青海省大通、湟中、北镇2021届高三文数摸底联考试卷

试卷更新日期：2021-07-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数 $z = i - i^{2}$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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2. 已知集合 $A = {x | 2 x^{2} < 1}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， \frac{1}{2} ， 1 ， 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， \frac{1}{2} ， 1 ， 2}$ B、 ${0 ， \frac{1}{2} ， 1}$ C、 ${0 ， \frac{1}{2}}$ D、 ${- 1 ， 0 ， \frac{1}{2} ， 1}$

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3. 若 $a = 2^{0.1}$ ， $b = {(\frac{1}{2})}^{- 0.2}$ ， $c = \log_{2} 0.1$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $b > c > a$ C、 $a > b > c$ D、 $a > c > b$

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4. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y \leq 0 \\ 2 x - y \geq 0 \\ y \leq 2 \end{array}$ ，则 $z = 3 x + 2 y$ 的最大值是（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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5. 将一个正六面体的骰子连掷两次，则它们的点数相同的概率是（）

A、 $\frac{5}{36}$ B、 $\frac{7}{36}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{9}$

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6. 已知 $\vec{a} = (1 ， \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (- \sqrt{3} ， - 1)$ ，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{7 π}{12}$

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7. 三个学生在校园内踢足球，“砰”的一声，不知道是谁踢的球把教室窗户的玻璃打破了，老师跑过来一看，问：“是谁打破了玻璃窗户”.甲说：“是乙打破的”；乙说：“是丙打破的”；丙说：“是乙打破的”，如果这三个孩子中只有一个人说了实话，则打破玻璃窗户的是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、不能确定

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8. 《九章算术》一书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第二十日所织尺数为（）

A、18 B、20 C、19 D、21

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9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{5}$

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10. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 图象上相邻的两条对称轴间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，则该函数图象的对称中心可能是（）

A、 $(- \frac{π}{4} ， 0)$ B、 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ C、 $(\frac{π}{3} ， 0)$ D、 $(\frac{π}{6} ， 0)$

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11. 函数 $f (x) = \frac{x}{\sqrt{e^{x} + e^{- x}}}$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知抛物线 $C ： y^{2} = x$ ，点 $P$ 为抛物线 $C$ 上任意一点，则点 $P$ 到直线 $x - y + 2 = 0$ 的最小距离为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{7 \sqrt{2}}{8}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{8}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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二、填空题

13. 已知 $\tan θ = 2$ ，则 $\tan (θ - \frac{π}{4}) =$ .

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14. 直线 $y = \sqrt{3} x + 1$ 被圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 截得的弦长为.

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15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，过双曲线的右焦点 $F$ 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为 $M$ 、 $N$ ，若四边形 $F M O N$ 为正方形，则双曲线 $C$ 的离心率为.

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16. 如图，已知正四面体 $P - A B C$ 的棱长为2，动点 $M$ 在四面体侧面 $P A C$ 上运动，并且总保持 $M B ⊥ P A$ ，则动点 $M$ 的轨迹的长度为.

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三、解答题

17. A病毒是一种没有细胞结构的特殊生物.它的结构非常简单，由蛋白质外壳和内部的遗传物质组成.A病毒不能独立生存，必须生活在其他生物的细胞内.人体一旦感染病毒，可能会产生各种各样的疾病和症状对人体健康产生危害.为了检验B药物对感染A病毒的患者的疗效，利用小白鼠做如下试验：将1000只感染A病毒的小白鼠注入相同剂量的B药物，经过一段时间后用某种科学方法测算出小白鼠已经有效吸收B药物的百分比.根据试验数据，得到如下频率分布直方图：

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、估计小白鼠已经有效吸收B药物的百分比的平均值.（同组中的数据用该组区间的中点值为代表）

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18. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ D = 2 ∠ B = 120 °$ ， $A D = 2 D C = 2$ .

(1)、求 $A C$ 的长；

(2)、求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $E$ 为 $B P$ 的中点， $A B = 2$ ， $P A = A D = C D = 1$ .

(1)、证明： $E C / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求点 $A$ 到平面 $P C D$ 的距离.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，短轴长为2.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若点 $O$ 为坐标原点，点 $F$ 为椭圆 $C$ 的右焦点，斜率为1的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $P$ 、 $Q$ 两点，且 $P Q$ 均在 $x$ 轴的上方，记 $△ O F P$ 和 $△ O F Q$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，若 $S_{1} + S_{2} = \frac{1}{2}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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21. 已知函数 $f (x) = (x - a) e^{x} - \frac{1}{3} x^{3} (a \in R)$ .

(1)、求证： $e^{x} > x$ ；

(2)、当 $a \leq 1$ 时，求证： $f (x) \geq - 1$ .

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程是 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{3} + 2 \cos θ \\ y = 1 + 2 \sin θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = \frac{m}{2 \sin (θ - \frac{π}{3})} (m \in R)$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、设 $A$ ， $B$ 分别在曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 上运动，若 $| A B |$ 的最小值是1，求 $m$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 2 a |$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，解不等式 $f (x) + | x - a | \leq 5$ ；

(2)、若 $f (x) + | x - 1 | \leq 2$ 的解集包含 $[1, 2]$ ，求 $a$ 的取值范围.

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