山东省泰安市2021届高三数学考前冲刺卷试卷

试卷更新日期：2021-07-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 集合 $A = {0 ， - 1 ， a^{2}} ， B = {- 2 ， a^{4}} .$ 若 $A \cup B = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 4 ， 16}$ ，则 $a =$ （）

A、±1 B、±2 C、±3 D、±4

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2. 若 $z = 1 - i$ ，则 $\frac{2}{z} - z^{2} =$ （）

A、 $1 + 3 i$ B、 $1 - 3 i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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3. 设函数 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = \lg (3 x + 1) - 1$ ，则不等式 $f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 3, 0) \cup (3, + \infty)$ B、 $(3, + \infty)$ C、 $(- 3, 3)$ D、 $(- \infty, - 3) \cup (3, + \infty)$

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4. 某工厂生产一批医疗器械的零件，每件零件生产成型后，得到合格零件的概率为0.7，得到的不合格零件可以进行一次技术精加工，技术精加工后得到合格零件的概率是0.3，而此时得到的不合格零件将不能再加工，只能成为废品，则生产时得到合格零件的概率是（）

A、0.49 B、0.73 C、0.79 D、0.91

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5. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式： $C = W \log_{2} (1 + \frac{S}{N})$ .它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中 $\frac{S}{N}$ 叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式，若带宽W增大到原来的1.1倍，信噪比 $\frac{S}{N}$ 从1000提升到16000，则C大约增加了(附： $\lg 2 \approx 0.3$ )（）

A、21% B、32% C、43% D、54%

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6. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们研究过图1中的1，3，6，10，…，这样的数称为三角形数；类似地，图2中的1，4，9，16，…，这样的数称为正方形数；图3中的1，5，15，30，…，这样的数称为正五边形数.那么正五边形数的第2021项小石子数是（）

A、5×1010×2021 B、5×1010×1011 C、5×1011×2021 D、5×1011×2020

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7. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.例如，堑堵指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ，若 $A A_{1} = \sqrt{2} ， A B = 2$ ，当阳马 $B - A_{1} A C C_{1}$ 的体积最大时，堑堵 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中异面直线 $A_{1} C ， A B$ 所成角的大小是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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8. 已知拋物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上有两点 $A ， B ， O$ 为坐标原点，以 $O A ， O B$ 为邻边的四边形为矩形，且点 $O$ 到直线 $A B$ 距离的最大值为4，则 $p =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、多选题

9. 双十一是指由电子商务为代表的，在全中国范围内兴起的大型购物促销狂欢节，已知某一家具旗舰店近五年双十一的成交额如下表：

年份	2016	2017	2018	2019	2020
时间代号 $t$	1	2	3	4	5
成交额 $y$ (万元)	50	60	70	80	100

若 $y$ 关于 $t$ 的回片方程为 $\hat{y} = 12 t + \hat{a}$ ，则（）

A、

\hat{a} = 26

B、预计2021年双十一该家具旗舰店的成交额是108万元 C、

\hat{a} = 36

D、预计2021年双十一该家具旗舰店的成交额是120万元

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10. 下列关于函数 $y = tan (2 x + \frac{π}{3})$ 的说法正确的是（）

A、在区间 $(- \frac{5 π}{12} ， \frac{π}{12})$ 上单调递增 B、最小正周期是 $π$ C、图象关于点 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 成中心对称 D、图象关于直线 $x = - \frac{5 π}{12}$ 对称

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11. 如图，在直角三角形 $A B C$ 中， $A = 90^{\circ} ， | A B | = \sqrt{5} ， | A C | = 2 \sqrt{5}$ ，点 $P$ 在以 $A$ 为圆心且与边 $B C$ 相切的圆上，则（）

A、点 $P$ 所在圆的半径为2 B、点 $P$ 所在圆的半径为1 C、 $\vec{P B} \cdot \vec{P C}$ 的最大值为14 D、 $\vec{P B} \cdot \vec{P C}$ 的最大值为16

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12. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a + 2 b = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $5^{a} + 25^{b} ⩾ 15$ B、 $\frac{4}{a} + \frac{1}{2 b^{2}} ⩾ 6$ C、 $b + \sqrt{a^{2} + b^{2}} ⩾ \frac{8}{5}$ D、 $b ln a^{2} + a ln (2 b) ⩽ 0$

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三、填空题

13. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右顶点到其一条渐近线的距离为 $\frac{a}{2}$ ，则 $C$ 的离心率是.

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14. 如图，一个有盖圆柱形铁桶的底面直径为 $4 \sqrt{3}$ ，高为8，铁桶盖的最大张角为 $60^{\circ}$ ，往铁桶内塞入一个木球，则该木球的最大表面积为.

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15. 已知有5男5女共10名记者参加2021年的两会新闻报道，现从中选取8人分配到A ， B两个组，每个组4人，其中A组的4人中，要求女性的人数多于男性，B组的4人中，要求至少有1名女性，则不同的分配方法数为.

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16. 在一个三角形 $A B C$ 中，到三个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点，经证明它也满足 $∠ A P B = ∠ B P C = ∠ C P A = 120^{\circ}$ ，因此费马点也称为三角形的等角中心，如图，在 $△ A B C$ 外作等边 $△ A C D$ ，再作 $△ A C D$ 的外接圆，则外接圆与线段 $B D$ 的交点 $P$ 即为费马点.若 $A B = 1 ， B C = 2 ， ∠ C A B = 90^{\circ}$ ，则 $P A + P B + P C =$ .

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四、解答题

17. 在① $S_{n} = n a_{n + 1} - n^{2} - n$ ，② $a_{n} a_{n + 1} - (2 n + 1) a_{n + 1} + 2 n a_{n} - 2 n (2 n + 1) = 0$ ，③ $a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2} = 8 (n + 1)$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答
问题：设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， a_{n} > 0 ， a_{1} = 3$ ，且 ▲ ， $b_{n} = \frac{1}{(a_{n} - 1) (a_{n} + 1)}$ ， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} .$

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $a sin B = (b sin B - \sqrt{3} b cos B) cos C$ ， $b = 3 ， B \neq \frac{π}{2}$

(1)、若 $a = 5$ ，求 $c$ ；

(2)、若 $A B$ 边上的中线长为 $\frac{7}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C ， A C ⊥ B C ， A C = B C = C C_{1} = 4.$

(1)、证明：平面 $A_{1} B C ⊥$ 平面 $A B_{1} C_{1}$ ；

(2)、若 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $A B_{1} C_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，求二面角 $A_{1} - A C - B_{1}$ 的余弦值.

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20. 扶贫期间，扶贫工作组从A地到B地修建了公路，脱贫后，为了了解A地到B地的公路的交通通行状况，工作组调查了从A地到B地行经该公路的各种类别的机动车共4000辆，汇总行车速度后作出如图所示的频率分布直方图.

(1)、试根据频率分布直方图，求样本中的这4000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；

(2)、若由频率分布直方图可大致认为，该公路上机动车的行车速度 $Z$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ$ ， $σ^{2}$ 分别取调查样本中4000辆机动车的平均车速和车速的方差 $s^{2} (s^{2} = 204.75)$ ，请估计样本中这4000辆机动车车速不低于84.8千米/时的车辆数(精确到个位)；

(3)、如果用该样本中4000辆机动车的速度情况，来估计经A地到B地的该公路上所有机动车的速度情况，现从经过该公路的机动车中随机抽取4辆，设车速低于84.8千米/时的车辆数为 $ξ$ ，求 $P (ξ \leq 3)$ (精确到0.001).
附：随机变量： $ξ ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < ξ \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < ξ \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ， $\sqrt{204.75} \approx 14.3 ， {0.84135}^{4} \approx 0.501$ .

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $e$ ，椭圆 $C$ 上一点 $P$ 到它的左､右焦点 $F_{1} ， F_{2}$ 的距离之和为4，且 $2 a = 2 e + b^{2} .$

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A ， B$ 两点，求 $△ F_{1} A B$ 面积的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} + x + sin x - a ln (x + 1) .$

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $f (x)$ 图象在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a > 0$ 且 $a \neq 2$ 时，证明 $： f (x)$ 有且仅有两个零点.

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