山西省名校联考2021届高三理数三模试卷

试卷更新日期：2021-07-08 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知复数z满足 $z (\sqrt{3} + 3 i) = 3 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} i$ B、 $- \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} i$ C、 $\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} i$ D、 $- \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} i$

查看试题解析
2. 已知集合 $A = {y | y = \sqrt{9 - x^{2}}}$ ， $B = {x | x^{2} + 3 x - 4 < 0}$ ，则 $A \cup (∁_{R} B) =$ （）

A、 $(- 4 ， 3)$ B、 $(- \infty ， - 4] \cup [0 ， + \infty)$ C、 $(- 4 ， 3]$ D、 $(- \infty ， - 4) \cup (0 ， + \infty)$

查看试题解析
3. 已知△ABC的重心为O ，则向量 $\vec{B O} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ C、 $- \frac{2}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ D、 $- \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$

查看试题解析
4. 某公交公司推出扫码支付乘车优惠活动，活动为期两周，活动的前五天数据如下表：

第 $x$ 天

1

2

3

4

5

使用人数( $y$ )

15

173

457

842

1333

由表中数据可得y关于x的回归方程为 $\hat{y} = 55 x^{2} + m$ ，则据此回归模型相应于点（2，173）的残差为（）

A、-5 B、-6 C、3 D、2

查看试题解析
5. 已知 $a \in R$ ，设函数 $f (x) = a x - \ln x + 1$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线为l ，则l过定点（）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(1 ， 0)$ C、 $(1 ， a + 1)$ D、 $(e ， 1)$

查看试题解析
6. 《九章算术》卷七“盈不足”有这样一段话：“今有良马与驽马发长安至齐.齐去长安三千里.良马初日行一百九十三里，日增十三里.驽马初日行九十七里，日减半里.”意思是：今有良马与驽马从长安出发到齐国.齐国与长安相距3000里.良马第一日走193里，以后逐日增加13里.驽马第一日走97里，以后逐日减少0.5里.则8天后两马之间的距离为（）

A、1055里 B、1146里 C、1510里 D、1692里

查看试题解析
7. 设直线 $l$ 与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 相交于 $A$ ､ $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，若 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 4$ ，则 $△ O A B$ 面积的取值范围是（）

A、 $[2 ， + \infty)$ B、 $[2 \sqrt{2} ， + \infty)$ C、 $[4 ， + \infty)$ D、 $[4 \sqrt{2} ， + \infty)$

查看试题解析
8. 如图，在棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，中， $M$ ， $N$ 分别为棱 $A B$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点，过 $C$ ， $M$ ， $N$ 三点作正方体的截面，则以 $B$ 点为顶点，以该截面为底面的棱锥的体积为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、8 C、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{16 \sqrt{3}}{3}$

查看试题解析
9. 已知函数 $f (x) = \cos x - \sqrt{x}, g (x) = \ln x$ ，用 $\max {a, b}$ 表示a ， b中的最大值，则函数 $h (x) = \max {f (x), g (x)} (x > 0)$ 的零点个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

查看试题解析
10. 如图，双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $A$ ， $B$ 分别在 $E$ 的两条渐近线上， $A F ⊥ x$ 轴， $\vec{A B} \cdot \vec{O B} = 0$ ， $\vec{B F} / / \vec{O A}$ ( $O$ 为坐标原点)，则 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

查看试题解析
11. 分子间作用力存在于分子与分子之间或惰性气体原子之间，在一定条件下两个惰性气体原子接近，则彼此因静电力作用产生极化，从而导致有相互作用力，称为范德瓦尔斯作用．今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U ，且 $U = k_{0} q^{2} (\frac{1}{R} + \frac{1}{R + x_{1} - x_{2}} - \frac{1}{R + x_{1}} - \frac{1}{R - x_{2}})$ ，其中 $k_{0}$ 为静电常量， $x_{1}, x_{2}$ 分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移，且 $x_{1} \cdot x_{2}$ 的绝对值远小于 $R$ ．当x的值接近于0时，在近似计算中 ${(1 + x)}^{- 1} \approx 1 - x + x^{2}$ ，则U的近似值为（）

A、 $- \frac{2 k_{0} q^{2} x_{1} x_{2}}{R^{3}}$ B、 $- \frac{k_{0} q^{2} x_{1} x_{2}}{R^{3}}$ C、 $\frac{k_{0} q^{2} x_{1} x_{2}}{R^{3}}$ D、 $\frac{2 k_{0} q^{2} x_{1} x_{2}}{R^{3}}$

查看试题解析
12. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的五个顶点都在球 $O$ 的球面上， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是高为 $\frac{1}{2}$ 的等腰梯形， $A D / / B C$ ， $A D = P A = 1$ ， $B C = 2$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $10 π$ B、 $4 π$ C、 $5 π$ D、 $6 π$

查看试题解析

二、填空题

13. $(1 + x) {(1 + 2 x)}^{7}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为.

查看试题解析
14. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{n} > 0$ ， $a_{1} + a_{3} = \frac{5}{2}$ ， $\frac{S_{3}}{a_{3}} = 7$ ，则 $a_{2} + a_{4} =$ .

查看试题解析
15. 已知 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - 2 y \leq 0 \\ x + y - 3 \geq 0 \\ y - 2 \leq 0 \end{array}$ .当且仅当 $x = 2$ ， $y = 1$ 时， ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2}$ 取得最小值，其中 $a \geq 0$ ， $b \geq 0$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最大值为.

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = x^{2} + a x (a \in R)$ .对于不相等的正实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，设 $m = \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ ， $n = \frac{g (x_{1}) - g (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ ，现有如下命题：
①对于任意不相等的正实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $m > 0$ ；

②对于任意的a及任意不相等的正实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $n > 0$ ；

③对于任意的a，存在不相等的正实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，使得 $m = n$ ；

④对于任意的a，存在不相等的正实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，使得 $m = - n$ .

其中真命题有(写出所有真命题的序号).

查看试题解析

三、解答题

17. 如图，平面四边形 $A B C D$ 内接于一个圆，且 $A B = 5$ ， $B D = 3 \sqrt{5}$ ， $A$ 为钝角， $\sin A = \frac{3}{5}$ .

(1)、求 $\cos ∠ A D B$ ；

(2)、若 $B C = 5$ ，求 $△ B C D$ 的面积.

查看试题解析
18. 如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 4$ ， $A A_{1} = 3 \sqrt{2}$ ， $M$ ， $N$ 分别是棱 $A_{1} C_{1}$ ， $A C$ 的中点， $E$ 在侧棱 $A A_{1}$ 上，且 $A_{1} E = 2 E A$ .

(1)、求证：平面 $M E B ⊥$ 平面 $B E N$ ；

(2)、求平面 $B E N$ 与平面 $B C M$ 所成的锐二面角的余弦值.

查看试题解析
19. 2021年是中国共产党百年华诞.中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2021年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一项是结合巩固深化“不忘初心､牢记使命”主题教育成果，在全体党员中开展党史学习教育.这次学习教育贯穿2021年全年，总的要求是学史明理､学史增信､学史崇德､学史力行，教育引导党员干部学党史､悟思想､办实事，开新局.为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加人员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为 $ξ$ ，试求随机变量 $ξ$ 的分布列及期望；

(2)、由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数 $X$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均数， $σ^{2}$ 近似为样本方差 $s^{2}$ ，经计算 $s^{2} = 192.44$ .现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少？
参考数据： $\sqrt{192.44} \approx 13.9$ ， $P (μ - σ < X ⩽ μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X ⩽ μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < X ⩽ μ + 3 σ) = 0.9974$ .

查看试题解析
20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $A$ ， $B$ 分别为 $C$ 的右顶点和上顶点，若 $△ A B F_{1}$ 的面积是 $△ A B F_{2}$ 的面积的3倍，且 $\vec{F_{1} A} \cdot \vec{F_{1} B} = 3$ .

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、若过点 $(\frac{2}{3} ， 0)$ 且斜率不为0的直线与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，点 $P$ 在直线 $x = 6$ 上，且 $N P$ 与 $x$ 轴平行，求证：直线 $M P$ 恒过定点.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ 有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ .

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、证明： $x_{2} - x_{1} < \frac{2}{x_{1}} - 2$ .

查看试题解析
22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线 $C_{1} ： x^{2} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} - 8 ρ \cos θ + 15 = 0$ ．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的参数方程与 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、设点A ， B分别为曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 上的动点，求 $| A B |$ 的取值范围．

查看试题解析
23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - m | + 2 | x + 3 m |$ ．

(1)、若 $m = \frac{1}{2}$ ，试求不等式 $f (x) ⩽ 8$ 的解集；

(2)、若 $f (x) ⩾ 7$ 恒成立，求实数m的取值范围．

查看试题解析

第 $x$ 天	1	2	3	4	5
使用人数( $y$ )	15	173	457	842	1333