江西省南昌市2021届高三下学期理数一调考试试卷

试卷更新日期：2021-07-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ， M = {1, 3, 4} ， N = {2, 3, 4},$ 则集合 $(C_{U} M) \cup (C_{U} N)$ 等于（）

A、 ${5, 6}$ B、 ${1, 5, 6}$ C、 ${2, 5, 6}$ D、 ${1 ， 2 ， 5 ， 6}$

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2. 设 $(1 + i) z = \frac{4 - 2 i}{1 - i}$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $4 - 2 i$ B、 $4 + 2 i$ C、 $2 - i$ D、 $2 + i$

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3. “ $a = 1$ ”是“直线 $l ： a x - y + 1 = 0$ 与直线 $m ： x + y = a$ 垂直”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、不充分也不必要条件

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4. 某地为了解居民的每日总用电量 $y$ （万度）与气温 $x$ （ ${}^{o}C$ ）之间的关系，收集了四天的每日总用电量和气温的数据如表：

气温 $x$ （ ${}^{o}C$ ）

19

13

9

-1

每日总用电量 $y$ （万度）

24

34

38

64

经分析，可用线性回归方程 $y = - 2 x + a$ 拟合 $y$ 与 $x$ 的关系. 据此气温是 $14 {}^{o}C$ 时，该地当日总用电量 $y$ （万度）为（）

A、32 B、31 C、29 D、28

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5. 已知非零实数a，x，y满足 $\log_{a^{2} + 1} x < \log_{a^{2} + 1} y < 0$ ，则下列关系式恒成立的是（）

A、 $\frac{1}{x^{2} + 1} < \frac{1}{y^{2} + 1}$ B、 $x + y > \frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ C、 ${(\frac{1}{| a | + 1})}^{x} < {(\frac{1}{| a | + 1})}^{y}$ D、 $y^{x} > x^{y}$

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6. 在直棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $△ A B C$ 为等边三角形，且 $B B_{1} = \sqrt{3} A B$ ，则 $A B_{1}$ 与 $C_{1} B$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{5}{8}$

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7. 定义在R上的函数 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{| x - m |} - 2$ 为偶函数， $a = f (\log_{2} \frac{1}{2})$ ， $b = f ({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}})$ ， $c = f (m)$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < c < b$ C、 $a < b < c$ D、 $b < a < c$

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8. 设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B} = \frac{a}{\sin A}$ ， $\cos C = \frac{1}{4}$ ， $a^{2} + b^{2} = 68$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{15}$ C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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9. 已知函数 $f (x) = 2 \cos (ω x + φ) - 1 (ω > 0 ， | φ | < π)$ 的一个零点是 $x = \frac{π}{4}$ ，当 $x = \frac{π}{3}$ 时函数 $f (x)$ 取最大值，则当 $ω$ 取最小值时，函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{12} ， \frac{π}{12}]$ 上的最大值为（）

A、-2 B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、0

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10. 已知 $A$ ， $B$ ， $C$ 是球 $O$ 的球面上的三点， $A B = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ A B C = 60^{o}$ ，且球 $O$ 表面积为 $32 π$ ，则点 $B$ 到平面 $O A C$ 的距离为（）

A、2 B、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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11. 已知 $F$ 为抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，准线为 $l$ ，过焦点 $F$ 的直线与抛物线交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A ， B$ 在准线上的射影分别为 $D ， C$ ，且满足 $| D F | = \sqrt{3} | C F |$ ，则 $\frac{| F A |}{| F B |} =$ （）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、 $\frac{3}{2}$

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12. 已知 $△ A B C$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的正三角形， $E F$ 为该三角形内切圆的一条弦，且 $E F = \sqrt{3}$ .若点P在 $△ A B C$ 的三边上运动，则 $\vec{P E} \cdot \vec{P F}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{11}{2}$ C、 $\frac{13}{2}$ D、 $\frac{17}{2}$

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二、填空题

13. 已知 $\cos (\frac{π}{4} - α) = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则 $\sin 2 α =$ ．

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14. 若 $(3 x^{2} - a) {(2 x - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为-80，则 $a =$ .

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15. 已知 $O$ 为坐标原点，双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，过点 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线与双曲线 $C$ 的一条渐近线交于点 $A$ （点 $A$ 在第一象限），点 $B$ 在双曲线 $C$ 的渐近线上，且 $B F / / O A$ ，若 $\vec{A B} \cdot \vec{O B} = 0$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{3} + 3 x^{2} + 2 ， x \geq 0 \\ - x^{2} e^{x} ， x < 0 \end{array}$ ，若方程 $f (x) + a = 0$ 有两个不相等的实根，则实数a取值范围是．

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三、解答题

17. 在递增的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 16$ ， $a_{2} + a_{4} = 68$ ， $S_{n}$ 为等差数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $b_{1} = a_{1}$ ， $S_{2} = a_{2}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\sqrt{4 a_{n} S_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C A = C B$ ， $∠ B A A_{1} = 45 °$ ，平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ .

(1)、求证： $A A_{1} ⊥ B C$ ；

(2)、若 $B B_{1} = \sqrt{2} A B = 2$ ，直线 $B C$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角为 $45 °$ ， $D$ 为 $C C_{1}$ 的中点，求二面角 $B_{1} - A_{1} D - C_{1}$ 的余弦值.

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19. 改革开放40年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各50人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示.规定得分在80分以上为交通安全意识强.

	安全意识强	安全意识不强	合计
男性
女性
合计

(1)、求

a

的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；

(2)、已知交通安全意识强的样本中男女比例为4：1，完成2×2列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关；

(3)、在（2）的条件下，从交通安全意识强的驾驶员中随机抽取2人，求抽到的女性人数

X

的分布列及期望.

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$

P（K²≥k）	0.010	0.005	0.001
k	6.635	7.879	10.828

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20. 在平面直角坐标系中， $A (- 1 ， 0) ， B (1 ， 0)$ ，设 $△ A B C$ 的内切圆分别与边 $A C ， B C ， A B$ 相切于点 $P ， Q ， R$ ，已知 $| C P | = 1$ ，记动点 $C$ 的轨迹为曲线 $E$ .

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、过 $G (2 ， 0)$ 的直线与 $y$ 轴正半轴交于点 $S$ ，与曲线E交于点 $H ， H A ⊥ x$ 轴，过 $S$ 的另一直线与曲线 $E$ 交于 $M 、 N$ 两点，若 $S_{△ S M G} = 6 S_{△ S H N}$ ，求直线 $M N$ 的方程.

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21. 函数 $f (x) = \ln (a x + 1) + \frac{2}{x + 1} (a > 0)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) > 4$ ，求 $a$ 的取值范围.

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22. 如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧 $\overset{⌢}{B C} ， \overset{⌢}{A D}$ 和线段AB，CD四部分组成，在极坐标系Ox中，A（2， $\frac{π}{3}$ ），B（1， $\frac{2 π}{3}$ ），C（1， $\frac{4 π}{3}$ ），D（2， $- \frac{π}{3}$ ），弧 $\overset{⌢}{B C} ， \overset{⌢}{A D}$ 所在圆的圆心分别是（0，0），（2，0），曲线M₁是弧 $\overset{⌢}{B C}$ ，曲线M₂是弧 $\overset{⌢}{A D}$ ．

(1)、分别写出M₁ ， M₂的极坐标方程：

(2)、点E，F位于曲线M₂上，且 $∠ E O F = \frac{π}{3}$ ，求△EOF面积的取值范围．

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23. 已知正实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 1$ .
证明：

(1)、 $a + b + c \geq {(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2}$ ；

(2)、 $a^{2} b + b^{2} c + c^{2} a \leq 1$ .

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气温 $x$ （ ${}^{o}C$ ）	19	13	9	-1
每日总用电量 $y$ （万度）	24	34	38	64