北京市石景山区2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-07-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数的 $z = \frac{1}{i - 1}$ 模为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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2. 若α为第四象限角，则（）

A、cos2α>0 B、cos2α<0 C、sin2α>0 D、sin2α<0

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3. 已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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4. 以角 $θ$ 的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角 $θ$ 终边过点 $P (2 ， 4)$ ，则 $\tan (θ - \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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5. 下列函数中，最小正周期为 $π$ 且图象关于原点对称的函数是（）

A、 $y = cos (2 x + \frac{π}{2})$ B、 $y = sin (2 x + \frac{π}{2})$ C、 $y = sin 2 x + cos 2 x$ D、 $y = sin x + cos x$

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6. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ} ， | \vec{a} | = 2 ， | \vec{a} - 2 \vec{b} | = 2$ ，则 $| \vec{b} | =$ （）

A、4 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、1

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7. 欧拉公式为 $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ ,( $i$ 虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知， $e^{\frac{π}{3} i}$ 表示的复数位于复平面中的（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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8. 要得到函数 $y = 4 \sin (4 x - \frac{π}{3})$ 的图像，只需要将函数 $y = 4 \sin 4 x$ 的图像（）

A、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位

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9. 已知函数 $f (x) = 2 \sin x + \cos 2 x$ ，则 $f (x)$ 的最大值是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、3 C、 $\frac{3}{2}$ D、1

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10. 如图所示，边长为1的正方形 $A B C D$ 的顶点A，D分别在x轴，y轴正半轴上移动，则 $\vec{O B} \cdot \vec{O C}$ 的最大值是（）

A、2 B、 $1 + \sqrt{2}$ C、3 D、4

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二、填空题

11. 函数 $f (x) = \cos^{2} 2 x$ 的最小正周期是．

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12. 已知向量 $\vec{a}$ =(–4，3)， $\vec{b}$ =(6，m)，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则m=.

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13. 已知 $\tan α = - 2$ ， $\tan (α + β) = \frac{1}{7}$ ，则 $\tan β$ 的值为．

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14. $Δ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $2 b cos B = a cos C + c cos A$ ，则 $B =$ ．

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15. 设 $f (x) = a \sin 2 x + b \cos 2 x$ ，其中 $a ， b \in R$ ， $a b \neq 0$ ，若 $f (x) \leq | f (\frac{π}{6}) |$ 对一切 $x \in R$ 恒成立，则对于以下四个结论：
① $f (\frac{11 π}{12}) = 0$ ；

② $| f (\frac{7 π}{10}) | < | f (\frac{π}{5}) |$ ；

③ $f (x)$ 既不是奇函数也不是偶函数；

④ $f (x)$ 的单调递增区间是 $[k π + \frac{π}{6} ， k π + \frac{2 π}{3}] (k \in Z)$ ．

正确的是（写出所有正确结论的编号）．

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三、解答题

16. 已知平面上三点A，B，C． $\vec{B C} = (2 - k ， 3)$ ， $\vec{A C} = (2 ， - 4)$ ．

(1)、若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；

(2)、若 $△ A B C$ 中角C为钝角，求k的取值范围．

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17. 已知 $α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ， $\sin α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ．

(1)、求 $\sin (α + \frac{π}{4})$ 的值；

(2)、求 $\cos (2 α - \frac{5 π}{6})$ 的值．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中，D为边BC上一点， $A D = 6$ ， $B D = 3$ ， $D C = 2$ .

(1)、若 $∠ A D B = \frac{π}{2}$ ，求 $∠ B A C$ 的大小；

(2)、若 $∠ A D B = \frac{2 π}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 已知函数 $f (x) = 2 \cos^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{2} ， π]$ 上的最小值和最大值.

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20. 在 $△ A B C$ 中， $\cos A = \frac{7}{8}$ ， $c = 3$ ，且 $b \neq c$ ，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求：
条件①： $\sin B = 2 \sin A$ ；

条件②： $\sin A + \sin B = 2 \sin C$ ．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

(1)、 $b$ 的值；

(2)、 $△ A B C$ 的面积．

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