内蒙古呼和浩特市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-07-05 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 几种气体的液化温度（标准大气压）如表：

气体	氧气	氢气	氮气	氦气
液化温度°C	$- 183$	$- 253$	$- 195.8$	$- 268$

其中液化温度最低的气体是（　　）

A、氦气 B、氮气 C、氢气 D、氧气

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 50 °$ ， $∠ C = 70 °$ ，直线 $D E$ 经过点A ， $∠ D A B = 50 °$ ，则 $∠ E A C$ 的度数是（）

A、40° B、50° C、60° D、70°

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3. 下图所示的几何体，其俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列计算正确的是（　　）

A、 $3 a^{2} + 4 a^{2} = 7 a^{4}$ B、 $\sqrt{a^{2}} \cdot \frac{1}{a} = 1$ C、 $- 18 + 12 \div (- \frac{3}{2}) = 4$ D、 $\frac{a^{2}}{a - 1} - a - 1 = \frac{1}{a - 1}$

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5. 已知关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} - 2 x - 3 \geq 1 \\ \frac{x}{4} - 1 \geq \frac{a - 1}{2} \end{array}$ 无实数解，则a的取值范围是（　　）

A、 $a \geq - \frac{5}{2}$ B、 $a \geq - 2$ C、 $a > - \frac{5}{2}$ D、 $a > - 2$

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6. 某学校初一年级学生来自农村，牧区，城镇三类地区，下面是根据其人数比例绘制的扇形统计图，由图中的信息，得出以下3个判断，错误的有（）
①该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为3：2：7

②若已知该校来自牧区的初一学生为140人，则初一学生总人数为1080人．

③若从该校初一学生中抽取120人作为样本调查初一学生父母的文化程度，则从农村、牧区、城镇学生中分别随机抽取30、20、70人，样本更具有代表性．

A、3个 B、2个 C、1个 D、0个

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7. 在平面直角坐标系中，点 $A (3 ， 0)$ ， $B (0 ， 4)$ ．以 $A B$ 为一边在第一象限作正方形 $A B C D$ ，则对角线 $B D$ 所在直线的解析式为（）

A、 $y = - \frac{1}{7} x + 4$ B、 $y = - \frac{1}{4} x + 4$ C、 $y = - \frac{1}{2} x + 4$ D、 $y = 4$

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8. 如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d ，根据我国魏晋时期数学家刘的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面d及 $π$ 的值都正确的是（）

A、 $d = \frac{8 (\sqrt{2} - 1)}{\sin 22.5 °}$ ， $π \approx 8 \sin 22.5 °$ B、 $d = \frac{4 (\sqrt{2} - 1)}{\sin 22.5 °}$ ， $π \approx 4 \sin 22.5 °$ C、 $d = \frac{4 (\sqrt{2} - 1)}{\sin 22.5 °}$ ， $π \approx 8 \sin 22.5 °$ D、 $d = \frac{8 (\sqrt{2} - 1)}{\sin 22.5 °}$ ， $π \approx 4 \sin 22.5 °$

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9. 以下四个命题：①任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分；②A ， B ， C ， D ， E ， F六个足球队进行单循环赛，若A ， B ， C ， D ， E分别赛了5，4，3，2，1场，则由此可知，还没有与B队比赛的球队可能是D队；③两个正六边形一定位似；④有13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，则小王的捐款数不可能最少，但可能只比最少的多．比其他的都少．其中真命题的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于两点 $(m ， 0)$ ， $(n ， 0)$ ，且过 $A (0 ， b)$ ， $B (3 ， a)$ 两点（b ， a是实数），若 $0 < m < n < 2$ ，则 $a b$ 的取值范围是（　　）

A、 $0 < a b < \frac{41}{8}$ B、 $0 < a b < \frac{19}{8}$ C、 $0 < a b < \frac{81}{16}$ D、 $0 < a b < \frac{49}{16}$

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二、填空题

11. 因式分解： $x^{3} y - 4 x y$ = ．

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12. 正比例函数 $y = k_{1} x$ 与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象交于A ， B两点，若A点坐标为 $(\sqrt{3} ， - 2 \sqrt{3})$ ，则 $k_{1} + k_{2} =$ ．

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13. 已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为．（用含π的代数式表示），圆心角为度．

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14. 动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，据此若设刚出生的这种动物共有a只．则20年后存活的有只，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是．

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15. 已知菱形 $A B C D$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ﹐点E是一边 $B C$ 上的中点，点P是对角线 $B D$ 上的动点．连接 $A E$ ，若AE平分 $∠ B A C$ ，则线段 $P E$ 与 $P C$ 的和的最小值为，最大值为．

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16. 若把第n个位置上的数记为 $x_{n}$ ，则称 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，…， $x_{n}$ 有限个有序放置的数为一个数列A ．定义数列A的“伴生数列”B是： $y_{1}$ ﹐ $y_{2}$ ， $y_{3}$ … $y_{n}$ 其中 $y_{n}$ 是这个数列中第n个位置上的数， $n = 1$ ，2，…k且 $y_{n} = {\begin{array}{l} 0 x_{n - 1} = x_{n + 1} \\ 1 x_{n - 1} \neq x_{n + 1} \end{array}$ 并规定 $x_{0} = x_{n}$ ， $x_{n + 1} = x_{1}$ ．如果数列A只有四个数，且 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B是．

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三、解答题

17. 计算求解

(1)、计算 ${(\frac{1}{3})}^{- 1} - (\sqrt{80} - \sqrt{20}) \div \sqrt{5} + \sqrt{3} \tan 30 °$

(2)、解方程组 ${\begin{array}{l} 1.5 (20 x + 10 y) = 15000 \\ 1.2 (110 x + 120 y) = 97200 \end{array}$

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18. 如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $B E // D F$ 且分别交对角线 $A C$ 于点E ， F ．

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ C D F$ ；

(2)、当四边形 $A B C D$ 分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形 $B E D F$ 的形状．（无需说明理由）

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19. 某大学为了解大学生对中国共产党党史识的学习情况，在大学一年级和二年级举行有关党史知识测试活动，现从一二两个年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分50分，30分及30分以上为合格：40分及40分以上为优秀）进行整理、描述和分析，给出了下面的部分信息．

大学一年级20名学生的测试成绩为：39，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，25

大学二年级20名学生的测试成绩条形统计图如下图所示；两个年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如表所示：

年级	平均数	众数	中位数	优秀率
大一	a	b	43	m
大二	39.5	44	c	n

请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题：

(1)、上表中a＝， b＝， c＝， m＝， n；根据样本统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级学生掌握党史知识较好？并说明理由（写出一条理由即可）；

(2)、已知该大学一、二年级共1240名学生参加了此次测试活动，通过计算，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数能否超过1000人；

(3)、从样本中测试成绩为满分的一、二年级的学生中随机抽取两名学生，用列举法求两人在同一年级的概率．

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20. 如图，线段 $E F$ 与 $M N$ 表示某一段河的两岸， $E F // M N$ ．综合实践课上，同学们需要在河岸 $M N$ 上测量这段河的宽度（ $E F$ 与 $M N$ 之间的距离），已知河对岸 $E F$ 上有建筑物C、D ，且 $C D = 60$ 米，同学们首先在河岸 $M N$ 上选取点A处，用测角仪测得C建筑物位于A北偏东45°方向，再沿河岸走20米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）

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21. 下面图片是七年级教科书中“实际问题与一元一次方程”的探究3

电话计费问题

	月使用费/元	主叫限定时间/min	主叫超时费/（元/min）	被叫
方式一	58	150	0.25	免费
方式二	88	350	0.19	免费

考虑下列问题：

①设一个月内用移动电话主叫为min（t是正整数）根据上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费

②观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法．

小明升入初三再看这个问题，发现两种计费方式，每一种都是因主叫时间的变化而引起计费的变化，他把主叫时间视为在正实数范围内变化，决定用函数来解决这个问题．

(1)、根据函数的概念，小明首先将问题中的两个变量分别设为自变量x和自变量的函数y ，请你帮小明写出：

x表示问题中的， y表示问题中的．并写出计费方式一和二分别对应的函数解析式；

(2)、在给出的正方形网格纸上画出（1）中两个函数的大致图象，并依据图象直接写出如何根据主叫时间选择省钱的计费方式．（注：坐标轴单位长度可根据需要自己确定）

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22. 为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动，去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，每个足球的售价，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A、B两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个B品牌足球？

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23. 已知 $A B$ 是⊙O的任意一条直径，

(1)、用图1，求证：⊙O是以直径 $A B$ 所在直线为对称轴的轴对称图形；

(2)、已知⊙O的面积为 $4 π$ ，直线 $C D$ 与⊙O相切于点C ，过点B作 $B D ⊥ C D$ ，垂足为D ，如图2，求证：
① $\frac{1}{2} B C^{2} = 2 B D$ ；

②改变图2中切点C的位置，使得线段 $O D ⊥ B C$ 时， $O D = 2 \sqrt{2}$ ．

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24. 已知抛物线 $y = a x^{2} + k x + h (a > 0)$

(1)、通过配方可以将其化成顶点式为，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在x轴（填上方或下方），即 $4 a h - k^{2}$ 0（填大于或小于）时，该抛物线与x轴必有两个交点；

(2)、若抛物线上存在两点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，分布在x轴的两侧，则抛物线顶点必在x轴下方，请你结合A、B两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的符合题意性给以说明；（为了便于说明，不妨设 $x_{1} < x_{2}$ 且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图）

(3)、利用二次函数（1）（2）结论，求证：当 $a > 0$ ， $(a + c) (a + b + c) < 0$ 时， ${(b - c)}^{2} > 4 a (a + b + c)$ ．

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