广西岑溪市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-07-06 类型：期末考试

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一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $B = {x | - 1 < x < 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${x | 1 < x < 3}$ C、 ${1 ， 2 ， 3}$ D、 ${x | 1 \leq x \leq 2}$

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2. 在如图所示的图形上随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率是（）

A、 $\frac{5}{8}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{1}{4}$

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{2} x ， (x > 0) \\ 3^{x} ， (x \leq 0) \end{array}$ ，则 $f [f (1)] =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{3}$ C、1 D、3

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4. 已知角 $θ$ 的终边与单位圆交于点 $P (- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ ，则 $\cos (π - θ)$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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5. 下列函数中，既是奇函数又以π为最小正周期的函数是（）

A、 $y = \cos 2 x$ B、 $y = \sin 2 x$ C、 $y = \sin x + \cos x$ D、 $y = \tan 2 x$

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6. 某市环境保护局公布了该市A，B两个景区2014年至2020年各年的全年空气质量优良天数的数据.现根据这组数据绘制了如图所示的折线图，则由该折线图得出的下列结论中正确的是（）

A、景区A这七年的空气质量优良天数的极差为98 B、景区B这七年的空气质量优良天数的中位数为283 C、记景区B这七年的空气质量优良天数的众数为 $m_{1}$ ，平均分为 $m_{2}$ ，则 $m_{1} > m_{2}$ D、分别记景区A，B这七年的空气质量优良天数的标准差为 $s_{1}$ ， $s_{2}$ ，则 $s_{1} > s_{2}$

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7. 曲线 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 20 = 0$ 上的点到直线 $3 x - 4 y + 19 = 0$ 的最大距离为（）

A、10 B、11 C、12 D、13

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8. 执行如图所示的程序框图，则输出的 $i =$ （）

A、10 B、15 C、20 D、25

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9. 比较 $a = \log_{3} \sqrt{5}$ ， $b = e^{0.1}$ ， $c = e^{\ln \frac{1}{2}}$ 的大小（）

A、 $a < c < b$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $a < b < c$

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10. 把函数 $y = 2 \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可得到函数 $f (x)$ 的图象，则（）

A、 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3}) + 1$ B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6} ， \frac{5 π}{12}]$ 上单调递减

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11. 如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若 $\vec{D E} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D} (λ ， μ \in R)$ ，则 $λ + μ$ 等于（）.

A、 $- \frac{1}{2}$ B、-1 C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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12. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (\frac{π}{4} + x) = f (\frac{π}{4} - x)$ ，且当 $\frac{π}{4} \leq x \leq π$ 时， $f (x) = \sin x$ ，则当函数 $g (x) = f (x) - a$ 在 $[- \frac{π}{2} ， π]$ 有零点时，关于其零点之和有以下阐述：
①零点之和为 $\frac{π}{4}$ ；②零点之和为 $\frac{π}{2}$ ；③零点之和为 $\frac{3 π}{4}$ ；④零点之和为 $π$ .其中结果有可能成立的是（）

A、①② B、②③ C、③④ D、②③④

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二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知向量 $\vec{a} = (x ， 3)$ ， $\vec{b} = (4 ， 5)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ .

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14. 若扇形的圆心角为60°，半径为2，则扇形的面积为．

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15. 如图是某个铁质几何体的三视图，其中每个小正方形格子的边长均为1个长度单位，将该铁质几何体熔化，制成一个大铁球，如果在熔制过程中材料没有损耗，则大铁球的表面积为.

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16. 已知A，B是直线l上任意两点，O是l外一点，若l上一点C满足 $\vec{O C} = \vec{O A} \cos θ + \vec{O B} \cos^{2} θ$ ，则 $\sin^{2} θ + \sin^{4} θ + \sin^{6} θ$ 的值是.

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三、解答题：本大题共6小题，共70分.

17. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (0 < φ < \frac{π}{2})$ ，且 $f (0) = \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $φ$ 的值.

(2)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，函数 $y = f (x)$ 的最小值.

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18. 某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间 $[40 ， 50) 、 [50 ， 60) 、 \dots 、 [80 ， 90) 、 [90 ， 100)$ .

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率：

(3)、从评分在 $[40 ， 60)$ 的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在 $[50 ， 60)$ 的概率.

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是边长为2的菱形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ .

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、若 $P D = 2$ ，直线PB与平面ABCD所成的角为45°，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积.

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20. 一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果：

转速x（转/秒）

16

15

12

9

每小时生产有缺陷的零件数y（件）

10

9

8

5

通过观察散点图，发现y与x有线性相关关系：

（参考：回归直线方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ）

(1)、求y关于x的回归直线方程：

(2)、若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内?

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21. 某公司对两种产品A，B的分析如下表所示：

产品类别	年固定成本	每件产品成本	每件产品销售价格	每年最多可生产的件数
A	20万元	m万元	10万元	200件
B	40万元	8万元	18万元	120件

其中年固定成本与年生产的件数无关，m为常数，且 $m \in [6 ， 8]$ .另外，销售A产品没有附加税，年销售x件，B产品需上交 $0.05 x^{2}$ 万元的附加税.假定生产出来的产品都能在当年销售出去，并且该公司只选择一种产品进行投资生产.

(1)、求出该公司分别投资生产A，B两种产品的年利润

y_{1}

，

y_{2}

（单位：万元）与年生产相应产品的件数x之间的函数解析式，并指出定义域：

(2)、分别求出投资生产这两种产品的最大年利润，比较最大年利润，决定投资方案，该公司投资生产哪种产品可获得最大年利润?

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22. 已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 满足关系 $g (x) = f (x) \cdot f (x + \frac{π}{2})$ .

(1)、设 $f (x) = \cos x + \sin x$ ，求 $g (x)$ 的解析式：

(2)、当 $f (x) = | \sin x | + \cos x$ 时，存在 $x_{1} ， x_{2} \in R$ ，对任意 $x \in R$ ， $g (x_{1}) \leq g (x) \leq g (x_{2})$ 恒成立，求 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值.

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转速x（转/秒）	16	15	12	9
每小时生产有缺陷的零件数y（件）	10	9	8	5