，且 $\vec{A M} \cdot \vec{B N} = - (a + b) ($ 其中 $a > 0 ， b > 0)$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为（）

A、 $3 + 2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{3}{2} + \sqrt{2}$ C、 $1 + \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $6 + 4 \sqrt{2}$

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12. 已知函数 $h (x) = (x - 2) e^{x}$ ， $g (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - a x$ ，又当 $h (x) \geq 0$ 时， $h (x) \geq g (x)$ 恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， e^{2}]$ B、 $(- \infty ， e]$ C、 $(0 ， e^{2}]$ D、 $(0 ， e]$

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二、填空题

13. 复数 $z = 1 - i ($ 其中 $i$ 为虚数单位 $)$ ，则 $| z + 3 i | =$ .

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14. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， - 1)$ ，且 $k \vec{b} - \vec{a}$ 与 $\vec{a}$ 垂直，则 $k =$ ．

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15. 在 ${(1 - \sqrt{x})}^{6}$ 的展开式中， $x$ 的系数为(用数字作答)

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16. 已知斜率为 $\sqrt{2}$ 的直线过抛物线 $E ： y^{2} = 2 p x$ ( $p > 0$ )的焦点 $F$ ，与抛物线 $E$ 交于 $A$ ， $B$ 两点(点 $A$ 在点 $B$ 的左侧)，又 $O$ 为坐标原点，点 $C$ 也为抛物线 $E$ 上一点，且 $| A B | = 6$ ， $\vec{O C} = \vec{O A} + λ \vec{O B}$ ，则实数 $λ$ 的值为.

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = \frac{1}{3}$ ， $a_{n} = a_{n + 1} + 2 a_{n} a_{n + 1}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{3^{n}}{a_{n}}$ ，且数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

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18. 某校数学教研组，为更好地提高该校高三学生《圆锥曲线》的选填题的得分率，对学生《圆锥曲线》的选填题的训练运用最新的教育技术做了更好的创新，其学校教务处为了检测其质量指标，从中抽取了100名学生的训练成绩(总分50分)，经统计质量指标得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求所抽取的样本平均数 $\bar{x}$ (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)、将频率视为概率，从该校高三学生中任意抽取4名学生，记这4个学生《圆锥曲线》的选填题的训练的质量指标值位于 $(10 ， 30]$ 内的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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19. 如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面四边形 $A B C D$ 为梯形，点 $O$ 为 $A B$ 上一点，且 $A D = D C = B C = C O = C C_{1} = \frac{1}{2} A B = 2$ ， $A B // C D$ ， $C O = \frac{1}{2} (C A + C B)$ .

(1)、求证： $C_{1} O //$ 平面 $A D A_{1}$ ；

(2)、求二面角 $A_{1} - C O - B_{1}$ 的正弦值.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > 0$ ， $b > 0$ )的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 且与 $x$ 轴垂直的直线与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $△ A O B$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ，点 $P$ 为椭圆 $C$ 的下顶点， $| P F_{2} | = \sqrt{2} | O P |$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、经过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点，求 $| \vec{F M} \cdot \vec{F N} |$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = x \cdot \sin x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{π}{2} ， f (\frac{π}{2}))$ 处的切线方程；

(2)、当 $x \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 时，求证： $f (x) \geq 1 - \cos x$ ；

(3)、求证：当 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ 时，方程 $f (x) - \frac{1}{3} \tan x = 0$ 有且仅有2个实数根.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t + \frac{1}{t} \\ y = \frac{t}{2} - \frac{1}{2 t} \end{array}$ $(t$ 为参数)；以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ sin (θ + \frac{π}{4}) = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、求曲线 $C$ 的极坐标方程和直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、若 $t \neq - 1$ ，求以曲线 $C$ 与 $x$ 轴的交点为圆心，且这个交点到直线 $l$ 的距离为半径的圆的方程.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | + | x + 2 | ∣$

(1)、求不等式 $f (x) \leq 9$ 的解集；

(2)、当 $f (x)$ 取最小值时，求使得 $m x - 2 m = x + 1$ 成立的正实数 $m$ 的取值范围.

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