全国历年中考数学真题精选汇编：方程与不等式1

试卷更新日期：2021-07-08 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 若a＞b，则下列等式一定成立的是（）

A、a＞b+2 B、a+1＞b+1 C、﹣a＞﹣b D、|a|＞|b|

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2. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，书中有一道题“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕雀重一斤.问：燕雀一枚，各重几何？”译文：”五只雀、六只燕，共重1斤（占时1斤＝16两）.雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕重量各为多少？”设雀重x两，燕重y两，可列出方程组（）

A、 ${\begin{array}{l} 5 x + 6 y = 16 \\ 4 x + y = 5 y + x \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 5 x + 6 y = 10 \\ 4 x + y = 5 y + x \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 5 x + 6 y = 10 \\ 5 x + y = 6 y + x \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 5 x + 6 y = 16 \\ 5 x + y = 6 y + x \end{array}$

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3. 关于x的方程x²﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）

A、m＞2 B、m＜2 C、m＞4 D、m＜4

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4. 某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次，设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为 $x$ （ $x > 0$ ），则（）

A、 $60.5 (1 - x) = 25$ B、 $25 (1 - x) = 60.5$ C、 $60.5 (1 + x) = 25$ D、 $25 (1 + x) = 60.5$

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5. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清洒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗.今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} x + y = 5 \\ 10 x + 3 y = 30 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + y = 5 \\ 3 x + 10 y = 30 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + y = 30 \\ \frac{x}{10} + \frac{y}{3} = 5 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x + y = 30 \\ \frac{x}{3} + \frac{y}{10} = 5 \end{array}$

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6. 一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（）

A、 $x + 2 > 0$ B、 $x - 2 < 0$ C、 $2 x \geq 4$ D、 $2 - x < 0$

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7. 为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛.901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为x元，根据题意可列方程为（）

A、 $\frac{40}{1.5 x}$ ﹣ $\frac{30}{x}$ ＝20 B、 $\frac{40}{x}$ ﹣ $\frac{30}{1.5 x}$ ＝20 C、 $\frac{30}{x}$ ﹣ $\frac{40}{1.5 x}$ ＝20 D、 $\frac{30}{1.5 x}$ ﹣ $\frac{40}{x}$ ＝20

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8. 不等式组 ${\begin{cases} 3 (x - 2) \leq x - 4 ， \\ 3 x > 2 x - 1 \end{cases}$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 某厂家2020年1~5月份的口罩产量统计如图所示。设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（）

A、180（1-x）²=461 B、180（1+x）²=461 C、368（1-x）²=442 D、368（1+x）²=442

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10. 某公司上半年生产甲，乙两种型号的无人机若干架.已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架.设甲种型号无人机 $x$ 架，乙种型号无人机 $y$ 架.根据题意可列出的方程组是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = \frac{1}{3} (x + y) - 11 ， \\ y = \frac{1}{2} (x + y) + 2 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = \frac{1}{3} (x + y) + 11. \\ y = \frac{1}{2} (x + y) - 2 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = \frac{1}{2} (x + y) - 11 ， \\ y = \frac{1}{3} (x + y) + 2 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = \frac{1}{2} (x + y) + 11 ， \\ y = \frac{1}{3} (x + y) - 2 \end{array}$

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11. 设 $a ， b ， c$ 为互不相等的实数，且 $b = \frac{4}{5} a + \frac{1}{5} c$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $a - b = 4 (b - c)$ D、 $a - c = 5 (a - b)$

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12. 已知三个实数a,b,c满足a-2b+c=0，a+2b+c＜0，则（）

A、b>0，b²-ac≤0 B、b＜0，b²-ac≤0 C、b>0，b²-ac≥0 D、b＜0，b²-ac≥0

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13. 据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%假定2018年的平均增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，则（）

A、 $b = (1 + 22.1 % \times 2) a$ B、 $b = {(1 + 22.1 %)}^{2} a$ C、 $b = (1 + 22.1 %) \times 2 a$ D、 $b = 22.1 % \times 2 a$

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二、填空题

14. 已知二元一次方程x+3y＝14，请写出该方程的一组整数解．

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15. 不等式组 ${\begin{array}{l} x > 1 \\ x + 2 > 0 \end{array}$ 的解集是.

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16. 不等式组 ${\begin{array}{l} x - 3 < 4 \\ \frac{3 x + 2}{4} \geq 1 \end{array}$ 的解为.

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17. 我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两，银子共有两.（注：明代时1斤=16两）

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18. 已知 ${\begin{matrix} x = 2 \\ y = m \end{matrix}$ 是方程 $3 x + 2 y = 10$ 的一个解，则m的值是.

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19. 方程 $\frac{2}{x^{2} - 4} - \frac{x}{x - 2} = 1$ 的解是.

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20. 设 $x_{1} ， x_{2}$ 是关于x的方程 $x^{2} - 3 x + k = 0$ 的两个根，且 $x_{1} = 2 x_{2}$ ，则 $k =$ .

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21. 扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？答：快马天追上慢马.

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22. 方程 $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ 的两根为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 则 $x_{1} \cdot x_{2}$ 的值为.

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三、计算题

23. 解方程： ${(x - 1)}^{2} = 4$

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24. 解方程 $\frac{2}{x + 1} + 1 = \frac{x}{x - 1}$ .

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25.

(1)、解方程： $2 x^{2} - 5 x + 3 = 0$ ；

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} 3 x - 4 < 5 \\ \frac{2 x - 1}{3} > \frac{x - 2}{2} \end{array}$

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26.

(1)、解方程： $\frac{2 x}{x + 3}$ ＝ $\frac{1}{x + 3}$ +1；

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} 4 x + 2 > x - 7 \\ 3 (x - 2) < 4 + x \end{array}$

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四、解答题

27. 解不等式组 ${\begin{matrix} x - 1 < 0 \\ \frac{5 x + 2}{2} \geq x - 1 \end{matrix}$ ，并写出满足不等式组的所有整数解.

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28. 以下是圆圆解不等式组 ${\begin{matrix} 2 (1 + x) > - 1 ① \\ - (1 - x) > - 2 ② \end{matrix}$
的解答过程：

解：由①，得 $2 + x > - 1$ ，所以 $x > - 3$

由②，得 $1 - x > 2$ ，所以 $- x > 1$ ，所以 $x > - 1$

所以原不等式组的解是 $x > - 1$ 。

圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程。

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29. 小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）²的过程如下框：

小敏：

两边同除以（x﹣3），得

3＝x﹣3，

则x＝6．

小霞：

移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）²＝0，

提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．

则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，

解得x₁＝3，x₂＝0．

你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．

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30. 解不等式 $1 + 2 (x - 1) \leq 3$ ，并在数轴上表示解集.

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31. 已知方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + y = 7 \\ x = y - 1 \end{array}$ 的解也是关于x、y的方程 $a x + y = 4$ 的一个解，求a的值.

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32. 为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天，问原先每天生产多少万剂疫苗？

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33. 为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路.其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工.甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米.已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？

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五、综合题

34. 阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：

已知实数x、y满足 $3 x - y = 5$ ①， $2 x + 3 y = 7$ ②，求 $x - 4 y$ 和 $7 x + 5 y$ 的值.

本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由① $-$ ②可得 $x - 4 y = - 2$ ，由① $+$ ② $\times 2$ 可得 $7 x + 5 y = 19$ .这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.

解决问题：

(1)、已知二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + y = 7 \\ x + 2 y = 8 \end{array}$ ，则 $x - y =$ ， $x + y =$ ；

(2)、某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？

(3)、对于实数x、y，定义新运算： $x * y = a x + b y + c$ ，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算.已知 $3 * 5 = 15$ ， $4 * 7 = 28$ ，那么 $1 * 1 =$ .

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35. 如图，“开心”农场准备用 $50 m$ 的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为 $a (m)$ ，宽为 $b (m)$ .

(1)、当 $a = 20$ 时，求b的值；

(2)、受场地条件的限制，a的取值范围为 $18 \leq a \leq 26$ ，求b的取值范围.

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36. 甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，公司共捐款140000元.下面是甲、乙两公司员工的一段对话：

(1)、甲、乙两公司各有多少人？

(2)、现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种防疫物资，A种防疫物资每箱15000元，B种防疫物资每箱12000元.若购买B种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：A、B两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）.

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37. 解不等式 $2 x - 1 > \frac{3 x - 1}{2}$ .
解：去分母，得 $2 (2 x - 1) > 3 x - 1$ .

……

(1)、请完成上述解不等式的余下步骤：

(2)、解题回顾：本题“去分母”这一步的变形依据是（填“A”或“B”）

A、不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； B、不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

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38. 某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元.

(1)、求每千克苹果和每千克梨的售价；

(2)、如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？

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39. 体育器材室有A、B两种型号的实心球，1只A型球与1只B型球的质量共7千克，3只A型球与1只B型球的质量共13千克.

(1)、每只A型球、B型球的质量分别是多少千克?

(2)、现有A型球、B型球的质量共17千克，则A型球、B型球各有多少只?

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40. 去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．

(1)、求饮用水和蔬菜各有多少件？

(2)、现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；

(3)、在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？

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