天津市滨海新区2020-2021学年高二下学期期末数学试题

试卷更新日期：2021-07-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 9}$ ， $B = {1 ， 4 ， 6 ， 9}$ ，则 $A \cap B$ 等于（）

A、 ${4 ， 6 ， 9}$ B、 ${1 ， 2 ， 8}$ C、 ${1 ， 2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 9}$ D、 ${4 ， 6}$

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2. 下列函数中，在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = {(\frac{1}{2})}^{x}$ B、 $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ C、 $y = 2^{x}$ D、 $y = x^{- 1}$

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3. 设 $a \in R$ ，则“ $a^{2} - 1 \geq 0$ ”是“ $a \leq - 1$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分也非必要条件

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4. 如图，现要用四种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法数为（）

A、48 B、36 C、42 D、32

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5. 在5道试题中有3道填空题和2道选择题，不放回地依次随机抽取2道题，在第1次抽到填空题的条件下，第2次抽到选择题的概率为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{1}{10}$

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6. 对两个变量 $x ， y$ 相关性正确的描述是（）

A、两个变量有相关性，则一定是线性相关 B、若两个具有线性相关关系的变量满足 $L_{x y} < 0$ ，则这两个变量正相关 C、两个变量负相关，则一个变量增大时，另外一个变量也增大 D、两个具有线性相关关系的变量，若线性相关系数 $| r |$ 的值越接近于1，则相关性越强

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7. 若 $a = \log_{5} 0.3 ， b = {0.3}^{5} ， c = \log_{0.4} 0.3$ ，则 $a ， b ， c$ 三者的大小关系为（）

A、 $b > c > a$ B、 $c > b > a$ C、 $c > a > b$ D、 $b > a > c$

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8. 函数 $f (x) = \frac{4 x}{x^{2} - 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 给定函数 $f (x) = x + 2 ， g (x) = 4 - x^{2} ，$ 对于 $\forall x \in R ，$ 用 $M (x)$ 表示 $f (x) ， g (x)$ 中的较小者，记为 $M (x) = \min {f (x) ， g (x)}$ ，则 $M (x)$ 的最大值为（）

A、0 B、1 C、3 D、4

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10. 从某学校获取了数量为400的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如面表格：语文成绩优秀的人中数学成绩优秀的频率为

m

，通过计算

χ^{2} \approx 40 > 10.828 = x_{0.001}

，则（）

数学	语文		合计
数学	不优秀	优秀
不优秀	210	60	270
优秀	60	70	130
合计	270	130	400

A、

m = \frac{7}{13}

，数学成绩与语文成绩无关联 B、

m = \frac{6}{13}

，数学成绩与语文成绩无关联 C、

m = \frac{7}{13}

，数学成绩与语文成绩有关联且该推断犯错误的概率不超过0.001 D、

m = \frac{6}{13}

，数学成绩与语文成绩有关联且该推断犯错误的概率不超过0.001

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11. 给出下面四个命题：
①函数 $f (x) = 2^{x} - x^{2}$ 在(3，5)内存在零点；

②函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} + 2} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}} （ x \in R ）$ 的最小值是2；

③若 $a < b < 0 ，$ 则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ；

④命题的“ $\exists x < 0 ， x^{2} - x - 2 < 0$ ”否定是“ $\forall x \geq 0 ， x^{2} - x - 2 \geq 0$ ”

其中真命题个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 4 x - 2 ， x > 1 \\ \frac{1}{2} | x + 1 | ， x \leq 1 \end{array}$ ，函数 $g (x) = f (x) - k x$ 有三个零点，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{1}{2} ， 0) \cup (1 ， 4 - 2 \sqrt{2})$ B、 $(- \frac{1}{2} ， 0)$ C、 $(1 ， 4 - 2 \sqrt{2}]$ D、 $(1 ， 4 - 2 \sqrt{2})$

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二、填空题

13. 已知 $X \sim N (1 ， δ^{2})$ 若 $P (1 < X < 2) = 0.4$ 则 $P (X < 0) =$ .

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14. 某种型号的飞机从着陆到停止，滑行路程 $s$ (米)与着陆时间 $t$ (秒)之间的函数关系为： $s = 60 t - 1.5 t^{2}$ ，则此飞机着陆后滑行5秒时的瞬时速度是米/秒.

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15. 甲和乙两个箱子中各有若干个大小相同､质地均匀的小球，其中甲､乙两箱中球的个数比为2：3，甲箱中红球占40%，乙箱中红球占50%，现将两箱内的球混在一起，从中任取一个球，取到红球的概率为.

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16. 某人设计的电脑开机密码由A､B､C､D中两个不同的英文字母后接两个数字组成，则该密码可能的个数是.(用数字作答)

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17. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - x \ln x ，$ 对于 $\forall n \in N^{*}$ ，函数 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{e^{n}} ， + \infty)$ 上都是单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是.

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18. 已知 ${(\sqrt[3]{x} - \frac{2}{x^{2}})}^{n}$ 的展开式中所有二项式系数和为 $128$ ，则 $n =$ ；二项式展开式中常数项是.

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19. 生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高具有较强的正相关性，某体育老师调查了大学三年级某班所有男生的身高和父亲的身高(单位：cm)，利用最小二乘法计算出 $\hat{b} = 0.84$ ， $\hat{a} = 29$ ，则儿子的身高y与父亲的身高 $x$ 的线性回归方程是，据此估计其它班级，如果父亲的身高增加10cm，儿子的身高平均增加 cm.

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20. 已知 $a ， b$ 均为正实数，则 ${(a + 4 b)}^{2} + \frac{4}{a b}$ 的最小值为，此时 $a + b$ =.

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三、解答题

21. 从3名男老师和2名女老师中，随机选3人做课改示范课，

(1)、求选出的老师中既有男老师又有女老师的概率；

(2)、记选出的男老师人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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22. 某学校有戏曲和书法两个国学文化校本课程班，高二一班有四名学生报名，每人必须且只能报一个班，每个人报名戏曲班的概率都是 $\frac{1}{3}$ ，用 $X ， Y$ 分别表示这4个人中参加戏曲和书法班的人数.

(1)、求4个人都报名书法班的概率；

(2)、求 $P (X = 3)$ 和 $E (X)$ ；

(3)、记 $ξ = | X - Y |$ ，求随机变量 $ξ$ 的分布列与数学期望 $E (ξ)$ .

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23. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + b x^{2} + (b + 2) x + 3$ ．

(1)、若 $b = - 2$ ，
（i）求函数 $f (x)$ 的极值；

（ii）对于 $x \in [- 1 ， 5]$ 都有 $f (x) \leq 2 m$ 成立，求 $m$ 的最小整数值．

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上不是单调函数，求 $b$ 的取值范围．

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24. 已知函数 $f (x) = x \ln x$ ， $g (x) = \frac{1}{2} (1 - e^{x})$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求证： $f (x)$ 在定义域内有且只有一个零点；

(3)、若存在 $x_{0} \in (0 ， m]$ ，使得 $f (x_{0}) - x_{0} \leq g (m)$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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