天津市南开区2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-07-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，集合 $B = {x | x^{2} > 4}$ ，则 $A \cap ∁_{R} B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${- 1 ， 1}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 1 ， 2}$

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2. 已知P(B|A)＝ $\frac{1}{3}$ ，P(A)＝ $\frac{2}{5}$ ，则P(AB)等于（）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{9}{10}$ C、 $\frac{2}{15}$ D、 $\frac{1}{15}$

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3. 对于实数 $x ， y \in R$ ，“ $x y < 1$ ”是“ $0 < x < \frac{1}{y}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知函数 $f (x) = \frac{6}{x} - \log_{2} x$ ，在下列区间中，包含 $f (x)$ 零点的区间是

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 4)$ D、 $(4 ， + \infty)$

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5. 在一组样本数据（x₁ ， y₁），（x₂ ， y₂），…，（x_n ， y_n）（n≥2，x₁ ， x₂ ， …，x_n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x_i ， y_i）(i=1，2，…，n)都在直线y= $\frac{1}{2}$ x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）

A、－1 B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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6. 已知 $a = {(\frac{1}{2})}^{- 0.3} ， b = \log_{2} \frac{1}{3} ， c = 2 \ln \frac{3}{2}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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7. 已知1号箱中有2个白球和4个红球、2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（）

A、 $\frac{11}{27}$ B、 $\frac{11}{24}$ C、 $\frac{8}{27}$ D、 $\frac{9}{24}$

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8. 一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下，根据下表可得回归方程 $\hat{y} = 8 x + 11$ ，则实数 $a$ 的值为（）

零件数 $x$ （个）

2

3

4

5

加工时间 $y$ （分钟）

30

$a$

40

50

A、34 B、35 C、36 D、37

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9. 设 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数， $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则 $f (x)$ 的图象最有可能的是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{x} - 1 ， 0 \leq x \leq 2 ， \\ - x^{2} ， - 2 \leq x < 0 ， \end{matrix} g (x) = a x + 1$ ，对 $\forall x_{1} \in [- 2 ， 2] ， \exists x_{2} \in [- 2 ， 2]$ ，使 $g (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， 1]$ B、 $[1 ， \frac{5}{2}]$ C、 $[- 2 ， 2]$ D、 $[- \frac{5}{2} ， \frac{5}{2}]$

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二、填空题

11. 下面是一个 $2 \times 2$ 列联表，则表中a处的值为．

$y_{1}$

$y_{2}$

合计

$x_{1}$

a

b

73

$x_{2}$

2

25

c

合计

d

46

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12. 计算： $\log_{\frac{1}{2}} 3 \cdot \log_{9} 8^{\frac{2}{3}} =$ ．

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13. 将甲､乙､丙､丁4名志愿者分配到 $A ， B ， C$ 三个小组，每个小组至少分配1人，其中甲､乙两人被分配到同一小组的不同分法的种数为．

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14. 若随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ， $P (μ - σ < ξ < μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < ξ < μ + 2 σ) = 0.9545$ ，设 $ξ \sim N (1 ， σ^{2})$ ，且 $P (ξ \geq 3) = 0.15865$ ，则 $σ =$ ．

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15. 已知正实数 $a ， b$ 满足 $9 a^{2} + b^{2} = 1$ ，则 $\frac{a b}{3 a + b}$ 的最大值为

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三、解答题

16. 已知在 ${(\sqrt[3]{x} - \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是 $14 ： 3$ ．

(1)、求n的值；

(2)、求展开式的各项系数的和；

(3)、求展开式中所有的有理项．

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17. 为提高学生的数学学习兴趣，某学校组建了计算机软件应用和数学建模两个兴趣小组，同学们可以选择参加一个兴趣小组､参加两个兴趣小组或不参加．已知参加计算机软件应用小组的占60%，参加数学建模小组的占75%，假设每名同学的选择是相互独立的，且各个人的选择相互之间没有影响．

(1)、任选一名同学，求该同学参加兴趣小组的概率；

(2)、任选3名同学，记 $ξ$ 为3人中参加兴趣小组的人数，求 $ξ$ 的分布列与数学期望．

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18. 设 $f (x) 是 R 上的$ 奇函数，且对任意的实数 $a ， b$ 当 $a + b \neq 0$ 时，都有 $\frac{f (a) + f (b)}{a + b} > 0$

(1)、若 $a > b$ ，试比较 $f (a) ，_{} f (b)$ 的大小；

(2)、若存在实数 $x \in [\frac{1}{2} ， \frac{3}{2}]$ 使得不等式 $f (x - c) + f (x - c^{2}) > 0$ 成立，试求实数 $c$ 的取值范围．

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19. 某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关．某同学只能背诵其中的6篇，试求：

(1)、抽到他能背诵的古诗词的数量的概率分布；

(2)、他能过关的概率．

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20. 设函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + a \ln x (a < 0)$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 的图象在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线斜率为 $\frac{1}{2}$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、设 $g (x) = x^{2} - (1 - a) x$ ，当 $a \leq - 1$ 时，讨论 $f (x)$ 与 $g (x)$ 图象交点的个数．

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零件数 $x$ （个）	2	3	4	5
加工时间 $y$ （分钟）	30	$a$	40	50

	$y_{1}$	$y_{2}$	合计
$x_{1}$	a	b	73
$x_{2}$	2	25	c
合计	d	46