2021年高考数学真题试卷（天津卷）

试卷更新日期：2021-07-08 类型：高考真卷

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一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1} ， B = {1 ， 3 ， 5} ， C = {0 ， 2 ， 4}$ ，则 $(A \cap B) \cup C =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${0 ， 1 ， 3 ， 5}$ C、 ${0 ， 1 ， 2 ， 4}$ D、 ${0 ， 2 ， 3 ， 4}$

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2. 已知 $a \in R$ ，则“ $a > 6$ ”是“ $a^{2} > 36$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不允分也不必要条件

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3. 函数 $y = \frac{\ln | x |}{x^{2} + 2}$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 从某网格平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分分数据，将所得400个评分数据分为8组： $[66 ， 70) ， [70 ， 74) ， \dots ， [94 ， 98]$ ，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间 $[82 ， 86)$ 内的影视作品数量是（）

A、20 B、40 C、64 D、80

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5. 设 $a = \log_{2} 0.3 ， b = \log_{\frac{1}{2}} 0.4 ， c = {0.4}^{0.3}$ ，则a ， b ， c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $a < c < b$

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6. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 $\frac{32 π}{3}$ ，两个圆锥的高之比为 $1 ： 3$ ，则这两个圆锥的体积之和为（）

A、 $3 π$ B、 $4 π$ C、 $9 π$ D、 $12 π$

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7. 若 $2^{a} = 5^{b} = 10$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} =$ （）

A、-1 B、 $\lg 7$ C、1 D、 $\log_{7} 10$

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8. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ， B两点，交双曲钱的渐近线于C、D两点，若 $| C D | = \sqrt{2} | A B |$ ．则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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9. 设 $a \in R$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \cos (2 π x - 2 π a) . & x < a \\ x^{2} - 2 (a + 1) x + a^{2} + 5 ， & x \geq a \end{array}$ ，若 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 内恰有6个零点，则a的取值范围是（）

A、 $(2 ， \frac{9}{4}] \cup (\frac{5}{2} ， \frac{11}{4}]$ B、 $(\frac{7}{4} ， 2) \cup (\frac{5}{2} ， \frac{11}{4})$ C、 $(2 ， \frac{9}{4}] \cup [\frac{11}{4} ， 3)$ D、 $(\frac{7}{4} ， 2) \cup [\frac{11}{4} ， 3)$ .

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二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．

10. i是虚数单位，复数 $\frac{9 + 2 i}{2 + i} =$ ．

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11. 在 ${(2 x^{3} + \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中， $x^{6}$ 的系数是．

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12. 若斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线与y轴交于点A ，与圆 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 相切于点B ，则 $| A B | =$ ．

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13. 若 $a > 0 ， b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{a}{b^{2}} + b$ 的最小值为．

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14. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 $\frac{5}{6}$ 和 $\frac{1}{5}$ ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为， 3次活动中，甲至少获胜2次的概率为．

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15. 在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， $D E ⊥ A B$ 且交AB于点E ． $D F // A B$ 且交AC于点F ，则 $| 2 \vec{B E} + \vec{D F} |$ 的值为； $(\vec{D E} + \vec{D F}) \cdot \vec{D A}$ 的最小值为．

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三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤．

16. 在 $△ A B C$ ，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\sin A ： \sin B ： \sin C = 2 ： 1 ： \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{2}$ ．

(1)、求a的值；

(2)、求 $\cos C$ 的值；

(3)、求 $\sin (2 C - \frac{π}{6})$ 的值．

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17. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．

(1)、求证： $D_{1} F / /$ 平面 $A_{1} E C_{1}$ ；

(2)、求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} E C_{1}$ 所成角的正正弦值．

(3)、求二面角 $A - A_{1} C_{1} - E$ 的正弦值．

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18. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，且 $| B F | = \sqrt{5}$ ．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、直线l与椭圆有唯一的公共点M ，与y轴的正半轴交于点N ，过N与BF垂直的直线交x轴于点P ．若 $M P // B F$ ，求直线l的方程．

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19. 已知 ${a_{n}}$ 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． ${b_{n}}$ 是公比大于0的等比数列， $b_{1} = 4 ， b_{3} - b_{2} = 48$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $c_{n} = b_{2 n} + \frac{1}{b_{n}} ， n \in N^{*}$ .
（i）证明 ${c_{n}^{2} - c_{2 n}}$ 是等比数列；

（ii）证明 $\sum_{k = 1}^{n} \sqrt{\frac{a_{k} a_{k + 1}}{c_{k}^{2} - c_{2 k}}} < 2 \sqrt{2} (n \in N^{*})$

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20. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = a x - x e^{x}$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程：

(2)、证明 $f (x)$ 存在唯一的极值点

(3)、若存在a ，使得 $f (x) \leq a + b$ 对任意 $x \in R$ 成立，求实数b的取值范围．

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