河南省2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-07-07 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 实数-2的绝对值是（）

A、-2 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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2. 河南人民济困最“给力！”，据报道，2020年河南人民在济困方面捐款达到 $2.94$ 亿元数据“ $2.94$ 亿”用科学记数法表示为（）

A、 $2.94 \times 10^{7}$ B、 $2.94 \times 10^{8}$ C、 $0.294 \times 10^{6}$ D、 $0.294 \times 10^{9}$

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3. 如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列运算正确的是（）

A、 ${(- a)}^{2} = - a^{2}$ B、 $2 a^{2} - a^{2} = 2$ C、 $a^{2} \cdot a = a^{3}$ D、 ${(a - 1)}^{2} = a^{2} - 1$

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5. 如图， $a // b$ ， $∠ 1 = 60 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $90 °$ B、 $100 °$ C、 $110 °$ D、 $120 °$

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6. 关于菱形的性质，以下说法不正确的是（）

A、四条边相等 B、对角线相等 C、对角线互相垂直 D、是轴对称图形

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7. 若方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 没有实数根，则 $m$ 的值可以是（）

A、-1 B、 $0$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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8. 现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同.把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{1}{12}$

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9. 如图， $▱ O A B C$ 的顶点 $O (0 ， 0)$ ， $A (1 ， 2)$ ，点 $C$ 在 $x$ 轴的正半轴上，延长 $B A$ 交 $y$ 轴于点 $D$ .将 $△ O D A$ 绕点 $O$ 顺时针旋转得到 $△ O D^{'} A^{'}$ ，当点 $D$ 的对应点 $D^{'}$ 落在 $O A$ 上时， $D^{'} A^{'}$ 的延长线恰好经过点 $C$ ，则点 $C$ 的坐标为（）

A、 $(2 \sqrt{3} ， 0)$ B、 $(2 \sqrt{5} ， 0)$ C、 $(2 \sqrt{3} + 1 ， 0)$ D、 $(2 \sqrt{5} + 1 ， 0)$

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10. 如图1，矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为 $B C$ 的中点，点 $P$ 沿 $B C$ 从点 $B$ 运动到点 $C$ ，设 $B$ ， $P$ 两点间的距离为 $x$ ， $P A - P E = y$ ，图2是点 $P$ 运动时 $y$ 随 $x$ 变化的关系图象，则 $B C$ 的长为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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二、填空题

11. 若代数式 $\frac{1}{x - 1}$ 有意义，则实数x的取值范围是.

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12. 请写出一个图象经过原点的函数的解析式.

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13. 某外贸公司要出口一批规格为 $200$ 克/盒的红枣，现有甲、乙两个厂家提供货源，它们的价格相同，品质也相近.质检员从两厂的产品中各随机抽取 $15$ 盒进行检测，测得它们的平均质量均为 $200$ 克，每盒红枣的质量如图所示，则产品更符合规格要求的厂家是.（填“甲”或“乙”）

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14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 $1$ ，点 $A$ ， $B$ ， $D$ 均在小正方形的顶点上，且点 $B$ ， $C$ 在 $\overset{⌢}{A D}$ 上， $∠ B A C = 22.5 °$ ，则 $\overset{⌢}{B C}$ 的长为.

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15. 小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A C = 1$ .第一步，在 $A B$ 边上找一点 $D$ ，将纸片沿 $C D$ 折叠，点 $A$ 落在 $A^{'}$ 处，如图2，第二步，将纸片沿 $C A^{'}$ 折叠，点 $D$ 落在 $D^{'}$ 处，如图3.当点 $D^{'}$ 恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段 $A^{'} D^{'}$ 的长为.

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三、解答题

16.

(1)、计算： $3^{- 1} - \sqrt{\frac{1}{9}} + {(3 - \sqrt{3})}^{0}$ ；

(2)、化简： $(1 - \frac{1}{x}) \div \frac{2 x - 2}{x^{2}}$ .

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17. 2021年4月，教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确要求初中生每天睡眠时间应达到9小时.某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从本校学生中随机抽取500名进行卷调查，并将调查结果用统计图描述如下.

调查问卷

1近两周你平均每天睡眠时间大约是小时.

如果你平均每天睡眠时间不足9小时，请回答第2个问题

2影响你睡眠时间的主要原因是 .（单选）

A.校内课业负担重 B.校外学习任务重 C.学习效率低 D.其他

平均每天睡眠时间 $x$ （时）分为 $5$ 组：① $5 \leq x < 6$ ；② $6 \leq x < 7$ ；③ $7 \leq x < 8$ ；④ $8 \leq x < 9$ ；⑤ $9 \leq x < 10$ .

根据以上信息，解答下列问题：

(1)、本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第（填序号）组，达到

9

小时的学生人数占被调查人数的百分比为；

(2)、请对该校学生睡眠时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议.

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18. 如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象与大正方形的一边交于点A(1，2)，且经过小正方形的顶点B.

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、求图中阴影部分的面积.

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19. 开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像.某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度.如图，他们选取的测量点 $A$ 与佛像 $B D$ 的底部 $D$ 在同一水平线上.已知佛像头部 $B C$ 为 $4 m$ ，在 $A$ 处测得佛像头顶部 $B$ 的仰角为 $45 °$ ，头底部 $C$ 的仰角为 $37.5 °$ ，求佛像 $B D$ 的高度（结果精确到 $0.1 m$ .参考数据： $\sin 37.5 ° \approx 0.61$ ， $\cos 37.5 ° \approx 0.79$ ， $\tan 37.5 ° \approx 0.77$ ）

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20. 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆” $A P$ ， $B P$ 的连接点 $P$ 在 $⊙ O$ 上，当点 $P$ 在 $⊙ O$ 上转动时，带动点 $A$ ， $B$ 分别在射线 $O M$ ， $O N$ 上滑动， $O M ⊥ O N$ .当 $A P$ 与 $⊙ O$ 相切时，点 $B$ 恰好落在 $⊙ O$ 上，如图2.

请仅就图2的情形解答下列问题.

(1)、求证： $∠ P A O = 2 ∠ P B O$ ；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为 $5$ ， $A P = \frac{20}{3}$ ，求 $B P$ 的长.

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21. 猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销.小李在某网店选中 $A$ ， $B$ 两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售.两款玩偶的进货价和销售价如下表：

类别

价格

$A$ 款玩偶

$B$ 款玩偶

进货价（元/个）

40

30

销售价（元/个）

56

45

(1)、第一次小李用1100元购进了 $A$ ， $B$ 两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个；

(2)、第二次小李进货时，网店规定 $A$ 款玩偶进货数量不得超过 $B$ 款玩偶进货数量的一半.小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？

(3)、小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？
（注：利润率 $= \frac{利润}{成本} \times 100 %$ ）

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22. 如图，抛物线 $y = x^{2} + m x$ 与直线 $y = - x + b$ 交于点A(2，0)和点 $B$ .

(1)、求 $m$ 和 $b$ 的值；

(2)、求点 $B$ 的坐标，并结合图象写出不等式 $x^{2} + m x > - x + b$ 的解集；

(3)、点 $M$ 是直线 $A B$ 上的一个动点，将点 $M$ 向左平移 $3$ 个单位长度得到点 $N$ ，若线段 $M N$ 与抛物线只有一个公共点，直接写出点 $M$ 的横坐标 $x_{M}$ 的取值范围.

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23. 下面是某数学兴趣小探究用不同方法作一角的平分线的讨论片段.请仔细阅读，并完成相应的任务.

小明：如图1，（1）分别在射线 $O A$ ， $O B$ 上截取 $O C = O D$ ， $O E = O F$ （点 $C$ ， $E$ 不重合）；（2）分别作线段 $C E$ ， $D F$ 的垂直平分线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，交点为 $P$ ，垂足分别为点 $G$ ， $H$ ；（3）作射线 $O P$ ，射线 $O P$ 即为 $∠ A O B$ 的平分线.简述理由如下：

由作图， $∠ P G O = ∠ P H O = 90 °$ ， $O G = O H$ ， $O P = O P$ ，所以 $Rt △ P G O ≌ Rt △ P H O$ ，则 $∠ P O G = ∠ P O H$ ，即射线 $O P$ 是 $∠ A O B$ 的平分线.

小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是大麻烦了，可以改进如下，如图2.（1）分别在射线 $O A$ ， $O B$ 上截取 $O C = O D$ ， $O E = O F$ （点 $C$ ， $E$ 不重合）；（2）连接 $D E$ ， $C F$ ，交点为 $P$ ；（3）作射线 $O P$ ，射线 $O P$ 即为 $∠ A O B$ 的平分线.

……

任务：

(1)、小明得出

Rt △ P G O ≌ Rt △ P H O

的依据是.（填序号）

① $S S S$ ；② $S A S$ ；③ $A A S$ ；④ $A S A$ ；⑤ $H L$ .

(2)、小军作图得到的射线

O P

是

∠ A O B

的平分线吗？请判断并说明理由；

(3)、如图3，已知

∠ A O B = 60 °

，点

E

，

F

分别在射线

O A

，

O B

上，且

O E = O F = \sqrt{3} + 1

.点

C

，

D

分别为射线

O A

，

O B

上的动点，且

O C = O D

，连接

D E

，

C F

，交点为

P

，当

∠ C P E = 30 °

时，直接写出线段

O C

的长.

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