天津市滨海新区2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-07-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. $i$ 是虚数单位，则 $\frac{2 i}{1 + i} =$ （）

A、 $2 - 2 i$ B、 $2 + 2 i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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2. 在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了40次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）

A、0.4，0.4 B、0.5，0.5 C、0.4，0.5 D、0.5，0.4

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3. 经过同一条直线上的3个点的平面（）

A、有且仅有1个 B、有无数个 C、不存在 D、有且仅有3个

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4. 若一组数据为3，4，5，5，6，6，7，8，9，10，则这组数据的75%分位数为（）

A、7.5 B、8 C、8.5 D、9

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5. 已知 $m ， n$ 为空间两条不同的直线， $α ， β$ 为两个不同的平面，下列命题中不正确的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $α / / β$ ，则 $m ⊥ β$ C、若 $m / / n$ ， $n / / α$ ，则 $m / / α$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n / / α$ ，则 $m ⊥ n$

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6. 已知 $\vec{e}$ 为单位向量， $| \vec{a} | = 4$ ，当向量 $\vec{e} ， \vec{a}$ 的夹角等于 $30^{\circ}$ 时，向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{e}$ 上的投影向量为（）

A、 $2 \sqrt{3} \vec{e}$ B、 $2 \sqrt{2} \vec{e}$ C、 $2 \vec{e}$ D、 $\sqrt{2} \vec{e}$

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7. i是虚数单位.若复数 $z = m^{2} - m + m i (m \in R)$ 为纯虚数，则复数 $m -$ i在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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8. 已知圆柱的侧面展开图是一个边长为 $4 π$ 的正方形，则这个圆柱的表面积是（）

A、 $8 π + 16 π^{2}$ B、 $2 π + 4 π^{2}$ C、 $4 π + 16 π^{2}$ D、 $8 π + 4 π^{2}$

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9. 甲乙两位射击运动员在一次射击中各射靶6次，每次命中的环数如下表：则下列说法正确的是（）

甲

8

4

9

5

7

9

乙

8

7

7

8

7

7

A、乙比甲射击的平均成绩高，甲比乙射击的成绩稳定 B、乙比甲射击的平均成绩高，乙比甲射击的成绩稳定 C、甲比乙射击的平均成绩高，甲比乙射击的成绩稳定 D、甲比乙射击的平均成绩高，乙比甲射击的成绩稳定

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10. 空气质量AQI指数是反映空气质量状况的指数，指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图所示的是某市4月1日~20日空气质量AQI指数变化的折线图，则下列说法中错误的是（）

A、这20天中空气质量最好的是4月17日 B、这20天空气质量AQI指数的极差是240 C、总体来说，该市4月份上旬的空气质量比中旬的空气质量好 D、从这20天的空气质量AQI指数数据中随机抽出一天的数据，空气质量为“优良”的概率是0.5

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11. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{b}$ 与 $\vec{b} - \vec{a}$ 的夹角为 $150 °$ ，记 $\vec{m} = t \vec{a} + (1 - t) \vec{b} (t \in R)$ ，则 $| \vec{m} |$ 的取值范围为（）

A、 $[\sqrt{3} ， + \infty)$ B、 $[\sqrt{2} ， + \infty)$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$

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12. 如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点.将 $△$ ADE沿直线DE翻折成 $△$ A₁DE(A₁ $\notin$ 平面BCDE).若M在线段A₁C上(点M与A₁ ， C不重合)，则在 $△$ ADE翻折过程中，给出下列判断：

①当M为线段A₁C中点时，|BM|为定值；

②存在某个位置，使DE $⊥$ A₁C；

③当四棱锥A₁—BCDE体积最大时，点A₁到平面BCDE的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ；

④当二面角A₁—DE—B的大小为 $\frac{π}{3}$ 时，异面直线A₁D与BE所成角的余弦值为 $\frac{3}{5}$ .

其中判断正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. $i$ 是虚数单位，若复数 $z = 3 - 4 i$ ，则 $| \bar{z} | =$ .

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14. 已知向量 $\vec{a} = (4 ， 2) ， \vec{b} = (3 ， m)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m$ 的值为.

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15. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，异面直线 $B A_{1}$ 与 $D D_{1}$ 所成角的大小为.

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16. 对于事件A与事件B，已知P(A)=0.6，P(B)=0.2，如果 $B \subseteq A$ ，则P(AB)=.

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17. 某市供电部门为了解节能减排以来本市居民的用电量情况，通过抽样，获得了1000户居民月平均用电量(单位：度)，将数据按照[50，100)，[100，150)，…，[300，350]分成六组，制成了如图所示的频率分布直方图.则频率分布直方图中m的值为；根据频率分布直方图近似估计抽取的这1000户居民月用电量的中位数为.(精确到0.1)

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18. 甲､乙两名同学参加某项测试，已知甲达标的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙达标的概率为 $\frac{3}{5}$ ，两人能否达标互不影响.（i）两人都达标的概率为；（ii）至少有一人达标的概率为.

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19. 立方､堑堵､阳马和鳖臑等这些名词都出自中国古代数学名著《九章算术·商功》，在《九章算术·商功》中有这样的记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”.意思是说：把一块长方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫“堑堵”，如图1.再把一块“堑堵”沿斜线分成两块，其中以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为“阳马”，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为“鳖臑”，如图2.

现有一四面体 $A B C D$ ，已知 $A B = 2 ， B C = 2 ， C D = 1 ， B D = \sqrt{5} ， A C = 2 \sqrt{2} ， A D = 3$ ，根据上述史料中“鳖臑”的由来，可得这个四面体的体积为；该四面体的外接球的表面积为.

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20. 已知四边形 $A B C D$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = 0$ ， $\vec{A D} = λ \vec{B C}$ ， $A B = A D = 1$ ，且 $\frac{\vec{C B}}{| \vec{C B} |} \cdot \frac{\vec{C D}}{| \vec{C D} |} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，（i） $λ =$ ；（ii）若 $\vec{D E} = 2 \vec{E C}$ ，动点 $F$ 在线段 $B E$ 上，则 $\vec{D F} \cdot \vec{F C}$ 的最大值为.

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三、解答题

21. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ .已知 $a = \sqrt{19} ， b = 5 ， c = 2$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、求 $\sin C$ 的值.

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22. 垃圾分类，人人有责.2020年12月1日，天津市正式实施《天津市生活垃圾管理条例》，根据条例，市民要把生活垃圾分类后方能够投放．已知滨海新区某校高一、高二、高三3个年级学生的环保社团志愿者人数分别为30，15，15．现按年级进行分层，采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取4名同学参加垃圾分类知识交流活动．

(1)、应从高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者中分别抽取多少人？

(2)、设抽出的4名同学分别用 $A ， B ， C ， D$ 表示，现从中随机抽取2名同学分别在上午和下午作交流发言．
（i）写出这个试验的样本空间；

（ii）设事件 $M =$ “抽取的2名同学来自不同年级”，求事件 $M$ 发生的概率．

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23. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B = B C = A C = A A_{1}$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点.

(1)、求证： $A_{1} B / /$ 平面 $A C_{1} D$ ；

(2)、求证：平面 $A C_{1} D ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(3)、求直线 $A C$ 与平面 $A C_{1} D$ 所成角的正弦值.

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24. 在 $△ A B C$ 中，已知内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，向量 $\vec{m} = (1 ， \sqrt{3})$ ，向量 $\vec{n} = (\cos C ， \sin C)$ ，且 $\vec{m}$ ∥ $\vec{n}$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = \frac{\sqrt{3}}{2} ，$ $\vec{A C} \cdot \vec{A B} < 0 ，$ 求 $a + b$ 的取值范围；

(3)、若 $△ A B C$ 的内切圆的周长为 $4π$ ，当 $\vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 的值最小时，求 $△ A B C$ 的面积.

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甲	8	4	9	5	7	9
乙	8	7	7	8	7	7