江西省重点中学盟校2021届高三理数3月第一次联考试卷

试卷更新日期：2021-07-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 3}$ ， $B = {x | y = 2^{x} \in (0 ， 4]}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 1 ， 3]$ B、 $[- 1 ， 2]$ C、 $(0 ， 2]$ D、 $[2 ， 3]$

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2. ${(1 + 2 x)}^{6}$ 的二项展开式中第三项是（）

A、 $240 x^{4}$ B、160 C、 $160 x^{3}$ D、 $60 x^{2}$

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3. 复数z的共轭复数为 $\bar{z}$ ， $z + \bar{z} = 0$ 是z为纯虚数的（）条件

A、充要 B、充分不必要 C、必要不充分 D、既不充分也不必要

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4. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点F作它的渐近线l的垂线，垂足为P ，若 $S_{△ P F O} = b^{2}$ （O是坐标原点），则 $\frac{c}{b} =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、5 D、 $\sqrt{3}$

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5. 直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，主视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{3}$

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6. 若函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 1$ 在 $x = 1$ 处取极值0，则 $a - b =$ （）

A、0 B、2 C、-2 D、1

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7. 已知直线 $a x + 2 b y - 1 = 0$ 和 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切，则 $a b$ 的最大值是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、1

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8. 设二元一次不等式组 ${\begin{array}{l} x + y - 6 \leq 0 ， \\ 3 x - y - 10 \geq 0 ， \\ x - y - 4 \leq 0 \end{array}$ 所表示的平面区域为 $D$ ，使函数 $y = \log_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图像过区域 $D$ 的a的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{3} ， 1) \cup (1 ， 2]$ B、 $(0 ， \frac{1}{3}] \cup [2 ， + \infty)$ C、 $[\frac{1}{3} ， 1) \cup [2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{3}] \cup (1 ， 2]$

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9. $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < π)$ 的图像如图所示，下列有关它的描述正确的是（）

A、 $φ = \frac{π}{6}$ B、把 $f (x)$ 图像向左平移 $\frac{2 π}{3}$ 单位长度，可得 $y = 2 \cos 2 x$ C、把 $f (x)$ 图像向右平移 $\frac{π}{6}$ 单位长度，可得 $y = 2 \cos 2 x$ D、为得到它的图像可将 $y = 2 \sin x$ 的图像向右平移 $\frac{5 π}{12}$ 单位长度，再把所得图像上点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$

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10. 碳-14年代测定法由时任美国芝加哥大学教授威拉得·利比（Willard Frank Libby）发明，威拉得·利比因此获得诺贝尔化学奖.碳是有机物的元素之一，生物在生存的时候，由于需要呼吸，其体内的碳-14含量大致不变，生物死去后会停止呼吸，此时体内的碳-14开始减少，人们可通过检测一件古物的碳-14含量，来估计它的大概年龄，这种方法称之为碳定年法.设 $N_{f}$ 是生物样品中的碳-14的含量， $N_{0}$ 是活体组织中碳-14的含量，t为生物死亡的时间（单位年），已知 $N_{f} = N_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{T}}$ （其中T为碳-14半衰期，且 $T = 5730$ ），若2021年测定某生物样本中 $N_{f} = \frac{8}{9} N_{0}$ ，则此生物大概生活在哪个朝代（    ）
参考资料： $\log_{2} 3 \approx 1.585$

西周：公元前1046年—前771年    晋代：公元265—公元420

宋代：公元907—公元1279    明代：公元1368—公元1644

A、西周 B、晋代 C、宋代 D、明代

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11. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 与抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 交于A ， B两点，且 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，则如图所示阴影部分绕x轴旋转形成的旋转体的体积是（）

A、 $\frac{11 π}{6}$ B、 $\frac{4 π}{3}$ C、 $\frac{19 π}{6}$ D、 $\frac{13 π}{6}$

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12. 数列 ${a_{n}}$ 中 $a_{n}$ 表示与 $\sqrt{n}$ 最接近的整数，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{2021}} =$ （）

A、 $88 \frac{43}{45}$ B、 $88 \frac{14}{15}$ C、 $88 \frac{8}{9}$ D、 $88 \frac{41}{45}$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， λ)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $λ =$ .

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14. 数列 ${a_{n}}$ 前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = a_{n + 1} (n \in N_{+})$ ， $a_{1} = 1$ ，则 $a_{n} =$ .

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15. 已知某农场某植物高度 $ξ ~ N (μ ， 0.04)$ ，且 $P (ξ < 6) = P (ξ \geq 6)$ ，如果这个农场有这种植物10000棵，试估计该农场这种植物高度在区间 $(6.2 ， 6.4]$ 上的棵数为.
参考数据：若 $ξ ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ \leq μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < ξ \leq μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < ξ \leq μ + 3 σ) = 0.9974$ .

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16. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， $b = 3$ ， $a = \frac{\sqrt{6} (a \cos B + b \cos A)}{3}$ ， $\tan C = 2 \tan A$ ，则 $\cos B =$ .

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三、解答题

17. 首项为2的等差数列 ${a_{n}}$ ，满足 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{4}$ 成等比数列，且 $a_{1} \neq a_{2021}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}} (n \in N_{+})$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，若 $T_{n} = \frac{505}{2021}$ ，求n的值.

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18. 如图已知四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的上底面和下底面都是正方形，且 $A B = A A_{1} = 1$ ， $A_{1} B_{1} = 2$ ， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ .

(1)、证明： $A_{1} D ⊥$ 平面 $D D_{1} C_{1} C$ ；

(2)、求二面角 $D - C D_{1} - B_{1}$ 的平面角的大小.

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19. “低碳出行”，一种降低“碳”的出行，以低能耗、低污染为基础，是环保的深层次体现，在众多发达国家被广大民众接受并执行，S市即将投放一批公共自行车以方便市民出行，减少污染，缓解交通拥堵，现先对100人做了是否会考虑选择自行车出行的调查，结果如下表.

(1)、如果把45周岁以下人群定义为“青年”，完成下列

2 \times 2

列联表，并问你有多少把握认为该地区市民是否考虑单车与他（她）是不是“青年人”有关?

年龄	考虑骑车		不考虑骑车
15以下	6		3
$[15 ， 30)$	16		6
$[30 ， 45)$	13		6
$[45 ， 60)$	14		16
$[60 ， 75)$	5		9
75以上	1		5
合计	55		45
	骑车	不骑车		合计
45岁以下
45岁以上
合计				100

参考： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (a + c) (c + d) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$

P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.07	2.70	3.84	5.02	6.63	7.87	10.82

(2)、S市为了鼓励大家骑自行车上班，为此还专门在几条平时比较拥堵的城市主道建有无障碍自行车道，该市市民小明家离上班地点10km，现有两种.上班方案给他选择；

方案一：选择自行车，走无障碍自行车道以19km/h的速度直达上班地点.

方案二：开车以30km/h的速度上班，但要经过A、B、C三个易堵路段，三个路段堵车的概率分别是 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ，且是相互独立的，并且每次堵车的时间都是10分钟（假设除了堵车时间其他时间都是匀速行驶）

若仅从时间的角度考虑，请你给小明作一个选择，并说明理由.

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20. 已知抛物线 $M ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与椭圆 $N ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 在第一象限交于E点，且它们有公共的焦点F ， O是椭圆的中心.

(1)、若 $E F ⊥ x$ 轴，求椭圆的离心率；

(2)、若 $E F$ 不与 $x$ 轴垂直，椭圆的另一个焦点为 $F^{'}$ ，已知 $| O F | = 1$ ，且 $△ E F F^{'}$ 的周长为6，过F的直线l与两曲线从上至下依次交于A ， B ， C ， D四点（其中 $A$ ， $C \in M$ ， $B$ ， $D \in N$ ），若 $3 | A B | = 4 | B C | + 7 | C D |$ ，求l的方程.

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21. 已知 $f (x) = e^{x - 1} - a x + 1 (x \in R)$ .

(1)、若 $f (x)$ 存在最小值，求此时a的取值范围，并求出 $f (x)$ 的最小值；

(2)、当 $x \geq 1$ 时， $f (x) + \ln x \geq 0$ 恒成立，求a的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t \cos α \\ y = 1 + tsin α \end{array}$ （t为参数， $0 \leq α < π$ ），曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \cos β \\ y = 1 + \sin β \end{array}$ （ $β$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求曲线C的极坐标方程；

(2)、设C与l交于A ， B两点（异于原点），求 $| O A | + | O B |$ 的最大值.

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23.

(1)、证明不等式 $\frac{| a + b |}{1 + | a + b |} \leq \frac{| a | + | b |}{1 + | a | + | b |}$ 并指出等号成立的条件；

(2)、求 $f (x) = \frac{| x + 1 | + | x - 1 |}{1 + | x + 1 | + | x - 1 |}$ 的最小值.

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