湖南省娄底市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-07-07 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 2021的倒数是（）

A、 2021 B、－2021 C、 $\frac{1}{2021}$ D、 $- \frac{1}{2021}$

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2. 下列式子正确的是（）

A、 $a^{3} - a^{2} = a$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{6}$ C、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ D、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$

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3. 2021年5月19日，第三届阿里数学竞赛预选赛顺利结束，本届大赛在全球范围内吸引了约5万名数学爱好者参加.阿里数学竞赛旨在全球范围内引领开启关注数学、理解数学、欣赏数学、助力数学的科学风尚.5万用科学记数法表示为（）

A、 $0.5 \times 10^{5}$ B、 $5 \times 10^{4}$ C、 $50 \times 10^{4}$ D、 $5 \times 10^{5}$

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4. 一组数据 $17，10，5，8，5，15$ 的中位数和众数是（）

A、5，5 B、8，5 C、9，5 D、10，5

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5. 如图，点 $E ， F$ 在矩形 $A B C D$ 的对角线 $B D$ 所在的直线上， $B E = D F$ ，则四边形 $A E C F$ 是（）

A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形

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6. 如图， $A B / / C D$ ，点 $E ， F$ 在 $A C$ 边上，已知 $∠ C E D = 70 ° ， ∠ B F C = 130 °$ ，则 $∠ B + ∠ D$ 的度数为（）

A、 $40 °$ B、 $50 °$ C、 $60 °$ D、 $70 °$

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7. 从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、1

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8. $2 ， 5 ， m$ 是某三角形三边的长，则 $\sqrt{{(m - 3)}^{2}} + \sqrt{{(m - 7)}^{2}}$ 等于（）

A、 $2 m - 10$ B、 $10 - 2 m$ C、10 D、4

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9. 如图，直线 $y = x + b$ 和 $y = k x + 4$ 与x轴分别相交于点 $A (- 4 ， 0)$ ，点 $B (2 ， 0)$ ，则 ${\begin{matrix} x + b > 0 \\ k x + 4 > 0 \end{matrix}$ 解集为（）

A、 $- 4 < x < 2$ B、 $x < - 4$ C、 $x > 2$ D、 $x < - 4$ 或 $x > 2$

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10. 如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙ $A$ 与直线 $l ： y = \frac{5}{12} x$ 只有一个公共点时，点A的坐标为（）

A、 $(- 12 ， 0)$ B、 $(- 13 ， 0)$ C、 $(\pm 12 ， 0)$ D、 $(\pm 13 ， 0)$

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11. 根据反比例函数的性质、联系化学学科中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判定下列有关函数 $y = \frac{x}{a + x}$ （a为常数且 $a > 0 ， x > 0$ ）的性质表述中，正确的是（）
①y随x的增大而增大；②y随x的增大而减小；③ $0 < y < 1$ ；④ $0 \leq y \leq 1$

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

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12. 用数形结合等思想方法确定二次函数 $y = x^{2} + 2$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象的交点的横坐标 $x_{0}$ 所在的范围是（）

A、 $0 < x_{0} \leq \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4} < x_{0} \leq \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2} < x_{0} \leq \frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{4} < x_{0} \leq 1$

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二、填空题

13. 函数 $y = \sqrt{x - 1}$ 中自变量x的取值范围是.

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14. 如图所示的扇形中，已知 $O A = 20 ， A C = 30 ， \overset{⌢}{A B} = 40$ ，则 $\overset{⌢}{C D} =$ .

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15. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C = 2 ， P$ 是 $B C$ 上任意一点， $P E ⊥ A B$ 于点 $E ， P F ⊥ A C$ 于点F，若 $S_{△ A B C} = 1$ ，则 $P E + P F =$ .

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16. 已知 $t^{2} - 3 t + 1 = 0$ ，则 $t + \frac{1}{t} =$ .

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17. 高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行.如图，用平行四边形 $A B C D$ 表示一个“鱼骨”， $A B$ 平行于车辆前行方向， $B E ⊥ A B ， ∠ C B E = α$ ，过B作 $A D$ 的垂线，垂足为 $A^{'}$ （A点的视觉错觉点），若 $\sin α = 0.05 ， A B = 300 mm$ ，则 $A A^{'} =$ $mm$ .

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18. 弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作 $1 rad$ .已知 $α = 1 rad ， β = 60 °$ ，则 $α$ 与 $β$ 的大小关系是 $α$ $β$ .

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三、解答题

19. 计算： ${(\sqrt{2021} - π)}^{0} + \frac{1}{\sqrt{2} + 1} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} - 2 \cos 45 °$ .

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20. 先化简，再求值： $\frac{x - 3}{x - 1} \cdot (1 - \frac{2 x - 10}{x^{2} - 9})$ ，其中x是 $1 ， 2 ， 3$ 中的一个合适的数.

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21. “读书，点亮未来”，广泛的课外阅读是同学们搜集和汲取知识的一条重要途径.学校图书馆计划购进一批学生喜欢的图书，为了了解学生们对“A文史类、B科普类、C生活类、D其它”的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每个学生只选其中一类），将所得数据进行分类统计绘制了如下不完整的统计图表，请根据图中的信息，解答下列问题：

统计表：

	频数	频率
A历史类	50	m
B科普类	90	0.45
C生活类	n	0.20
D其它	20	0.10
合计

(1)、本次调查的学生共人；

(2)、

m =

，

n =

；

(3)、补全条形统计图.

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22. 我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心.当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角 $∠ D P A$ 为 $30 °$ 且A与P两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升75秒后到达B处，此时在P处测得B点的仰角 $∠ D P B$ 为 $45 °$ ，求天舟二号从A处到B处的平均速度.（结果精确到 $1 m / s$ ，取 $\sqrt{3} = 1.732 ， \sqrt{2} = 1.414$ ）

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23. 为了庆祝中国共产党建党一百周年，某校举行“礼赞百年，奋斗有我”演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生.已知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元.

(1)、求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元；

(2)、若要购买这两种纪念品共100个，投入资金不少于766元又不多于800元，问有多少种购买方案？并求出所花资金的最小值.

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24. 如图，点A在以 $B C$ 为直径的⊙ $O$ 上， $∠ A B C$ 的角平分线与 $A C$ 相交于点E，与⊙ $O$ 相交于点D，延长 $C A$ 至M，连结 $B M$ ，使得 $M B = M E$ ，过点A作 $B M$ 的平行线与 $C D$ 的延长线交于点N.

(1)、求证： $B M$ 与⊙ $O$ 相切；

(2)、试给出 $A C ， A D ， C N$ 之间的数量关系，并予以证明.

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25. 如图①， $E 、 F$ 是等腰 $R t △ A B C$ 的斜边 $B C$ 上的两动点， $∠ E A F = 45 ° ， C D ⊥ B C$ 且 $C D = B E$ .

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ A C D$ ；

(2)、求证： $E F^{2} = B E^{2} + C F^{2}$ ；

(3)、如图②，作 $A H ⊥ B C$ ，垂足为H，设 $∠ E A H = α ， ∠ F A H = β$ ，不妨设 $A B = \sqrt{2}$ ，请利用（2）的结论证明：当 $α + β = 45 °$ 时， $\tan (α + β) = \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \cdot \tan β}$ 成立.

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26. 如图，在直角坐标系中，二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴相交于点 $A (- 1 ， 0)$ 和点 $B (3 ， 0)$ ，与y轴交于点C.

(1)、求 $b 、 c$ 的值；

(2)、点 $P (m ， n)$ 为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线 $l ： y = x$ 于点Q.
①当 $0 < m < 3$ 时，求当P点到直线 $l ： y = x$ 的距离最大时m的值；

②是否存在m，使得以点 $O 、 C 、 P 、 Q$ 为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值.

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