江西省抚州市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-07-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在空间直角坐标系中，点 $P (1 ， 2 ， 3)$ 关于 $x O y$ 平面对称的点的坐标是（）

A、 $(- 1 ， 2 ， 3)$ B、 $(1 ， - 2 ， 3)$ C、 $(1 ， 2 ， - 3)$ D、 $(3 ， 2 ， 1)$

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2. 直线 $l_{1} ： a x - 4 y + 2 = 0$ 与直线 $l_{2} ： x - a y - 1 = 0$ 平行，则 $a$ 的值为（）

A、 $a = \pm 2$ B、 $a = 2$ C、 $a = - 2$ D、 $a = - 1$

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3. 已知两个平面相互垂直，下列命题：
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；

②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；

③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面；

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．

其中正确命题的个数是（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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4. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 中 $a_{1} + a_{4} + a_{7} = 3$ ， $a_{3} + a_{6} + a_{9} = 27$ ，则数列 ${a_{n}}$ 中前9项的和为（）

A、21或39 B、21 C、45 D、39

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5. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = \sqrt{3}$ ， $b = 1$ ， $A = 120 °$ ，则此三角形解的情况为（）

A、无解 B、只有一解 C、有两解 D、解的个数不确定

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6. 等差数列 ${a_{n}}$ 中的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} > 0$ ， $S_{12} > 0$ ， $S_{13} < 0$ ，则以下选项中最大的是（）

A、 $S_{12}$ B、 $S_{7}$ C、 $S_{6}$ D、 $S_{1}$

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7. 若不等式 $(a - 2) x^{2} + 2 (a - 2) x - 4 < 0$ 对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- 2 ， 2)$ B、 $[- 2 ， 2]$ C、 $(2 ， + \infty)$ D、 $(- 2 ， 2]$

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8. 在 $△ A B C$ 中， $\sin^{2} \frac{C}{2} = \frac{a - b}{2 a}$ ，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、等边三角形 B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、直角三角形

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9. 已知x ， y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \geq 1 \end{array}$ ，则 $z = {(x + 3)}^{2} + y^{2}$ 的最小值为（）

A、10 B、9 C、8 D、 $\sqrt{10}$

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10. 已知正数 $x$ ， $y$ 满足 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y + 1} = 3$ ，则 $x + y$ 的最小值为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、2 C、 $\frac{7}{3}$ D、6

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11. 已知四棱锥 $S - A B C D$ ， $S A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $∠ B C D + ∠ D A B = π$ ， $S A = 2$ ， $B C = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ，二面角 $S - B C - A$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ .若四面体 $S - A C D$ 的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为（）

A、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $4 \sqrt{3} π$ C、 $10 π$ D、 $\frac{32}{3} π$

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12. 已知正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的棱长为1，点 $M$ ， $N$ 分别为线段 $A B^{'}$ ， $A C$ 上的动点，点 $T$ 在平面 $B C C^{'} B^{'}$ 内，则 $| M T | + | N T |$ 的最小值是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $1$

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二、填空题

13. 两个等差数列{a_n}，{b_n}， $\frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}}$ = $\frac{7 n + 2}{n + 3}$ ，则 $\frac{a_{5}}{b_{5}}$ = ．

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14. 设 $x > y > z$ ， $n \in N$ ，且 $\frac{1}{x - y} + \frac{1}{y - z} \geq \frac{n}{x - z}$ 恒成立，则n的最大值为.

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15. 已知数列{a_n}的前n项和S_n=3+2ⁿ ，则数列{a_n}的通项公式为

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16. 一条光线从点 $P (2 ， 3)$ 射出，经x轴反射，与圆 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 相切，则反射光线所在直线的一般式方程是.

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三、解答题

17. 已知点 $P (x ， y)$ 在圆 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 上运动.

(1)、求 $\frac{y - 1}{x - 2}$ 的最大值；

(2)、求 $2 x + y$ 的最小值.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ .

(1)、证明数列 ${a_{n} + 1}$ 是等比数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{a_{n} + 1}{n (n + 1) 2^{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 已知 $A, B, C$ 为 $△ A B C$ 的三内角，且其对边分别为 $a, b, c$ ，若 $a \cos C + (c + 2 b) \cos A = 0$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ， $b + c = 4$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $M$ 是棱 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $P B //$ 平面 $A M C$ ；

(2)、若 $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D = P D = 2$ ， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ，求点B到平面 $A M C$ 的距离．

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21. 设函数 $f (x) = a x^{2} + (b - 2) x + 3 (a \neq 0)$ ，

(1)、若 $b = - a - 3$ ，且 $a > 0$ ，求不等式 $f (x) < - 4 x + 2$ 的解集；

(2)、若 $f (1) = 4$ ， $b > - 1$ ，求 $\frac{1}{| a |} + \frac{| a |}{b + 1}$ 的最小值.

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22. 已知圆 $C ： x^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$ ，直线 $l ： (3 m + 1) x + (1 - m) y - 4 = 0$ .

(1)、求直线 $l$ 所过定点A的坐标；

(2)、求直线 $l$ 被圆C所截得的弦长最短时 $m$ 的值及最短弦长；

(3)、已知点 $M (- 3 ， 4)$ ，在直线 $M C$ 上（C为圆心），存在定点N（异于点M），满足：对于圆C上任一点P ，都有 $\frac{| P M |}{| P N |}$ 为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数.

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