宁夏银川市2021届高三理数考前适应性训练（一）

试卷更新日期：2021-07-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $M = {x | (x - 1) (x + 2) < 0}$ ， $N = {x | x ⩾ - 1}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(- 2 ， 1)$ B、 $[- 1 ， 1)$ C、 $[- 1 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， 1)$

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2. 命题“ $\exists x_{0} \in (0 ， + \infty)$ ， $\ln x_{0} = x_{0} - 1$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $\ln x \neq x - 1$ B、 $\forall x \notin (0 ， + \infty)$ ， $\ln x = x - 1$ C、 $\exists x_{0} \in (0 ， + \infty)$ ， $\ln x_{0} \neq x_{0} - 1$ D、 $\exists x_{0} \notin (0 ， + \infty)$ ， $\ln x_{0} = x_{0} - 1$

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3. 设复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且 $z_{1} = 1 + i$ ，则 $z_{1} \cdot \bar{z_{2}} =$ （）

A、 $- 2 - 2 i$ B、 $2 - 2 i$ C、 $- 2 i$ D、 $- 2$

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4. 《九章算术》中，将如图所示的几何体称为刍甍，底面ABCD为矩形，且 $E F ∥$ 底面ABCD，EF到平面ABCD的距离为h， $B C = a$ ， $A B = b$ ， $E F = c$ ，则 $\frac{V_{B - C D E F}}{V_{E - A B D}} = 2$ 时， $\frac{b}{c} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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5. 为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（）

A、乙的数据分析素养优于甲 B、乙的数学建模素养优于数学抽象素养 C、甲的六大素养整体水平优于乙 D、甲的六大素养中数据分析最差

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6. 已知随机变量服从正态分布N(3，4)，则 $E (2 ξ + 1)$ 与 $D (2 ξ + 1)$ 的值分别为（）

A、13，4 B、13，8 C、7，8 D、7，16

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7. 已知函数 $y = \sin (ω x + φ)$ $(ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ，且此函数的图象如图所示，则此函数的解析式可以是（）

A、 $y = \sin (2 x + \frac{π}{4})$ B、 $y = \sin (2 x + \frac{π}{8})$ C、 $y = \sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{4})$ D、 $y = \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{4})$

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8. 若等比数列{a_n}的前n项和为S_n ， $\frac{S_{8}}{S_{4}} = 3$ ，则 $\frac{S_{16}}{S_{4}}$ =（）

A、3 B、7 C、10 D、15

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9. 正实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a + \sin a = 2$ ， $b + 3^{b} = 3$ ， $c + \log_{4} c = 4$ ，则实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 之间的大小关系为（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < b < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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10. 设实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 1 \geq 0 ， \\ x - 3 y + 3 \leq 0 ， \\ x - y - 1 \leq 0 ， \end{matrix}$ 则 $z = | x - 2 y - 3 |$ 的取值范围为（）

A、 $[2 ， 5]$ B、 $[2 ， + \infty)$ C、 $[2 ， 4]$ D、 $[4 ， + \infty)$

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11. 在研究某高中高三年级学生的性别与是否喜欢某学科的关系时，总共调查了N个学生（ $N = 100 m ， m \in N^{*}$ ），其中男女学生各半，男生中60%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢；女生中40%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢．若有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，则可以推测N的最小值为（）
附 $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，

P（K²≥k）

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

A、400 B、300 C、200 D、100

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12. 已知点 $P (1 ， a) (a > 1)$ 在抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上，过 $P$ 作圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 的两条切线，分别交抛物线于点A，B，若直线AB的斜率为-1，则抛物线的方程为（）

A、 $y^{2} = 4 x$ B、 $y^{2} = 2 x$ C、 $y^{2} = x$ D、 $y^{2} = \frac{x}{4}$

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二、填空题

13. 二项式 ${(\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式中，仅有第六项的二项式系数取得最大值，则展开式中 $\sqrt{x}$ 项的系数是

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14. 已知 $f (x)$ 是定义在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上的函数，其导函数为 $f^{'} (x)$ ， $f (\frac{π}{3}) = 2 \sqrt{3}$ ，且 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ 时， $f^{'} (x) \sin x + f (x) \cos x > 0$ ，则不等式 $f (x) \sin x < 3$ 的解集为.

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15. 已知两条不同的直线 $l$ ， $m$ 和不重合的两个平面 $α$ ， $β$ ，且 $l ⊥ β$ ，有下面四个命题：
①若 $m ⊥ β$ ，则 $l // m$ ；

②若 $α // β$ ，则 $l ⊥ α$ ；

③若 $α ⊥ β$ ，则 $l // α$ ；

④若 $l ⊥ m$ ，则 $m // β$ .

其中真命题的序号是.

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16. 已知 $A$ (1，1)， $B$ (0，1)， $C$ (1，0)， $M$ 为线段 $B C$ 上一点，且 $\vec{C M} = λ \vec{C B}$ ，若 $\vec{M A} \cdot \vec{B C} > \vec{M B} \cdot \vec{M C}$ ，则实数 $λ$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知 $Δ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $2 a \cos A = \sqrt{3} (b \cos C + c \cos B)$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ， $B C$ 边上的高为3，求 $c$ .

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18. 如图， $P - A B C$ 是一个三棱锥， $A B$ 是圆的直径， $C$ 是圆上的点， $P C$ 垂直圆所在的平面， $D$ ， $E$ 分别是棱 $P B$ ， $P C$ 的中点.

(1)、求证： $D E ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若二面角 $A - D E - C$ 是 $45 °$ ， $A B = P C = 4$ ，求 $A E$ 与平面 $A C D$ 所成角的正弦值.

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19. 足球运动被誉为“世界第一运动”.为推广足球运动，某学校成立了足球社团由于报名人数较多，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：

(1)、下表是某同学6次的训练数据，以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率.为加入足球社团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，将他在测试中所踢的点球次数记为 $ξ$ ，求 $E (ξ)$ ；

点球数.

20

30

30

25

20

25

进球数

10

17

20

16

13

14

(2)、社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者，接到第n次传球的人即为第 $n + 1$ 次触球者 $(n \in N^{+})$ ，第n次触球者是甲的概率记为 $P_{n}$ .
（i）求 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ （直接写出结果即可）；

（ii）证明：数列 ${P_{n} - \frac{1}{3}}$ 为等比数列.

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的四个顶点围成的四边形的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，且 $| F_{1} F_{2} | = 2$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点， $△ A B F_{1}$ 的内切圆 $C$ 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线 $l$ 的方程，若不存在，请说明理由.

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21. 设 $0 < x < 1$ .

(1)、证明： $1 - \frac{x^{2}}{6} < \frac{\sin x}{x} < 1$ ；

(2)、若 $a x - \frac{x^{3}}{6} < \sin x$ ，求 $a$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l ： y = (x - 1) \tan α (\frac{π}{2} < α < π)$ .以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\frac{ρ}{4} \sin^{2} θ = \cos θ$ .

(1)、求曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $| A B | = 16$ ，求 $α$ .

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23. 若 $a > 0 ， b > 0$ 且 $2 a + b + 2 = 3 a b$ ，已知 $a b$ 有最小值为 $k$ .

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、若 $\exists x_{0} \in R$ ，使不等式 $| x - m | + | x - 2 | \leq k$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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P（K²≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

点球数.	20	30	30	25	20	25
进球数	10	17	20	16	13	14