全国历年中考数学真题精选汇编：二次函数2

试卷更新日期：2021-07-08 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a ， b ， c$ 是常数， $a \neq 0 ， c > 1$ ）经过点 $(2 ， 0)$ ，其对称轴是直线 $x = \frac{1}{2}$ ．有下列结论：
① $a b c > 0$ ；②关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = a$ 有两个不等的实数根；③ $a < - \frac{1}{2}$ ．其中，正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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2. 已知抛物线y=x²﹣4x+3与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为M．平移该抛物线，使点M平移后的对应点M'落在x轴上，点B平移后的对应点B'落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为（）

A、y=x²+2x+1 B、y=x²+2x﹣1 C、y=x²﹣2x+1 D、y=x²﹣2x﹣1

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3. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $∠ A = 45 °$ ， $∠ C = 90 °$ ， $A D = 4 cm$ ， $C D = 3 cm$ .动点M，N同时从点A出发，点M以 $\sqrt{2} cm / s$ 的速度沿 $A B$ 向终点B运动，点N以 $2cm / s$ 的速度沿折线 $A D - D C$ 向终点C运动.设点N的运动时间为 $t s$ ， $△ A M N$ 的面积为 $S {cm}^{2}$ ，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：
①ac＜0；

②4a﹣2b+c＞0；

③当x＞2时，y随x的增大而增大；

④关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0有两个不相等的实数根．

其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 如图是二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为 $x = \frac{1}{2}$ ，且经过点（2，0). 下列说法：①abc<0；②－2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若 $(- \frac{5}{2} ， y_{1})$ ， $(\frac{5}{2} ， y_{2})$ 是抛物线上的两点，则y₁<y₂；⑤ $\frac{1}{4}$ b>m(am+b) (其中m≠ $\frac{1}{2}$ )．其中说法正确的是（）

A、①②④⑤ B、①②④ C、①④⑤ D、③④⑤

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6. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点 $B (4 ， 0)$ ，则下列结论中：① $a b c > 0$ ；② $4 a + b > 0$ ；③ $M (x_{1} ， y_{1})$ 与 $N (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线上两点，若 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ ；④若抛物线的对称轴是直线 $x = 3$ ，m为任意实数，则 $a (m - 3) (m + 3) ⩽ b (3 - m)$ ；⑤若 $A B \geq 3$ ，则 $4 b + 3 c > 0$ ，正确的个数是（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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7. 如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y₁），若点D（x₂ ， y₂）是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数y=ax²+bx+c的最小值为﹣4a；②若﹣1≤x₂≤4，则0≤y₂≤5a；③若y₂＞y₁ ，则x₂＞4；④一元二次方程cx²+bx+a=0的两个根为﹣1和 $\frac{1}{3}$ 其中正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ $(a \neq 0)$ 与 $x$ 轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P₁（ $x_{1}$ ， $y_{1}$ ），P₂（ $x_{2}$ ， $y_{2}$ ）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P₁AB的面积为S₁ ， △P₂AB的面积为S₂。有下列结论：①当 $x_{1} > x_{2} + 2$ 时，S₁>S₂；②当 $x_{1} < 2 - x_{2}$ 时，S₁<S₂；③当 $| x_{1} - 2 | > | x_{2} - 2 | > 1$ 时，S₁>S₂；④当 $| x_{1} - 2 | > | x_{2} + 2 | > 1$ 时，S₁<S₂。其中正确结论的个数是

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ (a>0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x=-1.则下列选项中正确的是（）

A、 $a b c < 0$ B、 $4 a c - b^{2} > 0$ C、 $c - a > 0$ D、当 $x = - n^{2} - 2$ (n为实数)时， $y \geq c$

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二、填空题

10. 对任意实数 $a$ ，若多项式 $2 b^{2} ﹣ 5 a b + 3 a^{2}$ 的值总大于 $﹣ 3$ ，则实数 $b$ 的取值范围是．

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三、解答题

11. 已知抛物线y＝x²﹣bx+c（b ， c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m ， 0）是x轴正半轴上的动点．
（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；

（Ⅱ）点D（b ， y_D）在抛物线上，当AM＝AD ， m＝5时，求b的值；

（Ⅲ）点Q（b+ $\frac{1}{2}$ ，y_Q）在抛物线上，当 $\sqrt{2}$ AM+2QM的最小值为 $\frac{33 \sqrt{2}}{4}$ 时，求b的值．

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四、综合题

12. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $M (x_{1} ， y_{1}) ， N (x_{2} ， y_{2})$ 为抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 上任意两点，其中 $x_{1} < x_{2}$ ．

(1)、若抛物线的对称轴为 $x = 1$ ，当 $x_{1} ， x_{2}$ 为何值时， $y_{1} = y_{2} = c ；$

(2)、设抛物线的对称轴为 $x = t$ ．若对于 $x_{1} + x_{2} > 3$ ，都有 $y_{1} < y_{2}$ ，求t的取值范围．

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13. 如图， $Q$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 与弦 $A B$ 所围成的图形的内部的一定点， $P$ 是弦 $A B$ 上一动点，连接 $P Q$ 并延长交 $\overset{⌢}{A B}$ 于点 $C$ ，连接 $A C$ ．已知 $A B = 6 cm$ ，设 $A$ ， $P$ 两点间的距离为 $x$ $cm$ ， $P$ ， $C$ 两点间的距离为 $y_{1} cm$ ， $A$ ， $C$ 两点间的距离为 $y_{2} cm$ ．
小腾根据学习函数的经验，分别对函数 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 随自变量 $x$ 的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：

(1)、按照下表中自变量 $x$ 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 与 $x$ 的几组对应值；
$x / cm$
0
1
2
3
4
5
6
$y_{1} / cm$
$5.62$
$4.67$
$3.76$
$2.65$
$3.18$
$4.37$
$y_{2} / cm$
$5.62$
$5.59$
$5.53$
$5.42$
$5.19$
$4.73$
$4.11$

(2)、在同一平面直角坐标系 $x O y$ 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（ $x$ ， $y_{1}$ ），（ $x$ ， $y_{2}$ ），并画出函数 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的图象；

(3)、结合函数图象，解决问题：当 $△ A P C$ 为等腰三角形时， $A P$ 的长度约为 $cm$ ．

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14. 综合与探究
如图，抛物线y= $\frac{1}{3} x^{2} - \frac{1}{3} x - 4$ 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于点E，交BC于点F．

(1)、求A，B，C三点的坐标

(2)、试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．

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15.
如图所示，抛物线y=ax²﹣ $\frac{3}{2}$ x+c经过原点O与点A（6，0）两点，过点A作AC⊥x轴，交直线y=2x﹣2于点C，且直线y=2x﹣2与x轴交于点D．

(1)、求抛物线的解析式，并求出点C和点D的坐标；

(2)、求点A关于直线y=2x﹣2的对称点A′的坐标，并判断点A′是否在抛物线上，并说明理由；

(3)、点P（x，y）是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点Q，设线段PQ的长为l，求l与x的函数关系式及l的最大值．

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16. 已知二次函数y=ax²﹣2ax+c（a＜0）的最大值为4，且抛物线过点（ $\frac{7}{2}$ ，﹣ $\frac{9}{4}$ ），点P（t，0）是x轴上的动点，抛物线与y轴交点为C，顶点为D．

(1)、求该二次函数的解析式，及顶点D的坐标；

(2)、求|PC﹣PD|的最大值及对应的点P的坐标；

(3)、设Q（0，2t）是y轴上的动点，若线段PQ与函数y=a|x|²﹣2a|x|+c的图象只有一个公共点，求t的取值．

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17. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + \frac{9}{4} x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴相交于点 $A (- 1 ， 0)$ 和点 $B$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C (0 ， 3)$ ，作直线 $B C$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在直线 $B C$ 上方的抛物线上存在点 $D$ ，使 $∠ D C B = 2 ∠ A B C$ ，求点 $D$ 的坐标；

(3)、在（2）的条件下，点 $F$ 的坐标为 $(0 ， \frac{7}{2})$ ，点 $M$ 在抛物线上，点 $N$ 在直线 $B C$ 上，当以 $D ， F ， M ， N$ 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点 $N$ 的坐标.

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18. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - \frac{1}{3} x^{2} + b x + c$ 交x轴于 $A (- 3 ， 0) ， B (4 ， 0)$ 两点，交y轴于点C.

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、如图，直线 $y = \frac{3}{4} x + \frac{9}{4}$ 与抛物线交于A，D两点，与直线 $B C$ 于点E.若 $M (m ， 0)$ 是线段 $A B$ 上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线 $A D$ 于点G，交直线 $B C$ 于点H.
①当点F在直线 $A D$ 上方的抛物线上，且 $S_{△ E F G} = \frac{5}{9} S_{△ O E G}$ 时，求m的值；

②在平面内是否在点P，使四边形 $E F H P$ 为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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19. 如图，二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象交x轴于点 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ，交y轴于点C.点 $P (m ， 0)$ 是x轴上的一动点， $P M ⊥ x$ 轴，交直线 $A C$ 于点M，交抛物线于点N.

(1)、求这个二次函数的表达式；

(2)、①若点P仅在线段 $A O$ 上运动，如图1.求线段 $M N$ 的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形.若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

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20. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点， $A$ 点坐标为 $(- 2 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， 4)$ ，直线 $y = - \frac{1}{2} x + m$ 与抛物线交于 $B$ ， $D$ 两点.

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、求 $m$ 的值和 $D$ 点坐标；

(3)、点 $P$ 是直线 $B D$ 上方抛物线上的动点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $H$ ，交直线 $B D$ 于点 $F$ ，过点 $D$ 作 $x$ 轴的平行线，交 $P H$ 于点 $N$ ，当 $N$ 是线段 $P F$ 的三等分点时，求 $P$ 点坐标；

(4)、如图2， $Q$ 是 $x$ 轴上一点，其坐标为 $(- \frac{4}{5} ， 0)$ ，动点 $M$ 从 $A$ 出发，沿 $x$ 轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设 $M$ 的运动时间为 $t$ （ $t > 0$ ），连接 $A D$ ，过 $M$ 作 $M G ⊥ A D$ 于点 $G$ ，以 $M G$ 所在直线为对称轴，线段 $A Q$ 经轴对称变换后的图形为 $A^{'} Q^{'}$ ，点 $M$ 在运动过程中，线段 $A^{'} Q^{'}$ 的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段 $A^{'} Q^{'}$ 与抛物线有公共点时 $t$ 的取值范围.

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21. 如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线 $x = - 1$ ，点C坐标为 $（ 0 ， 4 ）$ .

(1)、求抛物线表达式；

(2)、在抛物线上是否存在点P，使 $∠ A B P = ∠ B C O$ ，如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由；

(3)、在（2）的条件下，若点P在x轴上方，点M是直线BP上方抛物线上的一个动点，求点M到直线BP的最大距离；

(4)、点G是线段AC上的动点，点H是线段BC上的动点，点Q是线段AB上的动点，三个动点都不与点 $A ， B ， C$ 重合，连接 $G H ， G Q ， H Q$ ，得到 $△ G H Q$ ，直接写出 $△ G H Q$ 周长的最小值.

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22. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点P为直线CD上的一个动点，连接BC；
①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标.

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23. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过点 $B (6 ， 0)$ 和点 $C (0 ， - 3)$ ，

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、如图，线段 $O C$ 绕原点O逆时针旋转30°得到线段 $O D$ .过点 $B$ 作射线 $B D$ ，点M是射线 $B D$ 上一点(不与点B重合)，点M关于x轴的对称点为点N，连接 $N M ， N B$

①请直接写出 $△ M B N$ 的形状为_▲_.

②设 $Δ M B N$ 的面积为 $S_{1} ， △ O D B$ 的面积为是 $S_{2}$ ，当 $S_{1} = \frac{2}{3} S_{2}$ 时，求点M的坐标；

(3)、如图，在（2）的结论下，过点B作 $B E ⊥ B N$ ，交 $N M$ 的延长线于点E，线段 $B E$ 绕点B逆时针旋转，旋转角为 $α (0^{°} < α < 120^{°})$ 得到线段 $B F$ ，过点F作 $F K // x$ 轴，交射线 $B E$ 于点K， $∠ K B F$ 的角平分线和 $∠ K F B$ 的角平分线相交于点G，当 $B G = 2 \sqrt{3}$ 时，请直接写出点G的坐标为.

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24. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2 (a \neq 0)$ 经过点 $A (- 2 ， - 4)$ 和点 $C (2 ， 0)$ ，与y轴交于点D，与x轴的另一交点为点B.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，连接 $B D$ ，在抛物线上是否存在点P，使得 $∠ P B C = 2 ∠ B D O$ ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、如图2，连接 $A C$ ，交y轴于点E，点M是线段 $A D$ 上的动点（不与点A，点D重合），将 $△ C M E$ 沿 $M E$ 所在直线翻折，得到 $△ F M E$ ，当 $△ F M E$ 与 $△ A M E$ 重叠部分的面积是 $△ A M C$ 面积的 $\frac{1}{4}$ 时，请直接写出线段 $A M$ 的长.

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25. 如图，抛物线y=ax²+bx+2交x轴于点A(-3，0)和点B(1，0)，交y轴于点C.

(1)、求这个抛物线的函数表达式.

(2)、点D的坐标为(-1，0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值.

(3)、点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

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26. 在平面直角坐标系中，函数 $y = x^{2} - 2 a x - 1$ （ $a$ 为常数）的图象与y轴交于点A．

(1)、求点A的坐标．

(2)、当此函数图象经过点 $(1 ， 2)$ 时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．

(3)、当 $x \leq 0$ 时，若函数 $y = x^{2} - 2 a x - 1$ （a为常数）的图象的最低点到直线 $y = 2 a$ 的距离为2，求a的值．

(4)、设 $a < 0$ ， $R t △ E F G$ 三个顶点的坐标分别为 $E (- 1 ， - 1)$ 、 $F (- 1 ， a - 1)$ 、 $G (0 ， a - 1)$ ．当函数 $y = x^{2} - 2 a x - 1$ （ $a$ 为常数）的图象与 $△ E F G$ 的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 $P^{'}$ （ $P^{'}$ 与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 $A^{'}$ ．若 $A A^{'} = 2 P P^{'}$ ，直接写出a的值．

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27. 已知函数y= ${\begin{cases} x^{2} + n x + n ， (x \geq n) \\ - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{n}{2} x + \frac{n}{2} ， (x < n) \end{cases}$ （n为常数）

(1)、当n=5，
①点P(4，b)在此函数图象上，求b的值

②求此函数的最大值

(2)、已知线段AB的两个端点坐标分别为4(2，2)、B(4，2)，当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围.

(3)、当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时，求n的取值范围.

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28. 《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：

(1)、【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）²﹣ $\frac{4}{3}$ 经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a= ．

(2)、【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．

(3)、【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围．

(4)、【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．

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29. 已知抛物线y=ax²+bx+3的对称轴为直线x= $\frac{1}{2}$ ，交x轴于点A、B，交y轴于点C，且点A坐标为A(-2，0)，直线y=-mx-n(m>0)与抛物线交于点P、Q(点P在点Q的右边)，交y轴于点H

(1)、求该抛物线的解析式

(2)、若n=5，且△CPQ的面积为3，求m的值

(3)、当m≠1时，若n=-3m，直线AQ交y轴于点K.设△PQK的面积为S，求S与m之间的函数解析式。

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30. 如图，二次函数 $y = x^{2} - (m + 1) x + m$ （ $m$ 是实数，且 $- 1 < m < 0$ ）的图象与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），其对称轴与 $x$ 轴交于点 $C$ ，已知点 $D$ 位于第一象限，且在对称轴上， $O D ⊥ B D$ ，点 $E$ 在 $x$ 轴的正半轴上， $O C = E C$ .连接 $E D$ 并延长交 $y$ 轴于点 $F$ ，连接 $A F$ .

(1)、求 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点的坐标（用数字或含 $m$ 的式子表示）；

(2)、已知点 $Q$ 在抛物线的对称轴上，当 $△ A F Q$ 的周长的最小值等于 $\frac{12}{5}$ ，求 $m$ 的值.

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31. 甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：

甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车.另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元.

乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元.

说明：①汽车数量为整数；

②月利润=月租车费-月维护费；

③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润.

在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：

(1)、当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是元；当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等；

(2)、求两公司月利润差的最大值；

(3)、甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元

(a > 0)

给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围.

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32. 如图，在平面直角坐标系中，函数 $y = - a x^{2} + 2 a x + 3 a$ $(a > 0)$ 的图像交 $x$ 轴于点 $A$ 、 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，它的对称轴交 $x$ 轴于点 $E$ .过点 $C$ 作 $C D / / x$ 轴交抛物线于点 $D$ ，连接 $D E$ 并延长交 $y$ 轴于点 $F$ ，交抛物线于点 $G$ .直线 $A F$ 交 $C D$ 于点 $H$ ，交抛物线于点 $K$ ，连接 $H E$ 、 $G K$ .

备用图

(1)、点 $E$ 的坐标为：；

(2)、当 $Δ H E F$ 是直角三角形时，求 $a$ 的值；

(3)、 $H E$ 与 $G K$ 有怎样的位置关系？请说明理由.

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33. 如图，二次函数 $y_{1} = a {(x - m)}^{2} + n$ 、 $y_{2} = 6 a x^{2} + n$ $(a < 0 ， m > 0 ， n > 0)$ 的图像分别为 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ ， $C_{1}$ 交 $y$ 轴于点 $P$ ，点 $A$ 在 $C_{1}$ 上，且位于 $y$ 轴右侧，直线 $P A$ 与 $C_{2}$ 在 $y$ 轴左侧的交点为 $B$ .

(1)、若 $P$ 点的坐标为 $(0 ， 2)$ ， $C_{1}$ 的顶点坐标为 $(2 ， 4)$ ，求 $a$ 的值；

(2)、设直线 $P A$ 与 $y$ 轴所夹的角为 $α$ .
①当 $α = 45 °$ ，且 $A$ 为 $C_{1}$ 的顶点时，求 $a m$ 的值；

②若 $α = 90 °$ ，试说明：当 $a$ 、 $m$ 、 $n$ 各自取不同的值时， $\frac{P A}{P B}$ 的值不变；

(3)、若 $P A = 2 P B$ ，试判断点 $A$ 是否为 $C_{1}$ 的顶点？请说明理由.

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34. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + 3$ 的图象与x轴交于A(2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，顶点为E.

(1)、求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；

(2)、如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；

(3)、如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标.

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35. 已知抛物线y＝ax²+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y₁），C（5n+6，y₂）三点，对称轴是直线x＝1.关于x的方程ax²+bx+c＝x有两个相等的实数根.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若n＜﹣5，试比较y₁与y₂的大小；

(3)、若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y₁＞y₂ ，求n的取值范围.

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36. 有一块矩形地块 $A B C D$ ， $A B = 20$ 米， $B C = 30$ 米，为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形 $A B C D$ 分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米.现决定在等腰梯形 $A E H D$ 和 $B C G F$ 中种植甲种花卉；在等腰梯形 $A B F E$ 和 $C D H G$ 中种植乙种花卉；在矩形 $E F G H$ 中种植丙种花卉.甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米 $^{2}$ 、60 元/米 $^{2}$ 、40元/米 $^{2}$ ，设三种花卉的种植总成本为y元.

(1)、当 $x = 5$ 时，求种植总成本y；

(2)、求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

(3)、若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米 $^{2}$ ，求三种花卉的最低种植总成本.

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37. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为 $(5，0)$ ，点D的坐标为 $(1，3)$ .

(1)、求该二次函数的表达式；

(2)、点E是线段BD上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且 $E D = E F$ ，求点E的坐标.

(3)、试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得 $Δ A D G$ 的面积是 $Δ B D G$ 的面积的 $\frac{3}{5}$ ？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.

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38. 已知：二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 3 a + 2$ (a为常数).

(1)、请写出该二次函数图象的三条性质；

(2)、在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在 $x \leq 4$ 的部分与一次函数 $y = 2 x - 1$ 的图象有两个交点，求 $a$ 的取值范围.

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39. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L₁： $y = x^{2} + b x + c$ 过点C(0，﹣3)，与抛物线L₂： $y = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x + 2$ 的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L₁、抛物线L₂上的动点.

(1)、求抛物线L₁对应的函数表达式；

(2)、若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；

(3)、设点R为抛物线L₁上另一个动点，且CA平分∠PCR，若OQ∥PR，求出点Q的坐标.

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40. 已知二次函数y＝﹣x²+6x﹣5．

(1)、求二次函数图象的顶点坐标；

(2)、当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？

(3)、当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m ，最小值为n ，若m﹣n＝3，求t的值．

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$x / cm$	0	1	2	3	4	5	6
$y_{1} / cm$	$5.62$	$4.67$	$3.76$		$2.65$	$3.18$	$4.37$
$y_{2} / cm$	$5.62$	$5.59$	$5.53$	$5.42$	$5.19$	$4.73$	$4.11$