天津市和平区2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-07-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列运算正确的是（）

A、 ${(- \frac{1}{x})}^{'} = - \frac{1}{x^{2}}$ B、 ${(x^{3} + 1)}^{'} = 3 x^{2} + 1$ C、 ${(\log_{2} x)}^{'} = \frac{1}{x \ln 2}$ D、 ${(\cos x)}^{'} = \sin x$

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2. 现从3名男医生和4名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A表示事件“抽到的两名医生性别相同”， $B$ 表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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3. 已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：

x

2

4

5

6

8

y

30

40

50

60

70

根据上表可得回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，计算得 $\hat{b} = 7$ ，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为（）

A、75万元 B、85万元 C、99万元 D、105万元

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4. 若 ${(\sqrt{x} + \frac{2}{x^{2}})}^{n}$ 展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是（）

A、360 B、180 C、90 D、45

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5. 中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数 $1 ~ 9$ 的一种方法．例如：3可表示为“ $\equiv$ ”，26可表示为“ $= ⊥$ ”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用 $1 ~ 9$ 这9数字表示两位数的个数为（）

A、13 B、14 C、15 D、16

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6. 设函数 $f (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{3}) (x \in R)$ ，下列结论中错误的是（）

A、 $f (x)$ 的一个周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 的最大值为2 C、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{2 π}{3})$ 上单调递减 D、 $f (x + \frac{π}{3})$ 的一个零点为 $x = \frac{π}{6}$

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7. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} + 2 a x + \ln x$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上为增函数，则实数a的取值范围是（）

A、 $[0 ， 1]$ B、 $[0 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， 1)$

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8.
如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（　　）

A、96 B、84 C、60 D、48

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln x ， x \geq 1 \\ \frac{1}{e} (x + 2) (x - a) ， x < 1 \end{array}$ （ $a$ 为常数， $e$ 为自然对数的底数）的图象在点 $A (e ， 1)$ 处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $- 3 - 2 \sqrt{2} < a < - 3 + 2 \sqrt{2}$ B、 $a < - 2$ 或 $- 3 + 2 \sqrt{2} < a < \frac{2}{3}$ C、 $- 3 + 2 \sqrt{2} < a$ D、 $a < - 3 - 2 \sqrt{2}$ 或 $- 3 + 2 \sqrt{2} < a < \frac{2}{3}$

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二、填空题

10. 求值 $\cos 330 ° =$ .

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11. 随机变量ξ服从正态分布N(1，σ²)，已知P(ξ<0)=0.3，则P(ξ<2)=.

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12. 已知随机变量 $ξ ~ B (n ， p)$ ，且 $E ξ = 6$ ， $D ξ = 3$ ，则 $n =$ .

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13. ${(3 x - 1)}^{5}$ 的展开式中，设各项的系数和为a ，各项的二项式系数和为b ，则 $\frac{a}{b} =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ ( $A > 0 ， ω > 0$ ， $- π < φ < 0$ )的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式为 $f (x) =$ .

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15. 用1，2，3，4，5，6组成六位数(没有重复数字)，要求任何两个相邻数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是.

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三、解答题

16. 已知 $α ， β$ 为锐角， $\tan α = \frac{4}{3}$ ， $\cos (α + β) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ 。

(1)、求 $\cos 2 α$ 的值。

(2)、求 $\tan (α - β)$ 的值。

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17. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量 $ξ$ 表示所选3人中女生的人数.

(1)、求 $ξ$ 的分布列；

(2)、求 $ξ$ 的数学期望；

(3)、求“所选3人中女生人数 $ξ \leq 1$ ”的概率.

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18. 已知 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ 在 $x = 1$ 与 $x = - \frac{2}{3}$ 时都取得极值．

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、若 $f (- 1) = \frac{3}{2}$ ，求 $f (x)$ 的单调区间和极值。

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19. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) - \sin (x + π)$ ，

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域和最小正周期；

(2)、若将函数 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，然后再向右平移 $φ$ ( $φ > 0$ )个单位长度，所得函数的图象关于 $y$ 轴对称，求 $φ$ 的最小值.

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20. 设 $f (x) = x - a e^{x}$ ( $a \in R$ )， $x \in R$ ，

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间：

(2)、已知函数 $y = f (x)$ 有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，
（i）求 $a$ 的取值范围；

（ii）证明： $\frac{x_{2}}{x_{1}}$ 随着 $a$ 的减小而增大.

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