山东省潍坊诸城市2021年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2021-07-07 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列各数中最小的是（）

A、0 B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $- \sqrt{2}$ D、 ${(- 3)}^{0}$

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2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（）

A、圆柱 B、三棱锥 C、正方体 D、三棱柱

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3. 华为手机使用了自主研发的海思麒麟芯片，目前最新的型号是麒麟990．芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求是体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗，而麒麟990的晶体管栅极的宽度达到了 $0.000000007$ 毫米，将数据 $0.000000007$ 用科学记数法表示为（）

A、 $7 \times 10^{- 8}$ B、 $7 \times 10^{- 9}$ C、 $0.7 \times 10^{- 8}$ D、 $0.7 \times 10^{- 9}$

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $\frac{- a + b}{a - b} = - 1$ B、 $5 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} = 3$ C、 $\frac{x - 3}{x^{2} - 9} = \frac{1}{x - 3}$ D、 $2 a^{- 1} = \frac{1}{2 a}$

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5. 若 $a + 5 = 2 b$ ，则代数式 $a^{2} - 4 a b + 4 b^{2} - 5$ 的值是（）

A、0 B、-10 C、20 D、-30

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6. 关于 $x$ 的一元二次方程 $m x^{2} + 6 x = 9$ 有两个实数根，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $m \geq - 1$ 且 $m \neq 0$ B、 $m \leq 1$ 且 $m \neq 0$ C、 $m \geq 1$ D、 $m \geq - 1$

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7. 在一次捐书活动中，A、B、C、D分别表示“名人传记”、“科普图书”、“小说”、“其它图书”某校九年级学生捐书情况如下：

图书种类

A

B

C

D

数目（本）

a

175

100

d

下列哪个选项是错误的（）

A、共捐书500本 B、a＝150 C、“C”所占的百分比是20% D、“扇形D”的圆心角是50°

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8. 如图，在边长为2的等边三角形 $A B C$ 中， $D$ 为边 $B C$ 上一点，且 $B D = \frac{1}{2} C D$ ．点 $E$ ， $F$ 分别在边 $A B ， A C$ 上，且 $∠ E D F = 90^{°} ， M$ 为边 $E F$ 的中点，连接 $C M$ 交 $D F$ 于点 $N$ ．若 $D F // A B$ ，则 $C M$ 的长为（）

A、 $\frac{2}{3} \sqrt{3}$ B、 $\frac{3}{4} \sqrt{3}$ C、 $\frac{5}{6} \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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9. 下面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，一次函数 $y_{1} = k_{1} x + b$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x}$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $A$ ， $B$ 两点的横坐标分别为 $- 1$ ，3，则下列 $x$ 的取值范围能满足 $y_{2} < y_{1}$ 的是（）

A、 $x < - 1$ B、 $- 1 < x < 0$ C、 $0 < x < 4$ D、 $x > 3$

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11. 一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车行驶时间为 $x$ （小时），两车之间的距离为 $y$ （千米），图中的折线表示 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系，下列说法正确的是（）

A、甲乙两地相距1000千米 B、动车的速度是270千米/小时 C、普通列车从乙地到达甲地的时间为9小时 D、点 $B$ 的实际意义是两车出发4小时后相遇

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12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $O A B C$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于 $D$ ， $E$ 两点，矩形的顶点 $A$ ， $C$ 在坐标轴上， $O D ： D E = 10 ： 21$ ， $∠ O D E = 90 °$ ，若点 $D$ 的坐标为 $(2 ， 5)$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $S_{△ O E C} = 10$ B、 $S_{△ D B E} = \frac{441}{20}$ C、 $\frac{B E}{E C} = \frac{21}{4}$ D、点 $E$ 的坐标为 $(\frac{25}{2} ， \frac{4}{5})$

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二、填空题

13. 若式子 $\frac{1}{\sqrt{x - 4}}$ 有意义，则x的取值范围为．

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14. 若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{m}{x - 1} - 3 = \frac{7}{x - 1}$ 有增根，则 $m$ 的值是．

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15. 在实数范围内规定新运算“ $△$ ”，规则是： $a △ b = 2 a - b$ ，若不等式 $x △ k \geq 3$ 的解集在数轴上如图表示，则 $k$ 的值是．

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16. 如图，以 $B C$ 为直径作 $⊙ O ， A ， D$ 为圆周上的点， $A D / / B C ， A B = C D = A D = 1 ， ∠ A B C = 60 °$ ，若点 $P$ 为 $B C$ 垂直平分线 $M N$ 上的一动点，则阴影部分周长的最小值为.

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17. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $B C$ 上一点，将 $△ A B E$ 沿 $A E$ 折叠，点 $B$ 落在 $A D$ 上的点 $F$ 处；点 $M$ 是 $C D$ 上一点，将 $△ A D M$ 沿 $A M$ 折叠，点 $D$ 与点 $E$ 恰好重合；若 $A B = 1$ ，则 $D M$ 的长等于．

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18. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = B C = 1$ ．点 $M_{1}$ ， $N_{1}$ ， $P_{1}$ 分别在 $A C$ ， $B C$ ， $A B$ 上，且四边形 $M_{1} C N_{1} P_{1}$ 是正方形，点 $M_{2}$ ， $N_{2}$ ， $P_{2}$ 分别在 $P_{1} N_{1}$ ， $B N_{1}$ ， $B P_{1}$ 上，且四边形 $M_{2} N_{1} N_{2} P_{2}$ 是正方形，…，点 $M_{n}$ ， $N_{n}$ ， $P_{n}$ 分别在 $P_{n - 1} N_{n - 1}$ ， $B N_{n - 1}$ ， $B P_{n - 1}$ 上，且四边形 $M_{n} N_{n - 1} N_{n} P_{n}$ 是正方形，则正方形 $M_{n} N_{n - 1} N_{n} P_{n}$ 的面积等于．

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三、解答题

19. 如图， $E$ 是正方形 $A B C D$ 对角线 $B D$ 上一点，连接 $A E$ ， $C E$ ，并延长 $C E$ 交 $A D$ 于点 $F$ ．若 $∠ A E C = 140 °$ ，求 $∠ D F E$ 的度数．

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20. 今年植树节期间，某校组织七、八年级全体学生开展了以“爱护环境”为主题的竞赛活动，为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分100分），收集的数据如下：
七年级：100，a ， 75，80，90，85，85，80，80，100；

八年级：80，70，95，90，90，100，80，85，90，90

平均数

中位数

众数

七年级

87

$b$

80

八年级

87

90

$c$

根据以上信息回答下列问题：

(1)、直接写出 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值： $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ；

(2)、该校七、八年级共有1500人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．请估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”；

(3)、从上述统计成绩可知，被调查的20名学生中共有5人95分及以上，现从这5人中任选两人，求选中两人都是满分的概率．

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21. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，以 $A B$ 上一点 $O$ 为圆心， $O A$ 的长为半径作 $⊙ O$ ，交 $A C$ ， $A B$ 分别于 $D$ ， $E$ 两点，连接 $B D$ ，且 $∠ A = ∠ C B D$ ．

(1)、求证： $B D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $C D = 2$ ， $B C = 4$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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22. 如图，为了测量小河对岸一座小山 $B C$ 的高度，某测绘小组先在斜坡上的 $D$ 处，测得小山顶端 $B$ 的仰角为30°，且 $D$ 离地面的高度 $D E = 3 m$ ，斜坡 $A D$ 的坡度 $i = 1 ： 3$ ，然后在 $A$ 处测得小山顶端 $B$ 的仰角为60°，点 $E$ ， $A$ ， $C$ 在同一水平线上，求小山 $B C$ 的高．（结果保留根号）

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23. 为了推进乡村振兴战略，提升茶叶的品牌竞争力，某地政府在新茶上市30天内，帮助茶农集中销售．设第 $x$ 天（ $x$ 为整数）的售价为 $y$ （元/斤），日销售额为 $w$ （元）．据销售记录知：
销量：第1天销量为42斤，以后每天比前一天多销售2斤；

价格：前12天的价格一直为500元/斤，从第13天开始价格每天比前一天少10元．

请根据以上信息，解决问题：

(1)、当 $13 \leq x \leq 30$ 时，写出 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式；

(2)、当 $x$ 为何值时日销售额 $w$ 最大，最大为多少？

(3)、若要保证第13天到第22天的日销售额 $w$ 随 $x$ 增大而增大，则价格需要在当天的售价基础上上涨 $m$ 元/斤，求整数 $m$ 的最小值．（直接写出结果）

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24. 如图1， $△ A B C$ 是等边三角形， $A B = 8$ ， $△ D E F$ 是一块直角三角板， $∠ F = 30 °$ ， $B C$ 在 $E F$ 上且等边 $△ A B C$ 可以沿 $E F$ 向右平移（ $B C$ 只能在 $E F$ 上移动）．当点 $E$ 与点 $B$ 重合时，点 $A$ 恰好落在 $△ D E F$ 的斜边 $D F$ 上．

(1)、若点 $C$ 平移到与点 $F$ 重合，求等边 $△ A B C$ 平移的距离；

(2)、如图2，等边 $△ A B C$ 向右平移后的三角形记为 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ， $A^{'} B^{'}$ ， $A^{'} C^{'}$ 与三角板斜边的交点分别为 $G$ ， $H$ ，连接 $E H$ 交于 $A^{'} B^{'}$ 点 $P$ ．
①求证： $B B^{'} = A^{'} H$ ；

②判断 $P G$ 的长度在等边 $△ A B C$ 平移的过程中是否会发生变化？请说明理由．

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25. 如图1，直线 $y = - x + 4$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $A$ 与点 $B$ ，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过点A、 $B$ ，在线段OA上有一动点 $D (m ， 0)$ ，点 $D$ 不与 $O$ 、 $A$ 重合，过点 $D$ 作 $x$ 轴的垂线交直线 $A B$ 于点 $C$ ，交抛物线于点 $E$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、当点 $C$ 是 $D E$ 的中点时，求 $m$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，将线段 $O D$ 绕点 $O$ 逆时针旋转得到 $O D^{'}$ ，旋转角为 $α (0 ° < α < 90 °)$ ，连接 $D^{'} A$ 、 $D^{'} B$ ，直接写出 $D^{'} A + \frac{1}{2} D^{'} B$ 的最小值．

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图书种类	A	B	C	D
数目（本）	a	175	100	d

	平均数	中位数	众数
七年级	87	$b$	80
八年级	87	90	$c$