全国历年中考数学真题精选汇编：二次函数1

试卷更新日期：2021-07-08 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 在“探索函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的系数 $a$ ， $b$ ， $c$ 与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）.同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中 $a$ 的值最大为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，有下列结论：① $a > 0$ ；② $b^{2} - 4 a c$ ＞0；③ $4 a + b = 0$ ；④不等式 $a x^{2} + （ b - 1 ） x + c$ ＜0的解集为1≤x＜3，正确的结论个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x²+ax+4的图象上.则m﹣n的最大值等于（）

A、 $\frac{15}{4}$ B、4 C、﹣ $\frac{15}{4}$ D、﹣ $\frac{17}{4}$

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4. 若二次函数y=|a|x²+bx+c的图象经过A(m ， n)、B(0，y₁)、C(3－m ， n)、D( $\sqrt{2}$ ， y₂)、E(2，y₃)，则y₁、y₂、y₃的大小关系是（）.

A、y₁< y₂< y₃ B、y₁ < y₃< y₂ C、y₃< y₂< y₁ D、y₂< y₃< y₁

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5.
已知抛物线y=ax²+bx+c的图象如图所示，则|a﹣b+c|+|2a+b|=（　　）

A、a+b B、a﹣2b C、a﹣b D、3a

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6. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 交x轴于点A，B，交 $y$ 轴于点C．若点A坐标为 $(- 4 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = - 1$ ，则下列结论错误的是（）

A、二次函数的最大值为 $a - b + c$ B、 $a + b + c > 0$ C、 $b^{2} - 4 a c > 0$ D、 $2 a + b = 0$

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7. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与x轴交于 $A ， B$ 两点，其对称轴与x轴交于点C其中 $A ， C$ 两点的横坐标分别为-1和1下列说法错误的是（）

A、 $a b c < 0$ B、 $4 a + c = 0$ C、 $16 a + 4 b + c < 0$ D、当 $x > 2$ 时，y随x的增大而减小

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8. 对称轴为直线x＝1的抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b²＞4ac，③4a＋2b＋c＞0，④3a＋c＞0，⑤a＋b≤m(am＋b)（m为任意实数）， ⑥当x＜－1时，y随x的增大而增大，其中结论正确的个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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9. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴为直线 $x = 1$ ．给出下列结论：

① $a c < 0$ ； ② $b^{2} - 4 a c > 0$ ； ③ $2 a - b = 0$ ； ④ $a - b + c = 0$ ．

其中，正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

10. 以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t².现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v₁ ，经过时间t₁落回地面，运动过程中小球的最大高度为h₁（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v₂ ，经过时间t₂落回地面，运动过程中小球的最大高度为h₂（如图2）.若h₁＝2h₂ ，则t₁：t₂＝.

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11. 已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），M是抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ （ $a \neq 0$ ）对称轴上的一个动点。小明经探究发现：当 $\frac{b}{a}$ 的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定。若抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ （ $a \neq 0$ ）的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则 $\frac{b}{a}$ 的值是

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12. 某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份.该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润.售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是元.

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13. 下列关于二次函数 $y = - {(x - m)}^{2} + m^{2} + 1$ （ $m$ 为常数）的结论，①该函数的图象与函数 $y = - x^{2}$ 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点 $(0, 1)$ ；③当 $x > 0$ 时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数 $y = x^{2} + 1$ 的图像上，其中所有正确的结论序号是.

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14. 加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率 $y$ 与加工时间 $x$ （单位： $\min$ ）满足函数表达式 $y = - 0.2 x^{2} + 1.5 x - 2$ ，则最佳加工时间为 $\min$ .

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15. 已知二次函数的图象经过点 $P (2 ， 2)$ ，顶点为 $O (0 ， 0)$ 将该图象向右平移，当它再次经过点 $P$ 时，所得抛物线的函数表达式为.

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16. 如图是抛物线y＝ax²+bx+c的部分图象，图象过点（3，0），对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＝0；③y的最大值为3；④方程ax²+bx+c+1＝0有实数根．其中正确的为（将所有正确结论的序号都填入）．

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17. 二次函数y＝ax²+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0的一个根为1，另一个根为﹣ $\frac{1}{a}$ ．其中正确结论的序号是．

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18. 下表中y与x的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数表达式为．

$x$

……

-1

0

1

3

……

$y$

……

0

3

4

0

……

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19. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a ， b ， c$ 是常数， $a \neq 0$ ）的y与x的部分对应值如下表：

x

-5

-4

-2

0

2

y

6

0

-6

-4

6

下列结论：

① $a > 0$ ；

②当 $x = - 2$ 时，函数最小值为 $- 6$ ；

③若点 $(- 8 ， y_{1})$ ，点 $(8 ， y_{2})$ 在二次函数图象上，则 $y_{1} < y_{2}$ ；

④方程 $a x^{2} + b x + c = - 5$ 有两个不相等的实数根．

其中，正确结论的序号是．（把所有正确结论的序号都填上）

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三、综合题

20. 如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图.水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系.

(1)、求桥拱项部O离水面的距离.

(2)、如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m.
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式.

②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值.

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21. 在直角坐标系中，设函数 $y = a x^{2} + b x + 1$ （ $a$ ， $b$ 是常数， $a \neq 0$ ）。

(1)、若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；

(2)、写出一组a、b的值，使函数y=ax²+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由.

(3)、已知 $a = b = 1$ ，当 $x = p$ ， $q$ （ $p$ ， $q$ 是实数， $p \neq q$ ）时，该函数对应的函数值分别为P，Q。若 $p + q = 2$ ，求证：P+Q>6 。

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22. 已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x - 8$ $(a \neq 0)$ 经过点 $(- 2 ， 0)$ .

(1)、求抛物线的函数表达式和顶点坐标.

(2)、直线 $l$ 交抛物线于点 $A (- 4 ， m)$ ， $B (n ， 7)$ ， $n$ 为正数.若点 $P$ 在抛物线上且在直线 $l$ 下方（不与点 $A$ ， $B$ 重合），分别求出点 $P$ 横坐标与纵坐标的取值范围，

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23. 小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径 $A B = 4$ ，且点A，B关于y轴对称，杯脚高 $C O = 4$ ，杯高 $D O = 8$ ，杯底MN在x轴上.

(1)、求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）.

(2)、为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体 $A^{'} C B^{'}$ 所在抛物线形状不变，杯口直径 $A^{'} B^{'} / / A B$ ，杯脚高CO不变，杯深 $C D^{'}$ 与杯高 $O D^{'}$ 之比为0.6，求 $A^{'} B^{'}$ 的长.

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24. 如图，二次函数 $y = (x - 1) (x - a)$ （a为常数）的图象的对称轴为直线 $x = 2$ .

(1)、求a的值.

(2)、向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式.

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25. 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为 $y = - \frac{1}{6} {(x - 5)}^{2} + 6$ .

(1)、求雕塑高OA.

(2)、求落水点C，D之间的距离.

(3)、若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF， $O E = 10 m$ ， $E F = 1.8 m ， E F ⊥ O D$ .问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明.

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26. 如图，已知经过原点的抛物线 $y = 2 x^{2} + m x$ 与x轴交于另一点A（2，0）。

(1)、求m的值和抛物线顶点M的坐标；

(2)、求直线AM的解析式。

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27. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象经过 $(- 2 ， 1) ， (2 ， - 3)$ 两点.

(1)、求b的值.

(2)、当 $c > - 1$ 时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是.

(3)、设 $(m ， 0)$ 是该函数的图象与x轴的一个公共点，当 $- 1 < m < 3$ 时，结合函数的图象，直接写出a的取值范围.

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28. 某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：

销售单价x（元/千克）

55

60

65

70

销售量y（千克）

70

60

50

40

(1)、求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；

(2)、为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？

(3)、当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？

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29. 小明和小丽先后从A地出发同一直道去B地，设小丽出发第 $x \min$ 时，小丽、小明离B地的距离分别为 $y {}_{1}m$ 、 $y {}_{2}m$ ， $y_{1}$ 与x之间的数表达式 $y_{1} = - 180 x + 2250$ ， $y_{2}$ 与x之间的函数表达式是 $y_{2} = - 10 x^{2} - 100 x + 2000$ .

(1)、小丽出发时，小明离A地的距离为 $m$ .

(2)、小丽发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？

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30. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，二次函数图象的顶点坐标为 $(4 ， - 3)$ ，该图象与 $x$ 轴相交于点 $A$ 、 $B$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，其中点 $A$ 的横坐标为1．

(1)、求该二次函数的表达式；

(2)、求 $\tan ∠ A B C$ ．

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31. 小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变.
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W₁ ， W₂（单位：元）

(1)、用含x的代数式分别表示W₁ ， W₂；

(2)、当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少?

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32. 已知直线 $l_{1} ： y = - 2 x + 10$ 交y轴于点A，交 $x$ 轴于点B，二次函数的图象过 $A ， B$ 两点，交x轴于另一点 $C$ ， $B C = 4$ ，且对于该二次函数图象上的任意两点 $P_{1} (x_{1} ， y_{1})$ ， $P_{2} (x_{2} ， y_{2})$ ，当 $x_{1} > x_{2} \geq 5$ 时，总有 $y_{1} > y_{2}$ ．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、若直线 $l_{2} ： y = m x + n (n \neq 10)$ ，求证：当 $m = - 2$ 时， $l_{2} / / l_{1}$ ；

(3)、E为线段 $B C$ 上不与端点重合的点，直线 $l_{3} ： y = - 2 x + q$ 过点C且交直线 $A E$ 于点F，求 $Δ A B E$ 与 $Δ C E F$ 面积之和的最小值．

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33. 已知抛物y=ax²+bx+c(b<0)与轴只有一个公共点.

(1)、若公共点坐标为(2，0)，求a、c满足的关系式；

(2)、设A为抛物线上的一定点，直线l：y=kx+1－k与抛物线交于点B、C两点，直线BD垂直于直线y=－1，垂足为点D.当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在 y轴上，且△ABC为等腰直角三角形.
①求点A的坐标和抛物线的解析式；

②证明：对于每个给定的实数 k ，都有A、D、C三点共线.

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34.
如图，抛物线y= $\frac{1}{2}$ （x﹣3）²﹣1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．

(1)、求点A，B，D的坐标；

(2)、连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD，求证：∠AEO=∠ADC；

(3)、以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标．

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35. 我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是y=ax²+bx（a≠0）

(1)、对于这样的抛物线：
当顶点坐标为（1，1）时，a=；
当顶点坐标为（m，m），m≠0时，a与m之间的关系式是

(2)、继续探究，如果b≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y=kx（k≠0）上，请用含k的代数式表示b；

(3)、现有一组过原点的抛物线，顶点A₁ ， A₂ ， …，A_n在直线y=x上，横坐标依次为1，2，…，n（为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B₁ ， B₂ ， …，B_n ，以线段A_nB_n为边向右作正方形A_nB_nC_nD_n ，若这组抛物线中有一条经过D_n ，求所有满足条件的正方形边长．

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36.
如图1，已知抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；

(3)、如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．

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37. 某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是20元/千克，根据以往的销售情况描出销量y（千克/天）与售价x（元/千克）的关系，如图所示．

(1)、试求出y与x之间的一个函数关系式；

(2)、利用（1）的结论：
求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润．
②进口产品检验、运输等过程需耗时5天，该“特产”最长的保存期为一个月（30天），若售价不低于30元/千克，则一次进货最多只能多少千克？

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38. 某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品售后，经过统计得到此商品单价在第x天（x为正整数）销售的相关信息，如表所示：
销售量n（件）
n=50﹣x
销售单价m（元/件）
当1≤x≤20时，m=20+ $\frac{1}{2}$ x
当21≤x≤30时，m=10+ $\frac{420}{x}$

(1)、请计算第几天该商品单价为25元/件？

(2)、求网店销售该商品30天里所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式；

(3)、这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？

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39. 已知，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} - 2 m x + m^{2} + 2 m - 1$ 的顶点为A，点B的坐标为 $(3 ， 5)$

(1)、求抛物线过点B时顶点A的坐标

(2)、点A的坐标记为 $(x ， y)$ ，求y与x的函数表达式；

(3)、已知C点的坐标为 $(0 ， 2)$ ，当m取何值时，抛物线 $y = x^{2} - 2 m x + m^{2} + 2 m - 1$ 与线段 $B C$ 只有一个交点

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40. 某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长 $A D = 4 m$ ，宽 $A B = 3 m$ ，抛物线的最高点E到 $B C$ 的距离为 $4 m$ ．

(1)、按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用 $y = k x^{2} + m (k \neq 0)$ 表示，求该抛物线的函数表达式；

(2)、现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与 $A D$ 之间的区域内加装一扇长方形窗户 $F G M N$ ，点G，M在 $A D$ 上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元 $/ m^{2}$ ．已知 $G M = 2 m$ ，求每个 $B$ 型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户 $F G M N$ 的成本）

(3)、根据市场调查，以单价650元销售（2）中的 $B$ 型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个 $B$ 型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价 $n$ （元）定为多少时，每月销售 $B$ 型活动板房所获利润 $w$ （元）最大？最大利润是多少？

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销售单价x（元/千克）	55	60	65	70
销售量y（千克）	70	60	50	40

销售量n（件）	n=50﹣x
销售单价m（元/件）	当1≤x≤20时，m=20+ $\frac{1}{2}$ x
销售单价m（元/件）	当21≤x≤30时，m=10+ $\frac{420}{x}$

$x$	……	-1	0	1	3	……
$y$	……	0	3	4	0	……