辽宁省铁岭市2021届数学二模试卷

试卷更新日期：2021-07-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $U = R$ ， $M = {x | x \leq 2}$ ， $N = {x | - 1 \leq x \leq 1}$ ，则 $M \cap ∁_{U} N =$ （）

A、 ${x | x < - 1$ 或 $1 < x \leq 2}$ B、 ${x | 1 < x \leq 2}$ C、 ${x | x \leq - 1$ 或 $1 \leq x \leq 2}$ D、 ${x | 1 \leq x \leq 2}$

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2. 复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = | 1 + 3 {i|}^{2}$ ，则在复平面内 $z$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 从4件合格品和2件次品共6件产品中任意抽取2件检查，抽取的2件中至少有1件是次品的概率是（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{8}{15}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 化学上用溶液中氢离子物质的量浓度的常用对数值的相反数表示溶液的 $p H$ 值，例如氢离子物质的量浓度为 $0.1 mol / L$ 的溶液，因为 $- \lg 0.1 = 1.0$ ，所以该溶液的 $p H$ 值是1.0.现有 $p H$ 值分别为3和4的甲乙两份溶液，将 $1 L$ 甲溶液与 $2 L$ 乙溶液混合，假设混合后两份溶液不发生化学反应且体积变化忽略不计，则混合溶液的 $p H$ 值约为（　　）
（精确到0.1，参考数据： $\lg 2 \approx 0.3010 ， \lg 3 \approx 0.4771 ， \lg 11 \approx 1.0413$ .）

A、3.2 B、3.3 C、3.4 D、3.8

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5. 某地积极响应党中央的号召，开展扶贫活动，扶贫第 $x$ 年该地区贫困户年人均收入 $y$ 万元的部分数据如下表：

年份编号 $x$

1

2

3

4

5

年人均收入 $y$

0.5

0.6

$a$

1.4

1.7

根据表中所给数据，求得 $y$ 与 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = 0.32 x + 0.08$ ，则 $a =$ （）

A、0.8 B、0.9 C、1 D、1.3

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6. 中国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之(等差数列)，上三人先人，得金四斤，持出；下四人后人得金三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给.则第一等人(得金最多者)得金斤数是（）

A、 $\frac{37}{26}$ B、 $\frac{37}{27}$ C、 $\frac{52}{39}$ D、 $\frac{56}{39}$

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7. $△ A B C$ 的外接圆的半径等于3， $A B = 4$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 4 ， 24]$ B、 $[- 8 ， 20]$ C、 $[- 8 ， 12]$ D、 $[- 4 ， 20]$

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8. 函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $(0 ， π)$ 内有且仅有一个极大值点，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{3} ， \frac{7}{3}]$ B、 $[\frac{1}{3} ， + \infty)$ C、 $(0 ， \frac{1}{3}]$ D、 $(\frac{1}{3} ， \frac{10}{3}]$

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二、多选题

9. 为普及疫情知识，某校不定期地共组织了10次全员性的防控知识问答竞赛，下面是甲、乙两个班级10次成绩Y（单位：分）的折线图：根据折线图（　　）

A、甲班的成绩分数呈上升趋势 B、甲班乙班的成绩分数平均值均为7 C、甲班成绩分数的方差大于乙班成绩分数的方差 D、从第7次到第10次甲班成绩分数增量大于乙班成绩分数増量

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10. 设 $m$ ， $n$ 是不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同的平面，则正确命题是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $α / / β$ ，则 $m / / n$ B、若 $α \cap γ = m$ ， $β \cap γ = n$ ， $m / / n$ ，则 $α / / β$ C、若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α / / β$ D、若 $α / / β$ ， $β / / γ$ ， $m ⊥ α$ ，则 $m ⊥ γ$

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11. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 1 ， x \geq 0 ， \\ \cos x ， x < 0. \end{array}$ 则（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 值域为 $[- 1 ， + \infty)$ C、存在 $x_{0} < 0$ ，使得 $f (x_{0}) = f (0)$ D、 $f (x)$ 与 $f (- x)$ 具有相同的单调区间

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12. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{b} = 1$ 的左右焦点，过 $F_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线与C交于A，B两点，若 $△ A B F_{1}$ 为正三角形，则（）

A、 $b = 2$ B、C的焦距为 $2 \sqrt{5}$ C、C的离心率为 $\sqrt{3}$ D、 $△ A B F_{1}$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$

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三、填空题

13. 已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在半径为2的同一个球的球面上，那么这个圆柱的侧面积为.

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14. 函数 $f (x) = {(1 - 2 x)}^{5}$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 展开式中 $x^{2}$ 的系数为.

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15. 设 $f (x)$ 定义域为 $R$ ，已知 $f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上单调递减， $f (x + 1)$ 是奇函数，则使得不等式 $f (\log_{2} (x - 3)) + f (\log_{2} x) > 0$ 成立的 $x$ 取值范围为.

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16. 抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ， $M$ 是 $C$ 上在第一象限内的一点，点 $N$ 在 $l$ 上，已知 $M F ⊥ N F$ ， $| M F | = 5$ ，则直线 $M N$ 与 $y$ 轴交点 $P$ 的坐标为.

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四、解答题

17. 补充问题中横线上的条件，并解答问题.在① $a \sin C = 6$ ，② $a = \sqrt{3} b$ ，③ $a = 6$ 这三个条件中任选两个，分别补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求b，c的值；若问题中的三角形不存在，请明理由.
问题：是否存在 $△ A B C$ ，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ▲ ， ▲ ， $(2 c - b) \cos A = a \cos B$ ？

注：从条件①②③任意选择两个填入问题中解答即可，如果多组分别解答，按第一组解答计分.

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18. $S_{a}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{n} + S_{n} = 3 \cdot 2^{n} - 3$ .

(1)、设 $b_{n} = 2^{n} a_{n}$ ，证明： $b_{n + 1} - b_{n} = 3 \cdot 2^{2 n}$ ，并求 $a_{n}$ ；

(2)、证明： $\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{S_{i}} < 1$ .

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ B C D = 90 °$ ， $A B = P B = 2 B C = 2 C D = 2 \sqrt{2}$ ， $△ P A D$ 是正三角形.

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ .

(2)、点 $E$ 在棱 $P B$ 上，且直线 $C E$ 与底面 $A B C D$ 所成角为30°，求二面角 $E - A C - D$ 的余弦值.

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20. 一批新能源汽车的锂电池在出厂前要进行一次质量检测，检测方案是：从这批锂电池中随机抽取4个，对其一个一个地进行检测，若这4个都为优质品，则这批锂电池通过这次质量检测，若检测出非优质品，则停止检测，并认为这批锂电池不能通过这次质量检测.假设抽取的每个锂电池是优质品的概率都为 $p$ .

(1)、设一次质量检测共检测了 $X$ 个锂电池，求 $X$ 的分布列；

(2)、设 $0.9 \leq p \leq 0.95$ ，已知每个锂电池的检测费用都是1000元，对这批锂电池进行一次质量检测所需的费用记为 $Y$ (单位：元)，求 $Y$ 的数学期望 $E (Y)$ 的最小值.

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21. 设函数 $f (x) = a (x - 1) - \ln x$ .

(1)、若 $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ ；

(2)、当 $x > 1$ 时， $f (x) > \frac{x \ln x}{1 - x}$ ，求 $a$ 的取值范围.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{m^{2} + 2} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (m > 0)$ 的一个短轴的端点到一个焦点的距离为2.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设 $A$ 是 $C$ 在第一象限内的一点，点 $A$ 关于 $y$ 轴､坐标原点的对称点分别为 $B$ ､ $D$ ， $A E$ 垂直于 $x$ 轴，垂足为 $E$ ，直线 $D E$ 与 $y$ 轴､ $C$ 分别交于点 $F$ ､ $G$ ，直线 $B F$ 交 $C$ 于点 $M$ .
（i）求直线 $M G$ 的斜率 $k$ 的最小值；

（ii）直线 $G M$ 交直线 $A E$ 于点 $N$ ，证明： $N F / / x$ 轴.

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年份编号 $x$	1	2	3	4	5
年人均收入 $y$	0.5	0.6	$a$	1.4	1.7