天津市和平区2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-07-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $i$ 是虚数单位，则复数 $\frac{- 1 + 2 i}{2 + i}$ 的虚部是（）

A、1 B、 $i$ C、-1 D、 $- i$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (1$ ， $2)$ ， $\vec{b} = (x$ ， $3)$ ， $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、3 B、-3 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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3. 用 $m$ 、 $n$ 表示两条不同的直线，用 $α$ 、 $β$ 表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $m$ ∥ $α$ ， $m$ ∥ $β$ ，则 $α$ ∥ $β$ B、若 $m$ ∥ $α$ ， $n \subset α$ ，则 $m$ ∥ $n$ C、若 $m ⊥ α$ ， $m$ ∥ $β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m ⊥ n$ ， $n \subset α$ ，则 $m ⊥ α$

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4. 给定一组数据：102，100，103，104，101，这组数据的第60百分位数是（）

A、102 B、102.5 C、103 D、103.5

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5. 若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足： $\vec{a} = (1$ ， $0)$ ， $\vec{b} = (1$ ， $\sqrt{3})$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \frac{1}{4} \vec{a}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{a}$ C、 $- \vec{a}$ D、 $\vec{a}$

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6. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a = b \cos C$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、正三角形

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7. 从分别写有“1，2，3，4，5”的5张卡片中，随机抽取一张不放回，再随机抽取一张，则抽得的两张卡片上的数字一个是奇数一个是偶数的概率是（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{10}$

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8. 在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱长为 $\sqrt{2}$ ，底面三角形的边长为1，则 $B C_{1}$ 与侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为2， $E$ 是 $B C$ 的中点， $F$ 是线段 $A E$ 上的点，则 $\vec{A F} \cdot \vec{C F}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{9}{5}$ B、 $- \frac{9}{5}$ C、1 D、 $- 1$

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二、填空题

10. 已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．

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11. 某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为．

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12. 如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图.估计这批产品的中位数为．

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13. 设 $A ， B ， C$ 为三个随机事件，若 $A$ 与 $B$ 互斥， $B$ 与 $C$ 对立，且 $P (A) = \frac{1}{4}$ ， $P (C) = \frac{2}{3}$ ，则 $P (A + B) =$ ．

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14. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的体积为.

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15. 若点 $G$ 是 $△ A B C$ 的重心，点 $M$ 、 $N$ 分别在 $A B$ 、 $A C$ 上，且满足 $\vec{A G} = x \vec{A M} + y \vec{A N}$ ，其中 $x + y = 1$ ．若 $\vec{A M} = \frac{3}{5} \vec{A B}$ ，则 $△ A M N$ 与 $△ A B C$ 的面积之比为．

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三、解答题

16. 已知 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 3$ ，向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求 $| \vec{a} - \vec{b} |$ ；

(2)、若 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 与 $m \vec{a} + 4 \vec{b}$ 垂直，求实数 $m$ 的值．

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17. 已知 $Δ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $c \cos A + a \cos C = a$ ．

(1)、求 $\frac{a}{b}$ 的值；

(2)、若 $a = 2$ ， $c = \sqrt{3}$ ，求 $Δ A B C$ 的面积．

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18. 如图，斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A A_{1} C_{1} C$ 是菱形， $A C_{1}$ 与 $A_{1} C$ 交于点 $O$ ，E是AB的中点．

求证：

(1)、 $O E / /$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、若 $A C_{1} ⊥ A_{1} B$ ，求证： $A C_{1} ⊥ B C$ ．

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19. 在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了15个，乙同学猜对了8个．假设猜对每道灯谜都是等可能的，设事件 $A$ 为“任选一灯谜，甲猜对”，事件 $B$ 为“任选一灯谜，乙猜对”．

(1)、任选一道灯谜，记事件 $C$ 为“恰有一个人猜对”，求事件 $C$ 发生的概率；

(2)、任选一道灯谜，记事件 $D$ 为“甲、乙至少有一个人猜对”，求事件 $D$ 发生的概率．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $P C D$ ，四边形 $A B C D$ 为矩形， $P C ⊥ P D$ ， $P C = P D = A D = 2$ ， $M$ 为 $P A$ 的中点．

(1)、求异面直线 $A B$ 与 $P D$ 所成的角；

(2)、求证：平面 $A C P ⊥$ 平面 $M C D$ ；

(3)、求二面角 $C - M D - P$ 的余弦值．

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