江西省南昌市2021届高三理数一模试卷

试卷更新日期：2021-07-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - 2 x > 0} ， B = {y ∣ y = \sin x}$ ，则 $(C_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $[- 1 ， 0]$ B、 $[- 1 ， 1]$ C、 $[0 ， 2]$ D、 $[0 ， 1]$

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2. 复数 $z$ 满足 $z i = 2 + 3 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{13}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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3. 已知椭圆 $3 x^{2} + 4 y^{2} = 12$ 的左顶点为A，上顶点为B，则 $| A B |$ ＝（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、4 D、 $\sqrt{7}$

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4. 如图 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别是菱形 $A B C D$ 的边 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D A$ 上的点，且 $B E = 2 A E$ ， $D H = 2 H A$ ， $C F = 2 F B$ ， $C G = 2 G D$ ，现将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起，得到空间四边形 $A B C D$ ，在折起过程中，下列说法正确的是（）

A、直线 $E F$ ， $H G$ 有可能平行 B、直线 $E F$ ， $H G$ 一定异面 C、直线 $E F$ ， $H G$ 一定相交，且交点一定在直线 $A C$ 上 D、直线 $E F$ ， $H G$ 一定相交，但交点不一定在直线 $A C$ 上

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5. $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $a = 2 \sqrt{3}$ ， $B = 45 °$ ， $C = 75 °$ ，则 $b =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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6. 如图，将框图输出的 $y$ 看成输入的 $x$ 的函数，得到函数 $y = f (x)$ ，则 $y = f (x)$ 的图象（）

A、关于直线 $x = 1$ 对称 B、关于直线 $x = - 1$ 对称 C、关于 $y$ 轴对称 D、关于点（0，0）对称

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7. 已知直线 $l$ 的方程是 $2 x + y + m = 0$ ，则“原点 $O$ 在直线 $l$ 的右上方”是“点 $A (2 ， - 1)$ ”在直线 $l$ 的右上方的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知正数 $a ， b ， c$ 满足 $2^{a} = b^{2} = \log_{2} c = k (4 < k < 16)$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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9. 许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知下面左图是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，右图是其中截面最细附近处的部分图象.上、下底面与地面平行.现测得下底直径 $A B = 20 \sqrt{10}$ 米，上底直径 $C D = 20 \sqrt{2}$ 米， $A B$ 与 $C D$ 间的距离为80米，与上下底面等距离的G处的直径等于CD，则最细部分处的直径为（）

A、10米 B、20米 C、 $10 \sqrt{3}$ 米 D、 $10 \sqrt{5}$ 米

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10. 已知 $\sin (\frac{5 π}{6} - 2 x) = \cos (x - \frac{π}{6})$ ，则 $\sin (\frac{2 π}{3} - x) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ 或1 B、 $\frac{1}{2}$ 或－1 C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 或1 D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或－1

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11. 如图所示某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为 $d$ ，截面半径为 $r$ （ $d ， r$ 为常量），油面高度为 $h$ ，油面宽度为 $w$ ，储油量为 $v$ （ $h ， w ， v$ 为变量），则下列说法：
① $w$ 是 $v$ 的函数 ② $v$ 是 $w$ 的函数 ③ $h$ 是 $w$ 的函数 ④ $w$ 是 $h$ 的函数

其中正确的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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12. 已知 $f (x) = | x + a | - \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的最小值为0，则正实数 $a$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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二、填空题

13. 已知 $\vec{a} = (1 ， 2) ， | \vec{b} | = 5 ， \vec{a} \cdot \vec{b} = 10$ ，则向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 夹角的余弦值为．

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14. ${(2 - x)}^{n}$ 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中 $x^{3}$ 的系数为．

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15. 2020年，全球展开了某疫苗研发竞赛，我为处于领先地位，为了研究疫苗的有效率，在某地进行临床试验，对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗，一周后有20人感染，为了验证疫苗的有效率，同期，从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5组，各组感染人数如下：

调查人数 $x$

300

400

500

600

700

感染人数 $y$

3

3

6

6

7

并求得 $y$ 与 $x$ 的回归方程为 $\hat{y} = 0.011 x + a$ ，同期，在人数为10000的条件下，以拟合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数，记为 $N$ ；注射疫苗后仍被感染的人数记为 $n$ ，则估计该疫苗的有效率为．（疫苗的有效率为 $1 - \frac{n}{N}$ ；参考数据： ${109.5}^{- 1} \approx 0.009132$ ；结果保留3位有效数字）

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16. 如图， $A B C D$ 是圆台的轴截面， $A B = 3 C D = 6 ， A D = 2 \sqrt{2}$ ，过点 $D$ 与 $A D$ 垂直的平面交下底圆周于 $E ， F$ 两点，则四面体 $C D E F$ 的体积为．

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三、解答题

17. 已知 ${a_{n}}$ 为公差不为0的等差数列，且 $a_{1} = 3$ ， $a_{1}$ ， $a_{4}$ ， $a_{13}$ 成等比数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{(2 n - 1) a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 如图三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C A = C B = 2 ， A C ⊥ B C$ ，侧面 $A A_{1} C_{1} C$ 是矩形，侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 是菱形， $∠ B_{1} B C = 60^{\circ}$ ， $D$ 是棱 $B B_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $B B_{1} ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、设 $E$ 是 $A_{1} B_{1}$ 的中点，求二面角 $E - C D - A$ 的余弦值．

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19. 已知函数 $f (x) = (x - b) e^{x} - \frac{a}{2} {(x - b + 1)}^{2} (a > 0 ， b \in R ， e$ 为自然对数的底数）．

(1)、当 $b = 2$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，求证： $e^{a - 1} \geq b$ ．

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20. 为加强防疫宣传，某学校举行防疫知识问答竞赛，竞赛共有两类题，第一类是5个中等难度题，每答对一个得10分，答错得0分，第二类是数量较多、难度相当的难题，每答对一个得20分，答错一个扣5分．每位参加竞赛的同学从这两类题中共抽出4个回答（每个题抽后不放回），要求第二类题中至少抽2个．学生小明第一类5题中有4个答对，第二类题中答对每个问题的概率都是 $\frac{3}{4}$ ．

(1)、若小明选择从第一类题中抽两个题，求这次竞赛中，小明共答对3个题的概率；

(2)、若小明第一个题是从第一类题中抽出并回答正确，根据得分期望给他建议，后面三个题应该选择从第二类题中抽出多少个题回答？

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21. 已知抛物线 $E ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 且斜率为 $k (k \neq 0)$ 的动直线 $l$ 与抛物线交于 $A ， B$ 两点，直线 $l^{'}$ 过点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ，且点 $F$ 关于直线 $l^{'}$ 的对称点 $R (x_{1} ， - 1)$ ．

(1)、求抛物线 $E$ 的方程，并证明直线 $l^{'}$ 是抛物线 $E$ 的切线；

(2)、过点 $A$ 且垂直于 $l^{'}$ 的直线交 $y$ 轴于点 $G$ ， $A G$ ， $B G$ 与抛物线 $E$ 的另一个交点分别为 $C ， D$ ，记 $△ A G B$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ C G D$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ 的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 $C$ 的参数方程为： ${\begin{array}{l} x = \sin α + 2 \cos α \\ y = \cos α - 2 \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数），直线 $l$ 的极坐标方程为： $ρ \sin (θ + \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ .

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程和直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、设 $A$ ， $B$ 是曲线 $C$ 与直线 $l$ 的公共点， $P (2 ， 0)$ ，求 $| | P A | - | P B | |$ 的值.

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23. 已知 $f (x) = | x - 1 | + | a x + 2 | (a > 0)$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) > 3$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x) \geq \frac{5}{2}$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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调查人数 $x$	300	400	500	600	700
感染人数 $y$	3	3	6	6	7