全国历年中考数学真题精选汇编：数与式2

试卷更新日期：2021-07-07 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 《2020年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年我国共资助8990万人参加基本医疗保险，其中8990万用科学记数法表示为（）

A、 $89.9 \times 10^{6}$ B、 $8.99 \times 10^{7}$ C、 $8.99 \times 10^{8}$ D、 $0.899 \times 10^{9}$

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2. 在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）.他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17.根据以上信息，下列判断正确的是（）

A、戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9 B、丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 C、丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4 D、甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9.

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3. 若等式 $2 a^{2} \cdot a$ +（）= $3 a^{3}$ 成立，则括号中填写单项式可以是（）

A、a B、 $a^{2}$ C、 $a^{3}$ D、 $a^{4}$

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4. 在实数 $- 1$ ，0， $\frac{1}{2}$ ， $\sqrt{2}$ 中，无理数是（）

A、 $- 1$ B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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5. 据国家统计局数据，2018年全年国内生产总值为90.3万亿，比2017年增长6.6%.假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万亿的年份是（）

A、2019年 B、2020年 C、2021年 D、2022年

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6. 下列分解因式正确的是（）

A、 $- x^{2} + 4 x = - x (x + 4)$ B、 $x^{2} + x y + x = x (x + y)$ C、 $x (x - y) + y (y - x) = {(x - y)}^{2}$ D、 $x^{2} - 4 x + 4 = (x + 2) (x - 2)$

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7. 如图，数轴上两点 $M ， N$ 所对应的实数分别为 $m ， n$ ，则 $m - n$ 的结果可能是（）

A、-1 B、1 C、2 D、3

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8. 下列运算正确的是（）

A、 $3 a^{2} - a^{2} = 3$ B、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ C、 ${(- 3 a b^{2})}^{2} = - 6 a^{2} b^{4}$ D、 $a \cdot a^{- 1} = 1 (a \neq 0)$

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9. 下列运算正确的是（）.

A、a·a³= a³ B、(2a)³=6a³ C、a⁶÷a³= a² D、(a²)³－(－a³)²=0

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10. 计算2²+(－1)⁰的结果是（）.

A、5 B、4 C、3 D、2

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11. 墨迹覆盖了等式“ $x^{3}$ $x = x^{2}$ （ $x \neq 0$ ）”中的运算符号，则覆盖的是（）

A、＋ B、－ C、× D、÷

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12. 若 $a \neq b$ ，则下列分式化简正确的是（）

A、 $\frac{a + 2}{b + 2} = \frac{a}{b}$ B、 $\frac{a - 2}{b - 2} = \frac{a}{b}$ C、 $\frac{a^{2}}{b^{2}} = \frac{a}{b}$ D、 $\frac{\frac{1}{2} a}{\frac{1}{2} b} = \frac{a}{b}$

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13. 若k为正整数，则 ${(\underset{k 个 k}{\underset{︸}{k + k + \cdot \cdot \cdot + k}})}^{k} =$ （）

A、 $k^{2 k}$ B、 $k^{2 k + 1}$ C、 $2 k^{k}$ D、 $k^{2 + k}$

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14. 对于① $x - 3 x y = x (1 - 3 y)$ ，② $(x + 3) (x - 1) = x^{2} + 2 x - 3$ ，从左到右的变形，表述正确的是（）

A、都是因式分解 B、都是乘法运算 C、①是因式分解，②是乘法运算 D、①是乘法运算，②是因式分解

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15. 若 $\frac{(9^{2} - 1) (11^{2} - 1)}{k} = 8 \times 10 \times 12$ ，则 $k =$ （）

A、12 B、10 C、8 D、6

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16. 如图，若x为正整数，则表示 $\frac{{(x + 2)}^{2}}{x^{2} + 4 x + 4}$ ﹣ $\frac{1}{x + 1}$ 的值的点落在（）

A、段① B、段② C、段③ D、段④

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17. 已知 $a_{1}$ 为实数﹐规定运算： $a_{2} = 1 - \frac{1}{a_{1}}$ ， $a_{3} = 1 - \frac{1}{a_{2}}$ ， $a_{4} = 1 - \frac{1}{a_{3}}$ ， $a_{5} = 1 - \frac{1}{a_{4}}$ ，……， $a_{n} = 1 - \frac{1}{a_{n - 1}}$ .按上述方法计算：当 $a_{1} = 3$ 时， $a_{2021}$ 的值等于（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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二、填空题

18. 计算 $\sqrt{18} \div \sqrt{2}$ 的结果是.

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19. 因式分解： $x^{2} + 2 x + 1 =$ .

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20. 2021年5月15日，“天问一号”探测器成功着陆火星，在火星上首次留下了中国印迹.据公开资料显示，地球到火星的最近距离约为55000000公里，数据55000000用科学记数法表示为.

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21. 已知： $a = {(\frac{1}{2})}^{- 1} + {(- \sqrt{3})}^{0}$ ， $b = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})$ ，则 $\sqrt{a + b} =$ .

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22. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是 $\sqrt{5} - 1$ ，它介于整数n和n+1之间，则n的值是.

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23. 2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为 $+ 100$ 米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为米．

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24. 已知： $\sqrt{18} - \sqrt{2} = a \sqrt{2} - \sqrt{2} = b \sqrt{2}$ ，则 $a b =$ ．

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25. 已知 $x y = 2 ， x - 3 y = 3$ ，则 $2 x^{3} y - 12 x^{2} y^{2} + 18 x y^{3} =$ .

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三、计算题

26. 计算： $5^{0} - (- 2) + \sqrt{8} \times \sqrt{2}$

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27. 先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{x + 2}) \div \frac{x^{2} - 1}{x + 2}$ ，其中 $x = \sqrt{2} + 1$ ．

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28. 先化简，再求值：(x－1)÷(x－ $\frac{2 x - 1}{x}$ ),其中x = $\sqrt{2}$ +1

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29. 先化简，再求值： ${(x - 3)}^{2} + (x + 3) (x - 3) + 2 x (2 - x)$ ，其中 $x = - \frac{1}{2}$ .

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30. 先化简，再求值： $\frac{a^{2} + 2 a + 1}{a^{2} - a} \div (1 + \frac{2}{a - 1})$ ，其中 $a = 2 \sqrt{3}$ .

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31. 先化简，再求值： $\frac{x^{2} - 9}{x - 1} \div \frac{x^{2} + 3 x}{x - 1} + \frac{4}{x}$ ，其中 $x = 2$ .

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32. 化简： $(\frac{a + 2}{a^{2} - 2 a} - \frac{a - 1}{a^{2} - 4 a + 4}) \div \frac{a - 4}{a}$ .

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四、解答题

33.
阅读理解
我们知道，1+2+3+…+n= $\frac{n (n + 1)}{2}$ ，那么1²+2²+3²+…+n²结果等于多少呢？
在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即1² ，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即2² ， …；第n行n个圆圈中数的和为 $\underset{n 个 n}{\underset{︸}{n + n + \dots + n}}$ ，即n² ，这样，该三角形数阵中共有 $\frac{n (n + 1)}{2}$ 个圆圈，所有圆圈中数的和为1²+2²+3²+…+n² ．

(1)、将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3（1²+2²+3²+…+n²）= ，因此，1²+2²+3²+…+n²= ．

(2)、根据以上发现，计算： $\frac{1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + 2017^{2}}{1 + 2 + 3 + \dots + 2017}$ 的结果为．

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34. 在“-”“×”两个符号中选一个自己想要的符号，填入 $2^{2} + 2 \times (1 □ \frac{1}{2})$ 中的□，并计算.

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35. 先化简，再求值：（2x+1）²﹣2（x﹣1）（x+3）﹣2，其中x= $\sqrt{2}$ ．

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36. 先化简，再求值：（ $\frac{3}{x + 1}$ ﹣x+1）÷ $\frac{x^{2} + 4 x + 4}{x + 1}$ ，其中x= $\sqrt{2}$ ﹣2．

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五、综合题

37. 观察以下等式：
第1个等式： $\frac{1}{1} + \frac{0}{2} + \frac{1}{1} \times \frac{0}{2} = 1$ ，
第2个等式： $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = 1$ ，
第3个等式： $\frac{1}{3} + \frac{2}{4} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{4} = 1$ ，
第4个等式： $\frac{1}{4} + \frac{3}{5} + \frac{1}{4} \times \frac{3}{5} = 1$ ，
第5个等式： $\frac{1}{5} + \frac{4}{6} + \frac{1}{5} \times \frac{4}{6} = 1$ ，
……
按照以上规律，解决下列问题：

(1)、写出第6个等式：；

(2)、写出你猜想的第n个等式：(用含n的等式表示)，并证明.

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38. 有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上 $a^{2}$ ，同时B区就会自动减去 $3 a$ ，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和－16，如图．

如，第一次按键后，A，B两区分别显示：

(1)、从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；

(2)、从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．

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39. 有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入+，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．

(1)、计算：1+2﹣6﹣9；

(2)、若1÷2×6□9＝﹣6，请推算□内的符号；

(3)、在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．

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40. 按要求回答问题

(1)、
观察下列图形与等式的关系，并填空：

(2)、
观察下图，根据（1）中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：

1+3+5+…+（2n﹣1）+（）+（2n﹣1）+…+5+3+1= ．

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